Уравнение зависимости координаты точки от времени

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

1. Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
2. Построить уравнение вида x₁ = x₂.
3. Найти время встречи двух тел t_встр.
4. Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

1. Построить графики x1(t) и x2(t).
2. Найти точку пересечения графиков.
3. Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
4. Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

Алгоритм решения

1. Определить характер движения материальной точки.
2. Записать уравнение координаты материальной точки.
3. С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
3. Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
4. Записать уравнение движения мотоциклиста.
5. Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
6. Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

• Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
• Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
• Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Уравнение зависимости координаты точки от времени

Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

1.Равномерное прямолинейное движение тела.

При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения `Delta vecr` за одинаковые промежутки времени `Delta t`. Иными словами, скорость `vec v` те ла не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:

При этом зависимость `vec r(t)` имеет вид:

`vec r(t)=vec r_0+vec v t`, (7)

где `vec r_0` — радиус-вектор тела в начальный момент времени $$ t=0$$ . В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное в §4. Вектор $$ <\overrightarrow>_<0>$$ здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор $$ \overrightarrow$$ тела в любой момент времени в процессе движения.

Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени $$ t $$ координат $$ x$$ и $$ y$$ движущегося тела:

где $$ _<0>$$ и $$ _<0>$$ — начальные координаты тела в момент времени $$ t=0$$, а $$ _$$ и $$ _$$ -проекции вектора скорости `vecv` на координатные оси $$ Ox$$ и $$ Oy$$ соответственно.

Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: $$ \mathrm\alpha =_/_$$. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость $$ y\left(x\right)$$, легко получить, исключив параметр $$ t$$ из системы уравнений (8):

Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости $$ xOy$$ описывается уравнениями: $$ x\left(t\right)=6+3t$$, $$ y\left(t\right)=4t$$ (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени $$ v\left(t\right)$$. Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9):

`y(x) =4/3(x — 6)`, или `y(x) = 4/3 x — 8`.

Модуль $$ v$$ скорости тела определим, зная $$ _$$ и $$ _$$:

График зависимости $$ v\left(t\right)$$ представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь `Delta S` численно равен модулю вектора `Delta \vec r` перемещения тела. Вектор `Delta\vec r` для такого движения найдём из уравнения (7): `Deltavec r = vec r (t) — vec r_0 = vec vt`. Его модуль равен: `Delta r = vt`. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени `t`, определяется по формуле `Delta S = vt`, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости $$ v\left(t\right)$$ . Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 10:

`Delta S = vt = 5 «м»/»c»*5 «c» = 25 «м»`.

Используя рассуждения аналогичные Примеру 3, несложно показать, что пусть численно равен площади фигуры под графиком скорости при любом произвольном движении материальной точки.

Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости $$ xOy $$ за время $$ t=2$$ c изменились от начальных значений $$ _<0>=5$$ м, $$ _<0>=7$$ м до значений $$ x=-3$$ м и $$ y=1$$ м. Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

Тогда модуль скорости `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=5` м/с.

Уравнение траектории $$ y\left(x\right)$$ с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки `A` и `B`), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения $$ _$$ и $$ _$$ в общие уравнения движения (8):

Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при $$ t$$ в соответствующих уравнениях $$ x\left(t\right)$$ и $$ y\left(t\right)$$, т. е. значениям $$ _$$ и $$ _$$:

(Т. к. в данном случае графики уравнений движения представляют собой убывающие функции, то здесь тангесы отрицательны.)

2. Неравномерное движение тела.

Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью $$ _<1>=10$$ км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью $$ _<2>=8$$ км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью $$ _<3>=4$$ км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.

Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь `Delta S` на три участка `Delta S_1`, `Delta S_2` и `Delta S_3`. Время движения на каждом участке обозначим соответственно `Delta t_1`, `Delta t_2`, `Delta t_3`. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна:

`v_»cp»= (Delta S_1 +Delta S_2+Delta S_3)/(Delta t_1+Delta t_2+Delta t_3)`.

По условию задачи `Delta S_1 =DeltaS // 2`, `Delta S_2 + Delta S_3 = Delta S //2`. Поскольку `Delta S_1 = v_1Delta t_1`, `Delta S_2 = v_2Delta t_2`, `Delta S_3 = v_3Delta t_3` и, учитывая, что `Delta t_2 = Delta t_3`, найдём время движения на отдельных участках:

`Delta t_1=(Delta S_1)/(v_1)=(Delta S)/(2v_1)`,

`Delta t_2=(Delta S_2)/(v_2)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`,

`Delta t_3=(Delta S_3)/(v_3)=(Delta S)/(2(v_2+v_3))`.

Подставляя эти значения в выражение для `v_»ср»`, получим:

`v_»cp»=(Delta S)/((Delta S)/(2v_1)+(Delta S)/(2(v_2+v_3))+(Delta S)/(2(v_2+v_3))) =(2v_1(v_2+v_3))/(2v_1+v_2+v_3)=7,5` км/ч.

Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле `v_»ср»= (v_1 + v_2 + . + v_n)//n`, где `v_i` — скорость движения на `i`-м участке, `n` — число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости `v_»ср»`. Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.

3. Равнопеременное движение.

Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость `vec v` за любые равные промежутки времени `Delta t` изменяется на одинаковую величину `Deltavecv`. В этом случае ускорение `veca` тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:

(при этом `vec v != «const»`, и траектория движения не обязательно прямолинейная).
При равнопеременном движении скорость $$ \overrightarrow$$ тела изменяется с течением времени по закону

`vec v (t)=vec v_0 +vec at`, (11)

где `vecv_0` — скорость тела в начальный момент времени `t=0`.
В свою очередь, зависимость `vecr(t)` имеет вид:

`vec r(t)=vec r_0+vec v_0t+(vec a t^2)/2`, (12)

где `vecr_0` — начальный радиус-вектор тела при `t=0`. Вновь заметим, что величины `vecv_0` и `vecr_0` представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы `vecv` и `vecr`.

При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12), равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:

В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось $$ Ox$$, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

Если на промежутке времени от $$ 0$$ до $$ t$$ направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность $$ x-_<0>$$текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём $$ S$$, следовательно,

Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время $$ t$$, выраженное из уравнения $$ _=_<0x>+_t$$ . Это время будет

Тогда для пути $$ S$$ после несложных преобразований получим

Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени $$ t$$ в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

За `2`c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло `20` м, увеличив свою скорость в `3` раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень .B )

Пусть за время $$ t=2$$ с скорость тела изменилась от $$ _<0>$$ до $$ v$$. Направим координатную ось $$ Ox$$ вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать `v=v_0+at`, `a` — модуль ускорения тела. По условию `v_0=1/3v` и, следовательно, `a=2/3v/t`.

За время $$ t$$ тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь

С учётом выражений для $$ _<0>$$ и $$ a$$ получим `S=2/3vt`. Откуда искомая скорость `v=3/2S/t`. Подставляя сюда значения `S = 20` м и `t =2` c, найдём окончательно `v =15` м/ с.

Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор $$ \overrightarrow$$ на ускорение свободного падения $$ \overrightarrow$$, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.

Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость $$ <\overrightarrow>_<0>$$ направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй; время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту; путь `S`, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени $$ t$$ вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта.

Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси $$ Oy$$. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: $$ _<0>=0,_<0y>=_<0>$$.

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. В этот момент $$ y=0$$ и уравнение (16) даёт: `0=v_0 tau-(g t^2)/2`. Откуда для $$ \tau $$ получаем: $$ \tau =0$$ или `tau=(2v_0)/g`. Значение $$ \tau =0$$ соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следовательно, время полёта тела `tau=(2v_0)/g`.

Согласно (15), при $$ t=\tau $$ имеем: $$ _=_<0>-gt$$. Тогда с учётом найденного значения $$ \tau $$ получим $$ _=_<0>-2_<0>=-_<0>$$. Таким образом, скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости $$ _<0>$$, но направлена вертикально вниз, её проекция на ось $$ Oy$$ отрицательна.

Пусть при $$ t=<\tau >_<1>$$ тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что $$ y=H,_=0$$. С учётом этих значений уравнения (15) и (16) дают:

`0=v_0-g tau_1`, `H=v_0 tau_1-(g tau_1^2)/2`.

Из первого уравнения определяем время подъёма тела `tau_1=(v_0)/g` и, подставляя $$ <\tau >_<1>$$ во второе уравнение, найдём `H=(v_0^2)/(2g)`.
Заметим, что время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени $$ \tau $$ полёта тела: $$ \tau =2<\tau >_<1>$$.
Путь $$ S$$, пройденный телом за время полёта, складывается из двух участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, $$ S=2H$$. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

Зависимость $$ y\left(t\right)$$ в соответствии с (16) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэффициент при `t^2` отрицателен.
Зависимость $$ _\left(t\right)$$ является линейной, и её график представляет собой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой коси абсцисс равен коэффициенту при $$ t$$ в формуле (15):

Движение тела, брошенного горизонтально.

Тело бросили с высоты $$ H$$ над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость $$ <\overrightarrow>_<0>$$, направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю, дальность $$ l$$ полёта тела, скорость `vecv` тела в момент падения. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите графики зависимости от времени $$ t$$ координат тела и проекций скорости тела на координатные оси.

Начало отсчёта $$ O$$ поместим на поверхности земли под точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: `x_0=0`, `y_0=H`, `v_(0x)=v_0`, `v_(0y)=0`. Проекции ускорения тела на оси координат при отсутствии сопротивления воздуха равны:

Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю. Это означает, что $$ y=0$$, $$ x=l$$, и уравнения системы (18) принимают вид:

Решая их ,находим:

`tau= sqrt((2H)/g)`, `l=v_0sqrt((2H)/g)`.

В свою очередь, система уравнений (17) даёт: $$ _=_<0>,_=-g\tau $$. С учётом значения $$ \tau $$ получим `v_y=-sqrt(2gH)`, и модуль скорости `vecv` будет равен:

Направление вектора `vecv` определим с помощью угла $$ \alpha $$ (рис. 16):

Уравнение $$ y\left(x\right)$$ траектории движения тела получим, исключив параметр $$ t$$ из системы (18):

Так как $$ y\left(x\right)$$ представляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью $$ _<0>$$ направленной под углом $$ \alpha $$ к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время $$ \tau $$ полёта тела до его падения на землю,дальность $$ l$$ полёта тела, скорость тела в момент падения на землю,максимальную высоту $$ H$$ подъёма тела над землёй, время $$ <\tau >_<1>$$ подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела.

Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта $$ O$$ поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: `x_0=0`, `y_0=0`, `v_(0x)=v_0cosalpha`, `v_(0y)=v_0sinalpha`. При отсутствии сопротивления воздуха $$ _=0,_=g$$ С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

Пусть при $$ t=\tau $$ тело упало на землю, тогда: $$ y=0,x=l$$. Уравнения системы (20) дают:

(Здесь использовано равенство $$ 2\mathrm\alpha \mathrm\alpha =\mathrm2\alpha .$$ )
Из полученного выражения для $$ l$$ легко определить угол $$ \alpha $$, при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина $$ l$$ как функция от $$ \alpha $$ принимает максимальное значение в том случае, когда $$ \mathrm2\alpha =1$$. Это возможно, если `2alpha=90^@`, т. е. `alpha=45^@`.

Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: `v=sqrt(v_x^2+v_y^2)`. В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при $$ t=\tau $$ ) имеем: $$ _=_<0>\mathrm\alpha $$, $$ _=_<0>\mathrm\alpha -g\tau =-_<0>\mathrm\alpha $$.

Направление скорости тела в момент падения составляет угол $$ \alpha $$ с направлением оси $$ Ox$$. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси $$ Ox$$.

Пусть при $$ t=<\tau >_<1>$$ тело достигло максимальной высоты. В этот момент $$ _=0$$, `y=H`. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают:

Отсюда последовательно находим:

Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время $$ t$$ :

График траектории тела представляетсобой участок параболы, ветви которой направлены вниз.

Механическое движение

О чем эта статья:

Механическое движение

Когда мы идем в школу или на работу, автобус подъезжает к остановке или сладкий корги гуляет с хозяином, мы имеем дело с механическим движением.

Механическим движением называется изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени.

«Относительно других тел» — очень важные слова в этом определении. Для описания движения нам нужны:

• тело отсчета
• система координат
• часы

В совокупности эти три параметра образуют систему отсчета.

В механике есть такой раздел — кинематика. Он отвечает на вопрос, как движется тело. Дальше мы с помощью кинематики опишем разные виды механического движения. Не переключайтесь 😉

Прямолинейное равномерное движение

Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.

Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч, и у вас нет никаких препятствий на пути — скорее всего, вы будете двигаться прямолинейно равномерно.

Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.

Скалярные величины (определяются только значением)

• Время — в международной системе единиц СИ измеряется в секундах [с].
• Путь — длина траектории (линии, по которой движется тело). В случае прямолинейного равномерного движения — длина отрезка [м].

Векторные величины (определяются значением и направлением)

• Скорость — характеризует быстроту перемещения и направление движения материальной точки [м/с].
• Перемещение — вектор, проведенный из начальной точки пути в конечную [м].

Проецирование векторов

Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.

Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.

Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.

Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики.

Скорость — это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.

Скорость

— скорость [м/с]
— перемещение [м]
— время [с]

Средняя путевая скорость

V ср.путевая = S/t

V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
S — путь [м]
t — время [с]

Задача

Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = S/t

Подставим значения:
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч

Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Уравнение движения

Одной из основных задач механики является определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).

Уравнение движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

Уравнение движения при движении против оси

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_x — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]

Прямолинейное равноускоренное движение

Чтобы разобраться с тем, что за тип движения в этом заголовке, нужно ввести новое понятие — ускорение.

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. В международной системе единиц СИ измеряется в метрах, деленных на секунду в квадрате.

СИ — международная система единиц. «Перевести в СИ» означает перевод всех величин в метры, килограммы, секунды и другие единицы измерения без приставок. Исключение — килограмм с приставкой «кило».

Итак, равноускоренное прямолинейное движение — это движение с ускорением по прямой линии. Движение, при котором скорость тела меняется на равную величину за равные промежутки времени.

Уравнение движения и формула конечной скорости

Основная задача механики не поменялась по ходу текста — определение положения тела относительно других тел в данный момент времени. У равноускоренного движения в уравнении появляется ускорение.

Уравнение движения для равноускоренного движения

x(t) — искомая координата в момент времени t [м]
x₀ — начальная координата [м]
v_0x — начальная скорость тела в [м/с]
t — время [с]
a_x — ускорение [м/с 2 ]

Для этого процесса также важно уметь находить конечную скорость — решать задачки так проще. Конечная скорость находится по формуле:

Формула конечной скорости

— конечная скорость тела [м/с]
— начальная скорость тела [м/с]
— время [с]
— ускорение [м/с 2 ]

Задача

Найдите местоположение автобуса, который разогнался до скорости 60 км/ч за 3 минуты, через 0,5 часа после начала движения из начала координат.

Решение:

Сначала найдем ускорение автобуса. Его можно выразить из формулы конечной скорости:

Так как автобус двигался с места, . Значит

Время дано в минутах, переведем в часы, чтобы соотносилось с единицами измерения скорости.

3 минуты = 3/60 часа = 1/20 часа = 0,05 часа

Подставим значения:
a = v/t = 60/0,05 = 1200 км/ч 2
Теперь возьмем уравнение движения.
x(t) = x₀ + v_0xt + a_xt 2 /2

Начальная координата равна нулю, начальная скорость, как мы уже выяснили — тоже. Значит уравнение примет вид:

Ускорение мы только что нашли, а вот время будет равно не 3 минутам, а 0,5 часа, так как нас просят найти координату в этот момент времени.

Подставим циферки:
км

Ответ: через полчаса координата автобуса будет равна 150 км.

Движение по вертикали

Движение по вертикали — это частный случай равноускоренного движения. Дело в том, что на Земле тела падают с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Для Земли оно приблизительно равно 9,81 м/с 2 , а в задачах мы и вовсе осмеливаемся округлять его до 10 (физики просто дерзкие).

Вообще в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают значение: g = 9,8 м/с 2 . В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с 2 .

Частным случаем движения по вертикали (частным случаем частного случая, получается) считается свободное падение — это равноускоренное движение под действием силы тяжести, когда другие силы, действующие на тело, отсутствуют или пренебрежимо малы.

Помните о том, что свободное падение — это не всегда движение по вертикали из состояния покоя. Если мы бросаем тело вверх, то начальная скорость, конечно же, будет.