Уравнение зависимости по трем столбцам

Метод статистических уравнений зависимостей

Назначение сервиса . С помощью сервиса можно найти следующие показатели:

• уравнение однофакторной линейной связи, уравнение многофакторной линейной связи;
• коэффициент корреляции однофакторный, индекс корреляции (однофакторный и многофакторный), коэффициент устойчивости связи;

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция

Пример . Известны следующие данные об удельном весе пашни, лугов и пастбищ в сельскохозяйственных угодьях и уровне рентабельности производства сельскохозяйственной продукции по КСП административных районов области за год.
Определите:
Параметры и критерии метода статистических уравнений зависимостей:
а) параметры уравнений зависимости для каждого фактора; отразите их на графиках;
б) коэффициент и индекс корреляции;
в) сумму минимальных отклонений между теоретическими и эмпирическими значениями результативного признака;
г) коэффициент устойчивости связи для каждого фактора;
д) параметры уравнения множественной зависимости и удельный вес влияния каждого из факторов на результативный признак.
Нормативные уровни факторов и результативного показателя:
а) нормативный уровень результативного показателя (уровня рентабельности) при изменении уровня каждого из факторов на единицу.
б) нормативные уровни факторов для обеспечения изменения результативного показателя (уровня рентабельности) на единицу.

Построение графика зависимости в Microsoft Excel

Одной из типичных математических задач является построение графика зависимости. В нем отображается зависимость функции от изменения аргумента. На бумаге выполнить данную процедуру не всегда просто. Но инструменты Excel, если в должной мере овладеть ими, позволяют выполнить данную задачу точно и относительно быстро. Давайте выясним, как это можно сделать, используя различные исходные данные.

Процедура создания графика

Зависимость функции от аргумента является типичной алгебраической зависимостью. Чаще всего аргумент и значение функции принято отображать символами: соответственно «x» и «y». Нередко нужно произвести графическое отображение зависимости аргумента и функции, которые записаны в таблицу, или представлены в составе формулы. Давайте разберем конкретные примеры построения подобного графика (диаграммы) при различных заданных условиях.

Способ 1: создание графика зависимости на основе данных таблицы

Прежде всего, разберем, как создать график зависимости на основе данных, предварительно внесенных в табличный массив. Используем таблицу зависимости пройденного пути (y) от времени (x).

Выделяем таблицу и переходим во вкладку «Вставка». Кликаем по кнопке «График», которая имеет локализацию в группе «Диаграммы» на ленте. Открывается выбор различных типов графиков. Для наших целей выбираем самый простой. Он располагается первым в перечне. Клацаем по нему.

Программа производит построение диаграммы. Но, как видим, на области построения отображается две линии, в то время, как нам нужна только одна: отображающая зависимость пути от времени. Поэтому выделяем кликом левой кнопки мыши синюю линию («Время»), так как она не соответствует поставленной задаче, и щелкаем по клавише Delete.

Собственно на этом построение простейшего графика зависимости можно считать завершенным. При желании также можно отредактировать наименования диаграммы, её осей, удалить легенду и произвести некоторые другие изменения. Об этом подробнее рассказывается в отдельном уроке.

Способ 2: создание графика зависимости с несколькими линиями

Более сложный вариант построения графика зависимости представляет собой случай, когда одному аргументу соответствуют сразу две функции. В этом случае потребуется построить две линии. Для примера возьмем таблицу, в которой по годам расписана общая выручка предприятия и его чистая прибыль.

1. Выделяем всю таблицу вместе с шапкой.

Как и в предыдущем случае, жмем на кнопку «График» в разделе диаграмм. Опять выбираем самый первый вариант, представленный в открывшемся списке.

Программа производит графическое построение согласно полученным данным. Но, как видим, в данном случае у нас имеется не только лишняя третья линия, но ещё и обозначения на горизонтальной оси координат не соответствуют тем, которые требуются, а именно порядку годов.

Сразу удалим лишнюю линию. Ею является единственная прямая на данной диаграмме — «Год». Как и в предыдущем способе, выделяем линию кликом по ней мышкой и жмем на кнопку Delete.

Линия удалена и вместе с ней, как вы можете заметить, преобразовались значения на вертикальной панели координат. Они стали более точными. Но проблема с неправильным отображением горизонтальной оси координат все-таки остается. Для решения данной проблемы кликаем по области построения правой кнопкой мыши. В меню следует остановить выбор на позиции «Выбрать данные…».

Открывается окошко выбора источника. В блоке «Подписи горизонтальной оси» кликаем по кнопке «Изменить».

Открывается окошко ещё меньше предыдущего. В нём нужно указать координаты в таблице тех значений, которые должны отображаться на оси. С этой целью устанавливаем курсор в единственное поле данного окна. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем всё содержимое столбца «Год», кроме его наименования. Адрес тотчас отразится в поле, жмем «OK».

Вернувшись в окно выбора источника данных, тоже щелкаем «OK».

Способ 3: построение графика при использовании различных единиц измерения

В предыдущем способе мы рассмотрели построение диаграммы с несколькими линиями на одной плоскости, но при этом все функции имели одинаковые единицы измерения (тыс. руб.). Что же делать, если нужно создать графики зависимости на основе одной таблицы, у которых единицы измерения функции отличаются? В Экселе существует выход и из этого положения.

Имеем таблицу, в которой представлены данные по объему продаж определенного товара в тоннах и по выручке от его реализации в тысячах рублей.

Как и в предыдущих случаях выделяем все данные табличного массива вместе с шапкой.

Клацаем по кнопке «График». Снова выбираем первый вариант построения из перечня.

Набор графических элементов сформирован на области построения. Тем же способом, который был описан в предыдущих вариантах, убираем лишнюю линию «Год».

Как и в предыдущем способе, нам следует на горизонтальной панели координат отобразить года. Кликаем по области построения и в списке действий выбираем вариант «Выбрать данные…».

В новом окне совершаем щелчок по кнопке «Изменить» в блоке «Подписи» горизонтальной оси.

В следующем окне, производя те же действия, которые были подробно описаны в предыдущем способе, вносим координаты столбца «Год» в область «Диапазон подписей оси». Щелкаем по «OK».

При возврате в предыдущее окно также выполняем щелчок по кнопке «OK».

В нашем случае для обозначения выручки оставим ту вертикальную ось, которая уже имеется, а для линии «Объём продаж» создадим вспомогательную. Клацаем по данной линии правой кнопкой мышки и выбираем из перечня вариант «Формат ряда данных…».

Запускается окно формата ряда данных. Нам нужно переместиться в раздел «Параметры ряда», если оно было открыто в другом разделе. В правой части окна расположен блок «Построить ряд». Требуется установить переключатель в позицию «По вспомогательной оси». Клацаем по наименованию «Закрыть».

Способ 4: создание графика зависимости на основе алгебраической функции

Теперь давайте рассмотрим вариант построения графика зависимости, который будет задан алгебраической функцией.

У нас имеется следующая функция: y=3x^2+2x-15. На её основе следует построить график зависимости значений y от x.

Прежде, чем приступить к построению диаграммы, нам нужно будет составить таблицу на основе указанной функции. Значения аргумента (x) в нашей таблице будут указаны в диапазоне от -15 до +30 с шагом 3. Чтобы ускорить процедуру введения данных, прибегнем к использованию инструмента автозаполнения «Прогрессия».

Указываем в первой ячейке столбца «X» значение «-15» и выделяем её. Во вкладке «Главная» клацаем по кнопке «Заполнить», размещенной в блоке «Редактирование». В списке выбираем вариант «Прогрессия…».

Выполняется активация окна «Прогрессия». В блоке «Расположение» отмечаем наименование «По столбцам», так как нам необходимо заполнить именно столбец. В группе «Тип» оставляем значение «Арифметическая», которое установлено по умолчанию. В области «Шаг» следует установить значение «3». В области «Предельное значение» ставим цифру «30». Выполняем щелчок по «OK».

После выполнения данного алгоритма действий весь столбец «X» будет заполнен значениями в соответствии с заданной схемой.

Теперь нам нужно задать значения Y, которые бы соответствовали определенным значениям X. Итак, напомним, что мы имеем формулу y=3x^2+2x-15. Нужно её преобразовать в формулу Excel, в которой значения X будут заменены ссылками на ячейки таблицы, содержащие соответствующие аргументы.

Выделяем первую ячейку в столбце «Y». Учитывая, что в нашем случае адрес первого аргумента X представлен координатами A2, то вместо представленной выше формулы получаем такое выражение:

Записываем это выражение в первую ячейку столбца «Y». Для получения результата расчета щелкаем по клавише Enter.

Результат функции для первого аргумента формулы рассчитан. Но нам нужно рассчитать её значения и для других аргументов таблицы. Вводить формулу для каждого значения Y очень долгое и утомительное занятие. Намного быстрее и проще её скопировать. Эту задачу можно решить с помощью маркера заполнения и благодаря такому свойству ссылок в Excel, как их относительность. При копировании формулы на другие диапазоны Y значения X в формуле будут автоматически изменяться относительно своих первичных координат.

Наводим курсор на нижний правый край элемента, в который ранее была записана формула. При этом с курсором должно произойти преображение. Он станет черным крестиком, который носит наименование маркера заполнения. Зажимаем левую кнопку мыши и тащим этот маркер до нижних границ таблицы в столбце «Y».

Вышеуказанное действие привело к тому, что столбец «Y» был полностью заполнен результатами расчета формулы y=3x^2+2x-15.

Теперь настало время для построения непосредственно самой диаграммы. Выделяем все табличные данные. Снова во вкладке «Вставка» жмем на кнопку «График» группы «Диаграммы». В этом случае давайте из перечня вариантов выберем «График с маркерами».

Диаграмма с маркерами отобразится на области построения. Но, как и в предшествующих случаях, нам потребуется произвести некоторые изменения для того, чтобы она приобрела корректный вид.

Прежде всего, удалим линию «X», которая разместилась горизонтально на отметке 0 координат. Выделяем данный объект и жмем на кнопку Delete.

Легенда нам тоже не нужна, так как мы имеем только одну линию («Y»). Поэтому выделяем легенду и снова жмем по клавише Delete.

Теперь нам нужно значения в горизонтальной панели координат заменить на те, которые соответствуют столбцу «X» в таблице.

Кликом правой кнопки мыши выделяем линию диаграммы. В меню перемещаемся по значению «Выбрать данные…».

В активировавшемся окне выбора источника клацаем по уже хорошо знакомой нам кнопке «Изменить», располагающейся в блоке «Подписи горизонтальной оси».

Запускается окошко «Подписи оси». В области «Диапазон подписей оси» указываем координаты массива с данными столбца «X». Ставим курсор в полость поля, а затем, произведя необходимый зажим левой кнопки мыши, выделяем все значения соответствующего столбца таблицы, исключая лишь его наименование. Как только координаты отобразятся в поле, клацаем по наименованию «OK».

Вернувшись к окну выбора источника данных, клацаем по кнопке «OK» в нём, как до этого сделали в предыдущем окне.

Как видим, с помощью программы Excel процедура построения графика зависимости значительно упрощается в сравнении с созданием его на бумаге. Результат построения можно использовать как для обучающих работ, так и непосредственно в практических целей. Конкретный вариант построения зависит от того, на основе чего строится диаграмма: табличные значения или функция. Во втором случае перед построением диаграммы придется ещё создавать таблицу с аргументами и значениями функций. Кроме того, график может быть построен, как на основе одной функции, так и нескольких.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12692 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов и матриц-строк . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.

Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если

где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной .

Если столбцы в (3.1) имеют вид

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов .

Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из столбцов называется линейно независимой , если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой .

Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

Решение. 1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу: .

2) Столбцы линейно независимы, так как равенство

оказывается верным только при .

Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца , то она линейно зависима.

4. Система из 1″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAiXFYMbEhAcBBoPDQoeAQ0I3cqgAAALZJREFUKM+VktsSwyAIRDWKiFf+/2uLSZvEhkxaXnTGs7KsGvN3UYrwC+ffa3D8zCMlxo+QlyfcNmg7v7A/t7VBux/jzkOe54lJURw8ZrHvop0UdM8P+3axGc89aqQ7XuxbjzybMkEUqPLAIPP6/u0g1OYUHnMpTQs02KLxq/0p0Y1O0al+RvqOCcv51CeZF1UeJBjhacoT6PJehTd9k/R7gdgPul7ei3itcWeYPp/sqv4fRhnzAuOaBpbDogV3AAAAAElFTkSuQmCC» /> столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов — линейно независима, а после присоединения к ней столбца — оказывается линейно зависимой, то столбец можно разложить по столбцам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов линейно зависима, то существуют числа не все равные 0, что

В этом равенстве . В самом деле, если , то

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. столбец есть линейная комбинация столбцов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ). Тогда из равенства

последовательно, линейная комбинация столбцов равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. .

Решение. В самом деле, если столбцы и линейно зависимы, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Причем в этом равенстве . Действительно, предположив, что , получим противоречие , поскольку и столбец — ненулевой. Значит, . Поэтому найдется число такое, что . Необходимость доказана.

Наоборот, если , то . Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.

Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы , линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца , линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– система линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): ;

– каждая из пяти систем и линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем и линейно зависима, так как содержит нулевой столбец (свойство 1);

– системы линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему (свойство 6);

– системы и линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): и соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).