Уравнение жидкости при ее стационарном течении

Движение жидкости по трубам. Зависимость давления жидкости от скорости ее течения

Движение жидкости по трубам.
Зависимость давления жидкости от скорости ее течения

Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности

Рассмотрим случай, когда невязкая жидкость течет по горизонтальной цилиндрической трубе с изменяющимся поперечным сечением.

Течение жидкости называют стационарным, если в каждой точке пространства, занимаемого жидкостью, ее скорость с течением времени не изменяется. При стационарном течении через любое поперечное сечение трубы за равные промежутки времени переносятся одинаковые объемы жидкости.

Жидкости практически несжимаемы, т. е. можно считать, что данная масса жидкости всегда имеет неизменный объем. Поэтому одинаковость объемов жидкости, проходящих через разные сечения трубы, означает, что скорость течения жидкости зависит от сечения трубы.

Пусть скорости стационарного течения жидкости через сечения трубы S1 и S2 равны соответственно v1 и v2. Объем жидкости, протекающей за промежуток времени t через сечение S1, равен V1=S1v1t, а объем жидкости, протекающей за то же время через сечение S2, равен V2=S2v2t. Из равенства V1=V2 следует, что

Соотношение (1) называют уравнением неразрывности. Из него следует, что

Следовательно, при стационарном течении жидкости скорости движения ее частиц через разные поперечные сечения трубы обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Давление в движущейся жидкости. Закон Бернулли

Увеличение скорости течения жидкости при переходе из участка трубы с большей площадью поперечного сечения в участок трубы с меньшей площадью поперечного сечения означает, что жидкость движется с ускорением.

Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является сила. Этой силой в данном случае является разность сил давления, действующих на текущую жидкость в широкой и узкой частях трубы. Следовательно, в широкой части трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узкой. Это можно непосредственно наблюдать на опыте. На рис. показано, что на участках разного поперечного сечения S1 и S2 в трубу, по которой течет жидкость, вставлены манометрические трубки.

Как показывают наблюдения, уровень жидкости в манометрической трубке у сечения S1 трубы выше, чем у сечения S2. Следовательно, давление в жидкости, протекающей через сечение с большей площадью S1, выше, чем давление в жидкости, протекающей через сечение с меньшей площадью S2. Следовательно, при стационарном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление в жидкости больше и, наоборот, там, где скорость течения больше, давление в жидкости меньше. К этому выводу впервые пришел Бернулли, поэтому данный закон называется законом Бернулли.

Разборка решения задач:

ЗАДАЧА 1. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определить скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части.

ЗАДАЧА 2. В горизонтально расположенной трубе сечением 20 см2 течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение сечением 12 см2. Разность уровней жидкости в манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход жидкости за 1 с.

ЗАДАЧА 3. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила 15 Н. Определить скорость истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь поршня 12 см2.

Конспект по физике на тему «Уравнение Бернулли» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Зависимость давления жидкости от скорости ее течения. Движение тел в жидкостях и газах. Уравнение Бернулли. Использование и учет его в технике и жизни .

Один из способов наблюдения течения жидкости состоит в том, что к жидкости подмешивают алюминиевый порошок и следят при сильном освещении за движением алюминиевых блесток. При этом траектории движения этих частиц будут совпадать с линиями тока.

Линии тока – линии, проведенные так, что касательные к ним совпадают по направлению со скоростями частиц жидкости в соответствующих точках пространства.

Свойства линий тока:

1) Цепочки, которые образует алюминиевый порошок, показывают форму линий тока.

2) Через любую точку жидкости можно провести линию тока.

3) Направление линий тока определяется направлением скорости частиц жидкости в данной точке.

4) Густота линий тока характеризует величину скорости в разных точках пространства текущей жидкости: там, где линии тока расположены гуще, скорость больше; там, где линии тока расположены реже, скорость меньше.

Трубка тока – объем жидкости, ограниченный линиями тока.

Скорости элементов жидкости в каждой точке поверхности трубки направлены по касательной к этой поверхности, поэтому частицы при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Различают два вида движения жидкостей:

движение жидкости, при котором отдельные ее слои скользят друг относительно друга, не перемешиваясь.

Движение жидкости, сопровождающееся перемешиванием ее различных слоев с образованием завихрений.

Примеры: течение воды в спокойных реках,

Примеры: поток быстрых рек, океанские течения.

Для описания движения жидкости обычно пользуются следующим методом: фиксируют скорости различных элементов жидкости в одних и тех же точках пространства. Кинематически описать движение реальных жидкостей достаточно сложно. Примем некоторые допущения для упрощения задачи:

1) Ограничимся рассмотрением ламинарного течения.

2) При описании движения жидкости будем рассматривать идеальные жидкости:

Идеальная жидкость – жидкость, вязкостью и сжимаемостью которой можно пренебречь.

Когда мы говорим, что жидкость несжимаема, то имеем в виду, что она не может быть сжата настолько, чтобы заметно изменился ее объем, но очень малое сжатие, вызывающее появление сил упругости, неизбежно происходит.

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление относительному перемещению своих частей. Вязкость обусловлена наличием сил внутреннего трения в жидкости.

3) Будем считать, что движение жидкости стационарное:

Скорости элементов жидкости в различных точках пространства, вообще говоря, различны. Если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем, то движение жидкости называется стационарным (установившимся).

При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку с одним и тем же значением скорости. В другой какой-либо точке скорость частицы будет иной, но также постоянной во времени для всех частиц.

Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной. Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Рассмотрим ламинарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. Разобьем жидкость на отдельные трубки тока, настолько тонкие, что в каждом сечении скорости элементов жидкости можно считать одинаковыми.

Рассмотрим два сечения S ₁ и S ₂ . Обозначим через и соответствующие скорости течения жидкости.

За малое время Δ t через первое сечение проходит жидкость, масса которой равна: , а через второе — .

Для несжимаемой жидкости и , так как жидкость не пересекает стенок трубки и не может в ней накапливаться. Следовательно:

–уравнение неразрывности несжимаемой жидкости:

модули скоростей несжимаемой жидкости в двух сечениях трубки тока обратно пропорциональны площадям сечений.

Это уравнение справедливо как для стационарного, так и для нестационарного течения.

Давление внутри неподвижной жидкости передается в любую точку этой жидкости без изменений (закон Паскаля). Выясним распределение давления в движущейся жидкости.

Рассмотрим следующий опыт. Возьмем трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены открытые сверху измерительные трубки. При стационарном течении жидкость в каждой измерительной трубке поднимается до определенной высоты, отсчитываемой от горизонтального уровня. По высоте столба жидкости можно судить о ее давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но, согласно уравнению неразрывности несжимаемой жидкости, чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, можно сделать вывод:

Закон Бернулли: при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот, меньше в тех местах, где больше скорость течения.

Объяснить результат эксперимента можно следующим образом. Так как при переходе жидкости с участка трубы с большей площадью сечения, на участок с меньшей площадью сечения скорость течения увеличивается, то жидкость движется с ускорением, направленным по течению. При переходе жидкости из узкой части в широкую, скорость течения уменьшается, жидкость движется с ускорением, направленным против течения. Согласно II закону Ньютона ускорение вызывается силой и совпадает с ней по направлению. Такой силой может быть лишь равнодействующая сил давления окружающей жидкости на поверхность выделенного объема. Сила давления представляет собой силу упругости сжатой жидкости. Таким образом, в широком участке трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узком участке трубы.

Установим зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее стационарного течения математически. Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Система труба-жидкость-Земля является замкнутой и потенциальной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Согласно теореме об изменении потенциальной энергии:

По определению работы:

(где

— уравнение Бернулли.

где — плотность кинетической энергии или динамическое давление (обусловленное );

— плотность потенциальной энергии или гидростатическое давление (обусловленное гравитационного взаимодействия);

— статическое давление (обусловленное упругого взаимодействия)

Согласно уравнению Бернулли: сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остается постоянной для любого сечения потока.

Если труба горизонтальна, то и уравнение примет вид:

.

Это уравнение показывает, что с увеличением скорости течения давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе, уменьшается .

Применение уравнения Бернулли:

1) Измерение давления и скорости.

Для измерения давления в текущей жидкости используют манометрические трубки, имеющие Г-образную форму с отверстиями. Если располагать трубку, чтобы отверстие было направлено навстречу потоку, скорость жидкости перед отверстием равно нулю; линии тока перед манометром расходятся, не попадая в область перед отверстием. Подставляя в уравнение Бернулли , имеем:

Давление можно измерить с помощью манометрической трубки, помещенной в поток жидкости отверстием вверх (плоскость отверстия расположена параллельно линиям тока). Течение жидкости вдоль боков трубки остается практически таким же как и без трубки, следовательно, показания манометра будут совпадать с показаниями манометра, который движется вместе с жидкостью.

Манометр, обращенный отверстием к потоку, измерит большее давление , чем манометр с отверстием, параллельным линиям тока . Избыток давления получается потому, что частицы жидкости тормозятся перед манометром, вследствие этого давление повышается.

Измерив давление и , можно определить скорость потока:

Эта формула может быть использована для измерения скорости подводной лодки или самолета.

2) Определение скорости истечения жидкостей из отверстия в сосуде.

С помощью уравнения Бернулли можно найти скорость истечения идеальной жидкости из отверстия расположенного в сосуде на глубине h относительно поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, то скорости жидкости в сосуде малы. Ко всему потоку жидкости в целом можно применить уравнение Бернулли. В верхнем сечении у поверхности давление равно атмосферному, а скорость . В нижнем сечении трубки – в отверстии давление также равно атмосферному. Если скорость в отверстии обозначить через , то из уравнения Бернулли для этих двух сечений получим:

Истечение идеальной жидкости происходит с той же скоростью, какую имело бы тело при свободном падении с высоты h .

Применение уравнения Бернулли в технике:

1) Водоструйный насос.

Струя воды подается в трубку А, имеющую на одном конце сужение. По сужению вода течет с большей скоростью. Из-за этого давление в струе в этом месте оказывается меньше атмосферного, воздух из сосуда всасывается в струю через трубку В и удаляется вместе с водой.

Простейший пульверизатор состоит из двух трубок, расположенных перпендикулярно друг другу. Через горизонтальную трубку продувается воздух. В узкой части струи при выходе из трубки давление меньше атмосферного. Атмосферное давление поднимает жидкость по вертикальной трубке, и она распыляется струей воздуха.

3) Карбюратор – прибор, предназначенный для питания двигателя внутреннего сгорания горючей смесью.

Во время всасывающих тактов движения поршня двигателя наружный воздух проходит по трубе, которая имеет суженную часть – диффузор. В диффузоре помещен жиклер (распылитель воздуха) – трубка с малым отверстием. Жиклер соединен с поплавковой камерой карбюратора. При прохождении потока воздуха его скорость в диффузоре резко возрастает, давление становится меньше атмосферного и атмосферное давление выталкивает бензин из поплавковой камеры через жиклер. Бензин распыляется в потоке воздуха – образуется рабочая смесь, которая поступает в цилиндр двигателя.

Жидкости и газы существенно отличаются друг от друга. Различие между жидкостями и газами обусловлено большой сжимаемостью газов. Несмотря на это, явления в неподвижных жидкостях и газах аналогичны (закон Паскаля, закон Архимеда). При исследовании движения в жидкостях и газах эта аналогия во многом сохраняется, а именно: при движении газов со скоростями, значительно меньшими скорости звука (340м/с), сжимаемость газов достаточно мала и ее можно не учитывать. В связи с этим полученные ранее законы и утверждения можно применять и для газов.

Применим уравнение Бернулли для расчета подъемной силы крыла самолета.

При отсутствии сил сопротивления воздуха крыло обтекает ламинарный поток. Согласно уравнению Бернулли:

и

Если учитывать сопротивление воздуха, картина будет другая. Когда воздушный поток начинает обтекать крыло, то из-за действия сил трения у задней кромки образуется вихрь, в котором воздух вращается против часовой стрелки, если крыло движется влево. Применим уравнение Бернулли:

(т.к. вблизи точки 2 образуется вихрь) и .

Но по закону сохранения момента импульса при возникновении вращения против часовой стрелки должно возникнуть вращение по часовой стрелке.

Такое вращение воздуха и возникает вокруг крыла. На обтекающий крыло поток накладывается циркуляция воздуха вокруг крыла. В результате скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом, так как над крылом скорость циркуляции имеет такое же направление, как и скорость набегающего на крыло потока, а под крылом эти скорости противоположны по направлению. Но согласно закону Бернулли давление должно быть больше там, где скорость меньше. Следовательно, под крылом самолета давление больше, чем над ним. Из-за этого и возникает подъемная сила.

и .

Известно, что наименьшая сила сопротивления действует на тело каплеобразной формы. Такая форма крыла самолета обеспечивает хорошую его обтекаемость.

Идеальная жидкость и уравнения, описывающие ее движение

Раздел физики, который изучает особенности движение жидких сред, называется гидродинамикой. Одним из главных математических выражений гидродинамики является уравнение Бернулли для идеальной жидкости. Именно этой теме посвящена статья.

Что такое идеальная жидкость?

Многие знают, что жидкая субстанция представляет собой такое агрегатное состояние материи, которое сохраняет при постоянных внешних условиях объем, но изменяет свою форму при малейшем воздействии на нее. Под идеальной жидкостью понимают такую текучую субстанцию, которая не имеет вязкости и является несжимаемой. Это два главных свойства, которые отличают ее от реальных текучих сред.

Вам будет интересно: Как разобрать предложение по составу? Русский язык

Отметим, что практически все реальные жидкости можно считать несжимаемыми, поскольку для небольшого изменения их объема необходимо огромное внешнее давление. Например, если создать давление в 5 атмосфер (500 кПа), то вода увеличит свою плотность всего на 0,024 %. Что касается вопроса вязкости, то для ряда практических задач, когда в качестве рабочей жидкости рассматривается вода, ею можно пренебречь. Для полноты информации отметим, что динамическая вязкость воды при 20 oC составляет 0,001 Па*с2, что в сравнении с этой величиной для меда (>2000), является мизерным значением.

Важно не путать понятия идеальной жидкости и идеального газа, поскольку последний является легко сжимаемым.

Уравнение непрерывности

В гидродинамике движение идеальной жидкости начинают рассматривать с изучения уравнения непрерывности ее потока. Чтобы понять суть вопроса, необходимо рассмотреть движение жидкости по трубе. Представим, что на входе труба имеет площадь сечения A1, а на выходе A2.

Теперь предположим, что жидкость течет в начале трубы со скоростью v1, это означает, что за время t через сечение A1 пройдет поток объемом V1 = A1*v1*t. Поскольку жидкость является идеальной, то есть несжимаемой, то точно такой же объем воды должен выйти из конца трубы за время t, получаем: V2 = A2*v2*t. Из равенства объемов V1 и V2 следует уравнение непрерывности потока идеальной жидкости:

Из полученного уравнения следует, что если A1>A2, то v1 должно быть меньше, чем v2. Другими словами, уменьшая сечение трубы, мы тем самым увеличиваем скорость выходящего из нее потока жидкости. Очевидно, что этот эффект наблюдал каждый человек в жизни, кто хотя бы раз поливал из шланга клумбы с цветами или огород, так, прикрывая пальцем отверстие шланга, можно наблюдать, как струя бьющей из него воды становится сильнее.

Уравнение непрерывности для разветвленной трубы

Интересно рассмотреть случай движения идеальной жидкости по трубе, которая имеет не один, а два и более выхода, то есть является разветвленной. Например, площадь сечения трубы на входе равна A1, а к выходу она разветвляется на две трубы с сечениями A2 и A3. Определим скорости потоков v2 и v3, если известно, что на вход вода поступает со скоростью v1.

Используя уравнение непрерывности, получаем выражение: A1*v1 = A2*v2 + A3*v3. Чтобы решить это уравнения относительно неизвестных скоростей, нужно понимать, что на выходе, в какой бы трубе не находился поток, он движется с одинаковой скоростью, то есть v2=v3. Этот факт можно понять интуитивно. Если разделить некоторой перегородкой выходную трубу на две части, скорость потока при этом не изменится. Учитывая этот факт, получаем решение: v2 = v3 = A1*v1/(A2 + A3).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Швейцарский физик и математик голландского происхождения Даниил Бернулли в своей работе «Гидродинамика» (1734 год) представил уравнение идеальной жидкости, описывающее ее движение. Оно записывается в следующей форме:

P+ ρ*v2/2 + ρ*g*h = const.

Это выражение отражает закон сохранения энергии в случае течения жидкости. Так, первое слагаемое (P) — давление, направленное вдоль вектора перемещения жидкости, которое описывает работу потока, второе слагаемое (ρ*v2/2) — это кинетическая энергия текучей субстанции, и третье слагаемое (ρ*g*h) — это ее потенциальная энергия.

Напомним, что это уравнение справедливо для идеальной жидкости. В действительности же всегда существует трение текучей субстанции о стенки трубы и внутри ее объема, поэтому в приведенное уравнение Бернулли вводят дополнительный член, описывающий эти энергетические потери.

Использование уравнения Бернулли

Интересно привести некоторые изобретения, в которых используются выводы из уравнения Бернулли:

• Дымоход и вытяжки. Из уравнения следует, что чем больше скорость движения текучей субстанции, тем меньше ее давление. Скорость движения воздуха наверху дымохода больше, чем в его основании, поэтому поток дыма из-за разницы давлений всегда стремится вверх.
• Водопроводные трубы. Уравнение помогает понять, как изменится давление воды в трубе, если изменить диаметр последней.
• Самолеты и «Формула-1». Угол расположения крыльев самолета и антикрыла «Формулы-1» обеспечивает разность давления воздуха над и под крылом, что создает поднимающую и прижимающую силу соответственно.

Режимы течения жидкости

Уравнение Бернулли не учитывает режим движения жидкости, который может быть двух типов: ламинарный и турбулентный. Ламинарный поток характеризуется спокойным течением, при котором слои жидкости движутся по относительно плавным траекториям и не смешиваются между собой. Турбулентный режим движения жидкости характеризуется хаотичным перемещением каждой молекулы, составляющей поток. Особенностью турбулентного режима является наличие завихрений.

Каким способом будет течь жидкость, зависит от ряда факторов (особенности системы, например, наличия или отсутствия шероховатостей на внутренней поверхности трубы, вязкости субстанции и скорости ее перемещения). Переход между рассматриваемыми режимами движения описывается числами Рейнольдса.

Ярким примером ламинарного течения является медленное движение крови по гладким кровеносным сосудам. Пример турбулентного течения — сильный напор воды из крана.