Уравнением называется равенство содержащее букву

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Подставим в уравнение корень

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Применим распределительный закон для правой части:

Упростим левую и правую части уравнения:

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

Значит, корень уравнения найден верно.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1.Найдите корни уравнения.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

Это и есть корень уравнения.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.

Уравнение

Содержание

В данном уроке мы сформулируем определение уравнения и его корня, узнаем, что значит решить уравнение, а также научимся их решать.

Определения

В некоторых равенствах есть буквенная часть (обычно это какая-то латинская буква), например: $$6a+18=60$$ Такие выражения и называют уравнениями.

То есть уравнением называется равенство, содержащее букву (переменную), значение которой надо найти.

Значение буквы (переменной), при котором уравнение становится верным числовым равенством, называют корнем уравнения.

В процессе решения мы можем найти значение этой переменной. В этом нам помогут правила нахождения неизвестного слагаемого, множителя, уменьшаемого, частного.

Примеры решения уравнений

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. $$x+a=b$$ $$x=b-a$$

В нашем уравнении $6a+18=60$, чтобы найти слагаемое $6a$, вычтем $18$ из $60$. Тогда получим: $$6a=60-18$$ Посчитаем правую часть равенства: $$6a=42$$ Теперь найдем $а$: $$a=\frac<42><6>$$ $$a=7$$

Как проверить ответ

Верно ли решение, мы можем проверить, подставив полученное значение вместо буквы в первоначальное выражение. Если равенство сохранится, то наше решение правильное. Проверим: $$6\times 7+18=60$$ $$42+18=60$$ $$60=60$$

Как видим, равенство сохранилось. Следовательно, мы нашли верное решение уравнения, то есть посчитали, чему равен его корень $a$.

Другой пример

Решим уравнение $$d-17=14$$

В данном случае для нахождения корня уравнения $d$ нужно применить правило нахождения уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое. $$x-a=b$$ $$x=b+a$$

Проверим себя, подставив вместо $d$ полученное число:

$$31-17=14$$ $$14=14$$ Равенство верное.

Рассмотрим пример, когда нужно найти вычитаемое, и решим уравнение $$63-m=28$$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, из уменьшаемого вычтем разность: $$a-x=b$$ $$x=a-b$$

В нашем случае $$m=63-28$$ $$m=35$$

Проверка: $$63-35=28$$ $$28=28$$

Случаи, когда у уравнения нет корней

Бывает, что уравнение не имеет верного решения. К примеру, рассмотрим выражение: $$8b+5-4b=10+7b-9-3b+5$$ Перенесем влево с противоположными знаками все части уравнения с буквой, а без нее – вправо, и посчитаем результат: $$8b-4b-7b+3b=10-9+5-5$$ $$0b=1$$ Здесь, чтобы найти корень $b$ нам нужно разделить $1$ на $0$, но на $0$ делить нельзя. В подобных случаях уравнение не имеет верных решений или корней.

Подводя итог, мы можем сказать, что решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что данное уравнение не имеет ни одного корня.

Как читать названия переменных

При произношении нужно учитывать, что латинские буквы, обозначающие переменные $x$, $y$, $z$ – мужского рода. Названия всех других латинских букв – среднего рода. Например, $x$ равен $3$, но $a$ равно $3$. Или $y$ равен $9$, но $b$ равно $9$. Также при чтении выражений нужно помнить, что в математике названия букв не склоняются. К примеру, выражение $y+13=100$ будет читаться так: «сумма игрек и тринадцати равна ста».

Уравнения и решение задач

Очень часто уравнения используют для быстрого и простого решения задач. Тогда важно решить, что в задании лучше обозначить за неизвестную переменную. Обычно неизвестную величину в задачах обозначают латинскими буквами $x$ или $y$.

Решим задание

В большом блюде было некоторое количество яблок, затем в него добавили еще $8$ плодов. Всего в итоге в емкости оказалось $26$ яблок. Нужно найти, сколько было яблок в блюде изначально.

Обозначим за $x$ изначальное число яблок в блюде. После того, как добавили еще $8$ плодов, в емкости оказалось $x+8$ яблок.

В итоге получим следующее равенство: $$x+8=26$$ Решив данное уравнение, мы и найдем ответ на вопрос в задаче: $$x=26-8$$ $$x=18$$ Для уверенности проверим себя, подставив найденное число в равенство: $$18+8=26$$ $$36=36$$ Равенство верное. Так мы выяснили, что первоначально в блюде было $18$ яблок.

Найдите корень: $8k+33-2=47$

Решите с помощью уравнения. Несколько девочек играли мячом. Затем к ним присоединились еще три подруги и всего девочек стало $2$. Сколько девочек играло мячом с самого начала?

Нет корней, так как отрицательного решения в данной задаче быть не может

Урок математики в 5-м классе по теме: «Уравнения»

Разделы: Математика

Учебник: Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1997 и последующие.

Цели урока:

• обучение работе в группах, формирование навыков общения “учитель – ученик”, “ученик – ученик”;
• формирование навыков математической речи, контроля и самоконтроля;
• обучение работе с учебником;
• проверка знаний теоретического и практического материала при решении уравнений с помощью компонентов.

Подготовка к уроку:

• разбить учащихся класса на группы по 4-5 человек так, чтобы в каждой группе были обучающиеся разных уровней;
• расстановка парт в классе таким образом, чтобы отдельно друг от друга могли работать пять групп по 4-5 человек в каждой;
• подготовка дидактического материала:

а) карточки с вопросами к зачету (для каждого ученика):

М-5. Зачет по теме “Уравнение”.

1. Что называется уравнением?
2. Что значит решить уравнение?
3. Что называется корнем уравнения?
4. Как найти неизвестное слагаемое?
5. Как найти неизвестное уменьшаемое?
6. Как найти неизвестное вычитаемое?
7. Решите уравнение:

б) лист самопроверки (один на группу):

1. Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
2. Решить уравнение – значит найти его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.
3. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
4. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
5. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.
6. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

в) оценочный лист (один на группу):

Фамилия, имя

1

2

3

4

5

5

7а

7б

7в

7г

оценка

I. Проверка домашней работы (фронтально).

– Что называется уравнением?
– Что значит решить уравнение?
– Что называется корнем уравнения?

Проговорить решение домашних уравнений ( № 395 ):

Ответ: 469395 + x = 864.

Чтобы найти неизвестное слагаемое,
надо из суммы вычесть известное слагаемое.
Корень уравнения – 469.в) 300 – y = 206,
y = 300 – 206,
y = 94.

Ответ: 94300 – y = 206.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое,
надо из уменьшаемого вычесть разность.
Корень уравнения – 94.д) 166 = m – 34,
m = 166 + 34,
m = 200.

Ответ: 200166 = m – 34.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое,
надо сложить вычитаемое и разность.
Корень уравнения – 200.

II. Работа в группах

Каждый ученик в группе решает уравнение индивидуально. На теоретические вопросы один ученик в группе отвечает учителю, второй – ученику, который уже ответил, третий – второму и т.д. Во время ответа заполняется “оценочный лист”. Если ученик отвечает правило без учебника, то напротив его фамилии в оценочном листе проставляется “+”, если отвечает с помощью учебника, то “”. При ответе ученика проверяющий, который нетвердо знает правило, пользуется листом самопроверки. Решение уравнений проверяет учитель, и общая оценка выставляется после того, как проверены все задания.

Критерии оценки:

• оценка “5” выставляется в том случае, если ученик проговорил все правила без помощи учебника и решил все уравнения без ошибок;
• оценка “4” выставляется в том случае, если ученик при устном ответе обратился к учебнику не более одного раза, допустил при решении уравнения не более одной ошибки;
• оценка “3” ставится в том случае, если ученик отвечал правила по учебнику, при решении уравнения сомневался в применении правил на нахождение компонентов.

III. Итог урока: оценки каждому ученику.

IV. Домашнее задание: № 396.