Уравнением неразрывности сжимаемой жидкости при линейном течении

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Принципы составления математических моделей в нефтегазовой отрасли

Лекция 2

1. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Под принципами сохранения понимается сохранение веществ, свойств и отношений. Сохранение веществ или свойств есть законы сохранения.

Импульс — свойство, присущее как макротелам, так и микрочастицам. Это относится к массе, энергии и т. п., т. е. к величинам, подчиняющимся принципам сохранения.

Принципы сохранения включены в понятие симметрии — единство сохранения и изменения.

По Г. Вейлю, симметричный объект после определенных операций (поворот, сдвиг и т. д.) выглядит так же, как и до операции.

На физические законы принципы симметрии распространяются

Что можно сделать с физическим явлением или ситуацией, возникшей при эксперименте, чтобы получился тот же самый результат? Симметрия — инвариантность (независимость) физических законов опюсительно некоторого преобразования величин, входящих в эти иконы.

Принципы, связанные с геометрической симметрией, — геометрическая симметрия.

Внутренняя симметрия физических систем связана с динамическими

принципами принципами симметрии.

Геометрическая симметрия — однородность пространства и времени, а также изотропность (равноправие всех направлений) пространства.

Однородность пространства означает, что любая точка пространства может быть взята за начало инерциальной системы отсчета. Изотропность — отсутствие преимуществ в скорости, перемещении, энергии и т. д. при перемещении из любой точки пространства в любом направлении. Однородность времени означает, что абсолютные положения начального и конечного моментов времени не существенны для протекания процессов.

Каждой форме симметрии соответствует вполне определенный закон сохранения. Так, однородность времени соответствует закону сохранения энергии, однородность пространства — закону сохранения момента импульса.

Всякий физический закон формулируется так, что входящие в него величины относятся к некоторой системе координатных осей. Очевидно, что закон не изменяется при изменении координатных осей в пространстве. Как пример можно привести второй закон Ньютона

где т — масса; F — сила; r — радиус-вектор; х, у и z — координаты точки; F_x , F_y и F_z — проекция силы соответственно на оси х, у и z Второй закон Ньютона есть результат принципа детерминированности — начальное состояние механической системы, определяемое совокупностью начальных координат и скоростей, однозначно определяет поведение системы [2]. В действительности, начальное состоя ние системы х( t ₀ ) = х₀ и х'( t ₀ )=v ₀ определяет траекторию т. е. х = х ( t , x ₀ , v ₀ ) при всех t , а значит и ускорение при любом ; и при t = t ₀

Согласно принципу относительности в инерциальной системе координат все законы природы одинаковы в любой момент времени t . Следовательно, функция f от t ₀ явно не зависит, т. е. х» =f(х, х’).

При любом повороте осей координат уравнения движения остаются неизменными, так как проекции ускорения и силы преобразуются по одному и тому же закону.

При повороте координатных осей векторные величины изменяются. Ввиду того, что сила и радиус-вектор изменяются по одному и тому же закону, (1.1) также не изменяется при повороте координат. Поскольку

При замене системы oxyz новой системой ох’у’ z ‘ с тем же началом (поворот осей) старые координатные точки выражаются новыми формулами

Подставляя (В) в (А), получаем

При повороте осей координат имеем следующие соотношения между единичными векторами:

Из (С) и (D) получаем

Преобразуя аналогичным образом вектор , находим , следовательно,

Теорема о моменте импульса движения не дает никакого дифференциального уравнения движения среды.

Законы механики являются строго обратимыми. Это подтверждается тем, что второй закон Ньютона остается неизменным при изменении знака времени. При замене t на —t левая часть уравнения (1.1) не изменяется

С классических позиций физические процессы считаются изучен­ными в случае, когда составлены: механическая модель и динамиче­ская закономерность.

Динамическая закономерность — утверждение, что задание действующих сил и начального состояния определяет движение любой механической системы. Таким образом, при движении всякой сплошной среды должны выполняться: уравнения неразрывности, уравнения движения и уравнения энергии.

В целом ряде задач можно не учитывать взаимодействия механи­ческих и термических процессов и ограничиться исследованием механических процессов.

Математически это означает, что используется только уравнение неразрывности и уравнение движения, а уравнение энергии не рассматривается, причем поле температур, которое, например, будет влиять на поле плотностей, считается заданным из немеханических соображений.

2. ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальные уравнения движения в большинстве случаев могут быть выведены, исходя из двух основных законов — сохранения массы и сохранения энергии.

Прежде чем перейти к формулировке основных законов физики применительно к течению жидкости, объясним те термины и обозна­чения, которые имеются в тексте.

Основные понятия

Через и обозначим скорость движения частицы. Причем, если движение установившееся, то и (х) = и, где х — расстояние от движущейся точки до некоторого начала х = 0. При такой записи задается зависимость (функциональная) скорости движущейся точки от ее положения, т. е. от значения местонахождения частицы (ее расстояние от начала отсчета х — 0). При помощи и = и (х) можем определить ее скорость. Так, например, при свободном падении частицы массой т с высоты h в среде, сопротивлением которой пренебрегаем, скорость частицы в зависимости от ее положения определяется формулой

где х — расстояние частицы от поверхности земли (от начала отсчета х = 0).

Задаваясь различными значениями х, в формуле (1.2) можно найти скорость падающей частицы на различных расстояниях от поверхности земли. При определении скорости частицы в различных ее положениях (ее расстояниях от поверхности земли) х = х₁; х = х₂ и т. д. достаточно в формуле (1.2) х заменить x ₁ , x ₂ и т. д. Если, например, х₂ = х₁ + х, то по формуле (1.2) —

скорость частицы в положении , а скорость частицы в положении х₂ = х₁ + х .

Таким образом, и = и (х) или и = f ( x ) определяет скорость частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета. Точно также и = и (х + х) определяет скорость той же частицы на расстоянии х + х от начала отсчета. Изменение скорости частицы при переходе из положения х в положение х + х определится равенством

.

В дальнейшем будем называть приращением функции, а — приращением аргумента. При этом малым значениям соответсвутуют малые значения . Другими словами, если , то и .

Следует отметить, что также является функцией х, т. е. при одном и том же приращении приращения функции для различных точек и не будут равны. Чтобы показать последнее, рассмотрим формулу (1.2) для точек = 5м и = 8л. Пусть h = 10 м и = 0,2 м. Тогда

,

, т.е.

.

Так как в дальнейшем примем , то остановимся на определении знака приращения функции .

Если и , т. е., например, скорость в точке больше, чем в точке х, то и скорость точки возратает. Если же , т. е. значение функции (в нашем примере значение скорости) в точке х больше, чем в точке , то , и рассматриваемая функция убывает.

Таким образом, во всем интервале, где , функция и (х)

возрастает, а где — —она убывает. На рис. 2 в интервале функция и (х) возрастает, и, следовательно, во всех точках этого интервала — , а в интервале (х₂; х₃) она убывает и, следовательно, . Отношение — — характеризует быстроту изменения функции в зависимости от х на отрезке . Чтобы найти характер изменения и (х) в данной точке х, следует вычислить

Формула (1.3) характеризует быстроту изменения и (х) в зависимости от х. Она дает производную от функции и (х) по аргументу х. Если функция и = и(х) есть зависимость скорости от положения движущейся точки, то — — дает значение градиента скорости и в направлении оси х, т. е. характеризует быстроту (и характер) изменения скорости. Если —— , то скорость и(х) на пути х возрастает, если же , то она убывает.

Чем больше абсолютная величина , тем больше изменения скорости в данной точке х. Таким образом, если на каком-либо интервале положительная величина, то это означает возрастание функции и(х), а если отрицательная величина, то—убывание. Если же в какой-либо точке х = х₂ имеет место , то в этой

точке функция и(х) достигает или своего максимума (точка перехода от возрастания к убыванию), или же своего минимума (точка перехода от убывания к возрастанию).

При неустановившемся движении, когда скорость движущейся частицы не только изменяется при переходе из одной точки в другую, но и в каждой точке изменяется во времени, обозначим через скорость точки, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в момент времени t . Точно также через обозначим скорость частицы той же точки, но в момент времени . Таким образом, будет означать скорость точки, находящейся на расстоянии от начала отсчета в момент времени t , и, наконец, — скорость частицы в точке в момент времени .

Следует особо отметить, что в общем случае величины между собой не равны, но они все будут стремиться к величине при . В нашем примере соответствуют значениям скорости частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета в моменты времени t и . Поэтому есть приращение скорости частицы в данной точке х за промежуток времени . Точно также есть разность скоростей частиц, характеризующихся в точках в момент времени t . Другими слонами, характеризует изменение скорости во времени в данной фиксированной точке ж, а — изменение скорости в данный момент времени t в различных точках х и х + Ах. При этом и будут зависеть от х и t .

Если , то в данной точке х скорость частицы со временем растет, если же , то она убывает.

Точно также, если , то скорость в точке в данный момент времени t больше, чем и точке х, если же , то скорость в точке х больше, чем в точке . Заметим, что и в этом случае при величина и при величина .

Характер изменения в различных точках в данный момент времени t выражается формулой

Это равенство представляет собой частную производную от функции по в данный момент времени t , которая характеризует измененение функции (ее возрастание или убывание, а также быстроту изменения) вдоль оси х в данный момент времени t .

есть частная производная от функции по времени t в фиксиро-ишшой точке , которая характеризует поведение функции и (х, t ) (возрастание и убывание и быстроту изменения во времени в рассматриваемой точке ).

Таким образом, если , то во всех рассматриваемых точках функция во времени растет, если же ,то — убывает. Точно также, если , то в данный момент времени t вдоль оси х функция и (х, t ) растет, если же , то—убывает.

Еще раз отметим, что при помощи формулы (1.4) определяется изменение скорости (функция вдоль оси в данный фиксированный момент времени t , а при помощи формулы (1.5) — изменение скорости (функция и (х, t ) во времени в данной фиксированной точке х. Другими словами, при получении формулы (1.4) время t считаем фиксированным, а при получении формулы (1.5) значение х считается фиксированным. Поэтому

означает изменение скорости (функции и (х, t ) вдоль оси х в данный момент времени . Причем при формулы (1.4) и (1.6) совпадают. Точно также

означает изменение скорости (функции и (х, t ) во времени в данной фиксированной точке . Причем при формулы (1.7) и (1.5) совпадают.

Из математического анализа известно, что, если

где при , т. е. при малых значениях величина сколь угодно мала.

Перепишем (1.8) в виде

. (1.9)

Так как величина конечная и не зависящая от ,

то при малых значениях второй член в правой части формулы (1.9), т. е. , есть малая величина более высокого порядка,

чем первый член — . Поэтому, пренебрегая величиной по

сравнению с — и обозначая для значений , из формулы (1.9) получаем

(1.10)

Аналогичноиз (1.7) получим

(1.11)

Ниже приводятся некоторые сведения из векторного исчисления, необходимые при дальнейшем изложении материала.

Векторная величина а определяется в общем случае тремя проек­циями на оси декартовой системы координат, т. е.

где — единичные векторы соответственно осей х, у и z . Величину а находим по формуле

Градиент скалярной величины (grad) является векто­ром, направленным по нормали к поверхности . Например, в случае плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости (одиночная цилиндрическая скважина в центре круглого цилин­дрического пласта) градиент давления направлен по радиусу, так как поверхности равного давления — цилиндрические окружности. Градиент скалярной величины выражается формулой

где — проекции вектора а соответственно на оси и, следовательно,

Широко применяется в нефтепромысловой механике и понятие скалярной величины — дивергенции векторной величины с

Исходя из определения дивергенции и градиента имеем

Знак (набла в квадрате), или (дельта), носит название оператора Лапласа.

Закон сохранения массы

В этом разделе рассматривается вывод уравнения неразрывности (сплошности) для различных случаев движения однородной и неодно­родной жидкостей, являющегося математическим выражением закона сохранения (постоянства) массы. В общем случае движения скорость и, плотность и давление р являются функциями координат х, у, z , -. jiнижущейся частицы и времени t , т. е.

При этом и (х, у, z , t ) — скорость жидкости в каждой данной точке пространства в момент времени t , т. е. она относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам жидкости, передвигающимся в пространстве. То же самое относится к и р (х, у, z , t ).

Несжимаемая жидкость

Рассматривается одномерное движение жидкости в трубе (рис. 3) вдоль оси х. Считая жидкость несжимаемой, принимаем, что в ней невозможно образование пустот, т. е. соблюдается условие неразрыв­ности (сплошности) движения. Исходя из этого, количество жидкости,

проходящей в единицу времени через сечения 1—1 ( G _{1 x} ) и 2—2 ( G ._{2 x} ), должно быть одинаково, т. е.

Обозначим через массовую скорость в направлении оси х, где — плотность рассматриваемой жидкости. Так как масса жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется, то массовая скорость во всех сечениях будет одна и та же, т. е.

. (I.13)

Формула (1.14) выражает закон сохранения массы при одномерном течении жидкости. Исходя из формулы (1.13) или же (1.14), имеем w_x = const, т. е. с учетом постоянства плотности получается , где и₁ — средняя скорость в сечении 1—1, а и₂ — в сечении 2—2.

При выводе уравнения (1.14) предполагается, что площадь поперечного сечения трубы постоянная. В противном случае, обозначая площадь поперечного сечения 1—1 через F ₁ , а площадь 2—2 — через F ₂ и учитывая, что

, (I.15)

из формулы (1.12) получаем

Из формулы (1.16) видно, что при установившемся течении несжимаемой жидкости средние скорости в поперечных сечениях обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Так как при установившемся течении газа массовый расход по длине трубы имеет одно и то же значение, то, исходя из (1.12) и (1.15), для установившегося течения газа получаем

. (I.17)

Рассмотрим случай плоского течения несжимаемой жидкости. Для этого возьмем параллелепипед со сторонами , 1 объемом (рис. 4). Количество жидкости, протекающей через стороны 1, 2, 3 и 4 соответственно будет ,

где w_x и w_y — массовые скорости в направлениях осей ох и оу. Заметим, что на рис. 4 не ограничиваем направление течения. Жидкость может притекать через грани 1 и 4 и вытекать через грани 2,3 или же притекать через грани 1 и 2 и вытекать через грани 3,4. Также возможны и другие направления течения. Однако количество притекающей жидкости должно быть равно количеству вытекающей жидкости. Это объясняется тем, что рассматриваемая жидкость несжимаемая, т. е. в рассматриваемом объеме масса (плотность) жидкости не изменяется. Если, например, G _{1 x} = 7; G _{2 x} = 3 и G_l =5, то в силу несжимаемости жидкости со стороны 4 должно вытекать G _{2 y} =9. Другими словами,

Закон сохранения массы [см. формулу (1.18)] показывает, что количество притекающей в данный объем жидкости равно количеству пмтокающей из него жидкости. Выражения в скобках в формуле (1.18) всегда имеют разные знаки, причем здесь приводятся алгебраи­ческие значения G _{1 x} , G _{2 x} , G _{1 y} и G _{2 y} . В нашем примере G _{2 y}—G _{1 y} = 4, а G ._{2 x} — G _{1 x} =-4. Последнее замечание имеет место при любом варианте течения. Изменение количества жидкости в рассматриваемом прямоугольнике будет:

; (I.19)

в направлении оси ох и

(1.20)

в направлении оси оу.

Во всех случаях течения несжимаемой жидкости AG_X и AG_y будут иметь разные знаки и

. (I.21)

Формула (1.21) получена с учетом того, что количество притека­ющей в рассматриваемый объем жидкости равно количеству вытека­ющей. Подставляя значения и из (1.19) и (1.20) в (1.21), получаем

.

Разделив последнее выражение на и перейдя к пределу при , получим

Формула (1.22) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при плоском течении несжимаемой жидкости. В формуле (1.22) всегда имеют разные знаки. Это объясняется тем, что если, например, отрицательная величина, то w_x убывает, и по направлению ох больше притекает жидкости (через сечение 1), чем вытекает (через сечение 2), что может привести к накоплению жидкости. Поэтому из-за несжимаемости жидкости в направлении оу утечка жидкости должна быть больше ее притока. w_y будет расти вдоль оу, т. е. значение должно быть положительным. Точно также при положительной утечка жидкости в направлении ох должна компенсироваться ее притоком в направлении оу, следовательно w_y будет убывать, т. е, значение должно быть отрицательным. Наконец, рассмотрим течение несжимаемой жидкости в пространстве. Для этого возьмем параллелепипед (рис. 5), грани которого параллельны координатным плоскостям и имеют площади:

Количество жидкости, протекающей через грани взятого парал­лелепипеда,*определяется по формулам:

где w_z — массовая скорость в направлении оси z.

Изменение количества жидкости в рассматриваемом параллелепипеде будет в направлении осей :

Так как жидкость несжимаемая, то

(1.23)

В зависимости от направления движения две из этих величин будут иметь одинаковый знак, а третья величина — противополож­ный знак. В противном случае жидкость со всех сторон будет прите­кать в рассматриваемый объем, что физически невозможно из-за несжимаемости жидкости.

Подставив значения в (1.23), разделив их соответственно на и перейдя соответственно к пределу при , получим

Формула (1-24) выражает закон сохранения массы и называется уравнением неразрывности (сплошности) при пространственном течении несжимаемой жидкости. При получении уравнения (1.24) предполагается, что жидкость несжимаемая, т. е. масса (плотность) жидкости в рассматриваемом объеме не изменяется. Если в (1.24)

значения , имеют одинаковый знак, например положительный, то это означает, что в направлении ох и оу больше вытекает жидкости, чем притекает, так как в этом случае w_x и w_y возрастают. В связи с несжимаемостью жидкости эта утечка должна компенсироваться притоком в направлении oz . По направлению oz приток жидкости в рассматриваемый объем должен быть больше ее утечки из рассматриваемого объема, т. е. w_z будет убывать и,

следовательно, значение должно быть отрицательным.

Сжимаемая жидкость

Если жидкость сжимаемая, т. е. плотность (и, следовательно, масса) жидкости может изменяться во времени, то изменение коли­чества жидкости в рассматриваемом объеме приведет к изменению плотности (массы) жидкости в том же объеме. Так, например, для сжимаемой жидкости (см. рис. 3) и за некоторый промежуток времени разность, между количествами притока жидкости в данный объем и утечки из него приведет к изменению плотности жидкости в рассматриваемом объеме. При этом если , т. е. в данный объем больше притекает жидкости, чем из него вытекает, то это приведет к увеличению плотности в данном объеме, если же , то количество вытекающей из данного объема жидкости больше количества притекающей в него жидкости, что и приведет к уменьшению плотности жидкости в данном объеме. Таким образом, если в течение некоторого промежутка времени величина , то плотность в данном объеме возрастает, т. е.

,

,

то плотность в данном объеме убывает, т. е. .

Следовательно, возрастание массовой скорости w (х, t ) в данном объеме за некоторый промежуток времени приводит к убыванию плотности жидкости в данном объеме, а убывание массовой скот рости приводит к возрастанию плотности в данном объеме. Другими словами, и всегда будут

иметь противоположные знаки, т. е. знаки , будут

разные. Таким образом, если для несжимаемой жидкости ,

то для сжимаемой жидкости . При этом если ,

то w ( x , t ) вдоль оси х убывает, т. е. больше притекает жидкости в данный объем, чем из него вытекает, что приводит к возраста-

нию плотности во времени, или же Точно

также, если , то w ( x , t ) возрастает вдоль оси х, т. е.

больше вытекает жидкости из данного объема, чем в него притекает, что приводит к убыванию плотности во времени,

или же .

Проиллюстрируем сказанное выше на примерах.

Обозначим через объем и положим, что = 50 м 3 . Пусть количество притекающей за время в этот объем жидкости будет G ₁ , а количество вытекающей жидкости G ₂ . Изменение массы в данном объеме за время обозначим через . Тогда:

а) если G ₁ = 20 кг, a G ₂ = 19 кг, т. е. в указанный объем больше притекает жидкости, чем вытекает, то масса жидкости увеличивается на

б) если G_x = 20 кг, a G₂ = 21 кг, т. е. из этого объема больше вытекает жидкости, чем в него

Теперь перейдем к получению математического выражения закона постоянства массы, т. е. к выводу уравнения неразрывности сжимаемой жидкости. Для одномерного движения жидкости (см. рис. 3) изменение количества жидкости за некоторый промежуток времени составит

, (I.25)

где F — площадь поперечного сечения трубы.

Изменение же массы в рассматриваемом объеме за тот же промежуток времени

. (1.26)

Как было указано выше, всегда будут иметь разные знаки. Приравнивая правые части (1.25) и (1.26), получаем выражение закона постоянства массы

.

В результате деления последнего выражения на при переходе к пределу при находим

Уравнение (1.27) называется уравнением неразрывности сжимаемой жидкости при линейном течении. Правая часть, т. е. , характеризует изменение плотности жидкости во времени, а левая часть —изменение скорости вдоль оси х (оси трубы).

Поэтому , всегда будут иметь разные знаки. Уравнение (1.27) справедливо для любой точки ив любой момент времени t . Это объясняется тем, что сечения х и , а также моменты времени t и были взяты произвольно, а для получения (1.27) мы переходили к пределу при , т. е. формула (1.27) была получена для произвольной точки х и произвольного момента времени t . Последнее замечание относится также к случаю плоского и пространственного течения жидкости. При плоском течении жидкости мы исходили из рис. 4. Изменение количества жидкости за промежуток времени At определяли по формуле

, (1.28>

а изменение массы в рассматриваемом объеме — по формуле

. (I.29)

При выводе формул (1.28) и (1.29) рассматриваем параллелепипед с шириной, равной единице, длиной ; и высотой . Приравняв, правые части (1.28) и (1.29), предварительно разделив их на ,. и перейдя к пределу при , получим

( L 30 )

Это уравнение называется уравнением неразрывности плоского течения сжимаемой жидкости, и справедливо оно для любой точки (х, у) в любой момент времени t .

Наконец, для получения уравнения неразрывности при течении жидкости в пространстве мы исходили из рис. 5. Изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме за промежуток времени Д£ определяли при помощи равенства

(1.31)

Изменение же плотности в рассматриваемом объеме в рассматриваемый промежуток времени будет

. (1.32)

Приравняв правые части (1.31) и (1.32), предварительно разделив их на , и перейдя к пределу при , получим

Это уравнение представляет собой уравнение неразрывности при пространственном течении сжимаемой жидкости. Правая часть уравнения ——- характеризует изменение плотности во времени,

а левая — изменение количества жидкости в рассматриваемом объеме.

Уравнение (1.33) справедливо для любой точки пространства

(х, у, z ) в любой момент времени t . Величины могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки. Однако во всех случаях знаки и будут противоположными. Так, например, если в точках указанного объема значение положительное (при этом все могут быть положительными или иметь разные знаки), то это

значит, что из указанного объема жидкости вытекает больше, чем притекает; последнее приводит к уменьшению плотности в этом

объеме во времени, т. е. . Точно также, если значение

отрицательное при этом все могут быть отрицательными или же иметь разные знаки ), то в данный объем больше притекает жидкости, чем вытекает; последнее приводит к увеличению плотности во времени в этом объеме, и,

следовательно, .

При получении уравнения неразрывности (1.33) подсчитывалось изменение массы в объеме параллелепипеда . Этот параллелепипед заполненный. Если рассмотреть фильтрацию жидко­сти через однородную пористую среду пористостью т, то объем _г занятый жидкостью, станет равным .

Точно также для плоского и одномерного течения из уравнений (1.30) и (1.27) получим следующие уравнения неразрывности плоской и одномерной фильтрации жидкости:

Поэтому уравнение неразрывности в этом случае будет

В случае смеси жидкостей и газов, т. е. переменности состава вдоль объема, уравнение неразрывности выводится для двухкомпо-нентной системы. .Состав смеси определяется массовой концентрацией с — отношением массы данного компонента к общей массе жидкости в заданном элементарном объеме.

Изменение с происходит путем механического перемешивания — состав движущегося объема не меняется, но в каждой заданной непод­вижной точке, находящейся в этом месте жидкости, с со временем будет изменяться.

При диффузии под понимаются мольные скорости потока, а будет соответствовать концентрации. Условием диффузии является наличие градиента концентраций диффундирующего компонента (аналогично тому, как температурный градиент является условием теплопроводности). Будем считать, что накапливающая масса вызывает увеличение концентрации компонента . С помощью этого прироста концентрации также можно выразить накапливающуюся и элементарном параллелепипеде массу .

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.