Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
- повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
- воспитание познавательного интереса к учебному предмету
- формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
I. Метод рассмотрения остатков от деления.
Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
- Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
y = 0 | не подходит | не подходит |
2x = -4 | не подходит | не подходит |
x = -2 | ||
y = 0 |
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z |
б) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
в) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
г) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
д) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
е) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
ж) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
з) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81 | x = 2, y = 1 |
б) 17x + 23y = 183 | x = 4, y = 5 |
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy | (0;0), (2;2) |
б) | (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) |
Число 3 можно разложить на множители:
a) | б) | в) | г) |
в) | (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12) |
г) | (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23) |
д) | (48;0), (24;1), (24;-1) |
е) | x = 3m; y = 2m, mZ |
ж) y = 2x – 1 | x = m: y = 2m – 1, m Z |
з) | x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z |
и) | решений нет |
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4) | |
(x — 3)(xy + 5) = 5 | (-2;3), (2;-5), (4;0) |
(y + 1)(xy – 1)=3 | (0;-4), (1;-2), (1;2) |
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1) | |
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12) | |
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) |
5) Решить уравнения в целых числах.
а) | (-1;0) |
б) | (5;0) |
в) | (2;-1) |
г) | (2; -1) |
Решебник по Математике для 5 класса Л.Г. Петерсон
Авторы: Л.Г. Петерсон, Г.В. Дорофеев.
Онлайн решебник по Математике для 5 класса Л.Г. Петерсон, Г.В. Дорофеев, гдз и ответы к домашнему заданию.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 5 класс Дудницын Ю.П. можно скачать здесь.
ГДЗ к части 1
ГДЗ к части 2
Упс! Какое-то из ваших приложений или расширений браузера ломает код сайта. Пожалуйста, выключите их и перезагрузите страницу.
Тренажер по теме «Уравнение» 5 класс
материал по алгебре (5 класс) по теме
Данный тренажер составлен в помощь учителям, работающим по учебнику «Математика 5» под редакцией И. И. Зубаревой и А.Г. Мордковича
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
reshite_uravnenie.doc | 79.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Практикум по математике 5 класс по теме: «Уравнение»
учебник под редакцией Зубаревой и Мордковича
- (128 + 49) — x = 28
- x — (133 + 75) = 32
- 145 — (x + 45) = 50
- (39 + x) — 27 = 22
- 500 – (120 – х) = 479-99
- 220 + (х — 120) =997 -736
- 472 – (z — 444) = 302
- 6x + 131 = 437
- 490 – y · 7 = 350
- k : 16 – 109 = 231
- 8 · (х — 7) = 1080
- (k + 11): 23 = 27
- 900 : (210 +х) =36
- 40 + х : 70 = 54
- 142 – (123 — х) + 14 =111
- 67 – 36 : х = 55
- 24 : (х +2) = 60 : 15
- 17 + 6·(х — 5) = 47
- 40 – 3 · (х + 2) = 10
- 2 · (х — 12) +19 = 19
- 63 : (2х — 1) = 21 : 3
- 248 : (41 – 2х) = 8
- 18 · (7х + 26) = 1854
- 336:(5х+1)=6
- 21· (5х+14)=2499
II. Решите уравнение (самостоятельно):
- 55 – 8х = 7; 5) (60a — 30) : 5 = 18;
- 27 : y + 29 = 38; 6) 92 + 56 : (14 — b) = 100;
- (t — 25): 20 = 9; 7) (c : 9) • 15 — 47 = 28;
- 6 • (18 — k) = 54; 8) (410 – d) : 7 + 70 = 120.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Математический тренажер для 5 класса, Жохов В.И.
Тренажёр может быть использован для устного счета. Предназначен для выработки вычислительных навыков.
Математический тренажер, 5 — 6 класс
Математические тренажеры предназначены как для работы в классе, так и для самостоятельной работы ученика дома. Основное их назначение — формировать у учеников прочые навыки вычислений, эффе.
Занимательная математика. Математический тренажер для 5 класса. Электронный образовательный ресурс. Разработан в программе Smart Notebook 11
ФИО учителя: Заховалко Елена Владимировна, учитель математики ГБОУ СОШ №519 Московского района г. Санкт-Петербурга.Класс: 5 классТема: Занимательная математика. (Математический тренажер для 5 класса. .
Тест-тренажер. Причастие. 7 класс
Тест-тренажер. Причастие. 7 класс.
Тренажер для 3 класса
Тренажер для 3 класса.
Интерактивный тренажер. Словосочетание. 5 класс. ФГОС (Самолёт)
Интерактивный тренажер помогает лучше усвоить, понять тему «Словосочетание», проверить её усвоение.
Тренажер для 9 класса. Подготовка к ОГЭ.
Тренажер для слабоуспевающих обучаемых. 9 класс подготовка к ОГЭ.
http://reshebnik.com/gdz/5-class/matematika/dorofeev-peterson/
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2011/10/30/trenazher-po-teme-uravnenie-5-klass