Уравнения 11 класс и способы их решения

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решения уравнений.
• Применение методов решения к уравнениям различного вида.
• Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основные методы решения уравнений

Метод разложения на множители

Решить уравнение:

ООУ:

Преобразуем обе части уравнения

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

или

имеет множество корней

равносильно и его корни

Ответ:

Метод замены переменной

ООУ:

Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

и получи уравнение

, корни которого

Возвращаемся к первоначальной переменной

Ответ:

Метод решения однородных уравнений.

ООУ: x – любое действительное число

Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

.

Решаем полученное уравнение методом замены переменной

или

Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите уравнение

Выберите ответ из предложенных.

ООУ:

Преобразуем левую часть уравнения

Введем новую переменную

Получим уравнение

Возвращаемся к первоначальной переменной

Решите уравнение

Выберите корень из списка:

ООУ:

Возведем обе части уравнения в квадрат

Повторно возведем в квадрат при условии

Корни этого уравнения

Учитывая все ограничения, получаем ответ .

Статья на тему: «Различные виды уравнений и их решений (подбор для учащихся 11 класса)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Нестандартные методы решения уравнений

Программа элективного курса c оставлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике.

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 17 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление обучающихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал, внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки обучающихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

Основные цели курса:

повышение интереса к предмету;

эффективная математическая подготовка обучающихся 11-х классов;

знакомство школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения задач;

иллюстрация широкой возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привитие ученику навыков употребления нестандартных методов рассуждений при решении задач.

обеспечить овладение программой математики на повышенном уровне

Уравнения и методы их решения
проект по алгебре (10, 11 класс) на тему

Данный проект направлен на углубление «линии уравнений» в школьном курсе , появляется возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании, через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнения и методы их решения Над проектом работали: Маслов Андрей Мулярчук Екатерина Фадеенко Виктор МКОУ СО ш с Красное 2014

Показательные уравнения Опред.: Уравнение вида a х = b , называется показательным

Методы решения: Приведение к одному основанию Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем) Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка) Деление левой и правой частей уравнения на степень

Приведение к одному основанию: 2 3х · 3 х =576 (2 ³ ) х · 3 х =576 8 х · 3 х =576 24 х =24 ² = > х=2

Разложение левой части уравнения на множители: 3 х+1 — 2 · 3 х-2 =25 3 х-2 (3 ³ -2)=25 3 х-2 · 25=25 |: 25 3 х-2 = 1 3 х-2 = 3 0 = > х-2=0 х=2

Замена переменной, приведение к квадратному: 9 х – 4 · 3 х – 45=0 3 2х – 4 · 3 х -45=0 3 х = t=>t²-4t-45=0 t 1 +t 2 =4 t 1 =9 t 1 +t 2 =45 t 2 =-5 п.к. 3 х =9 3 х =3 ² = > х=2

Деление левой и правой частей уравнения на степень: 3 х = 5 2х 3 х = 25 х |÷3 х 1= 25 х 3 25 º 25 х = >x=0 3 3

Примеры для самопроверки: 1 0,5х-1 9; 7 · 5 х – 5 х +1 = 2 · 5 -3 ; 27 2 х ² + 14 · 2 х +1 – 29=0; 7 х +6 · 3 х +6 =7 3х · 3 3х

Типовые задания ЕГЭ: 1.Решить уравнение: 5 х =125; 2.Решить уравнение: 1 0,1х-1 _ 16; 32 ¯ 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 3 х ² +х-12 = 1;

4.Решить уравнение: 3 х+1 — 2 ·3 х-2 =25; 5.Решить уравнение: 3 2х – 4 ·3 х – 45=0; 6.Решить уравнение: 3 2х-1 – 2 2х-1 = 0; 7.Решить уравнение: 3 2х+5 – 2 2х+7 + 3 2х+4 — 2 2х+4 = 0;

8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения: 3 · 16 х + 2 · 81 х =5 · 36 х ; 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 5 2х – 4 · 5 х – 5 = 0; 10.Решить уравнение: 3 Sin²x + 3 Cos²x = 4

В4.Найти модуль разности корней: 4 х- √х ² -5 — 12 · 2 х-1-√х ² -5 + 8 = 0; В5.Решить уравнение: 2 3х-1 · 5 3х-1 = 100; В6.Решить уравнение: √ 3 · 2 х − 4 х − 2 = 1−2 х ; В7.Решить уравнение: 32 х+3 · 3 3х+1 · 625 х+2 = 600 х+7 ;

I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1] а ) Cosx=a, а (0; 1) X= а rccosa +2 n , n б )Cosx=a, a (-1;0) X= ( — arccosa) +2 Cosx=0 Cosx=-1 , X= +2 n X= +2 Cosx =1 X =2

Например. Cosx= , X= + 2 X= +2 Cosx=- — , (-1; 0) X= ( -arccos ) +2 k, k X= — ) + 2 k, k X= +2 k, k Z

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1] Sinx=a, a (0; 1) X= (-1) n arcsina + n, n Z Sinx=a, a (-1;0) X= (-1) n+1 arcsina+ n, n Z Sinx= 0 X= n, n Z Sinx= 1 X= +2 K, k Z Sinx= -1 X = — + 2 n , n

Например. Sinx= , (0; 1) X= (-1) n arcsin + n Z X= (-1) n + Z Sinx= — , — (-1; 0) X=(-1) n+1 arcsin + Z X=(-1) n+1 + n, n Z

III) Уравнения tgx=a, a tgx=a, a 0 x=arctga + Z tgx= -a , a x= -arctga + n, n Z

Например. tgx = , [0; ) x = arctg x= + Z tgx= — , — (- ; 0) x= -arctg + n, n Z x = — + Z

Методы решения тригонометрических уравнений. 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным а ) Sin 2 x + sinx – 2=0 Sinx=t, t [-1;1] t 2 + t -2=0 t 1 =1, t 2 =-2-п.к так -1; 1 ] как -2 ∉ sinx=1, x= + 2

2.разложение левой части на множители Cosx = cos 3 x Cosx-cos3x=0 -2sin2xsin(-x) =0 Sin2x=0 или sinx=0 x= 2x= X = n ,

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx + bcosx =0 Решается делением на cosx 0 0 + = 0 sinx + cosx =0 |: cosx atgx+b=0 x=-arctg + tgx+1=0 tgx=-1 + x=-arctg1 n, n Z x=- +

4. однородное уравнение 2- ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 |:cos 2 x 0 atg 2 x+btgx+c=0 tgx=t, at 2 +bt+c=0 Д = b 2 -4ac t 1,2 = tgx= x 1 =arctg( ) + n x 2 = arctg( ) + n 3sin 2 x-7sinxcosx+2cos 2 x=0|:cos 2 x 0 3tg 2 x-7tgx+2=0 tgx=t, 3t 2 -7t+2=0 Д = b 2 -4ac=25, Д t 1,2 = tgx=2 tgx= x=arctg2+ x=arctg + k, k Z

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c asinx+bcosx=c Sinx + cosx= =cos =sin Cos + sin cosx= Sin ( + x) = X= (-1) n arcsin — + z n, n Sinx-cosx=1 = sinx – cosx= Sin( — x )= X — = (-1) n + , n Z X= (-1) n + +

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень Sinx= Cosx=- tgx= 1+sin( )=0 Sin 2 x= Sinx+cosx=0 2cos(2x- )= Sin(x- )=0 +1=0 tgx-1=0

Повышенный уровень 2sin 2 x+3sinxcosx-2cos 2 x=0 =0 3sinx+4cosx=10 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Cosx+cos = Sin3x-sin9x=0 tg(3x+60 0 )= ctg( -1)sin( -1)ctgx=0 4sin cos = — Sinx-cosx=4sinxcos2x

Трудные задания Cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=2 (cos6x-1)ctg3x=sin3x Cos(x+ )+sin2x=-2 Cos 2 x+ |cosx|sinx=0 Cos 2 x+sin 2 2x+cos 2 3x= (cos2x + 3 sinx-4)=0 =0 cosx+2sinx)=1 — 1=4sinx + ctgxtg =0

Трудные задания cosx — cos 3 x +2 =0 удовлетворяющие условие: | x + | +2cosx=0 =0, удовлетворяющие условию | x | – = -4 + =8

Уравнение с модулем Определение: a a

Методы решений. По определению модуля: |x+1|=3 = и = = => x =-4

метод интервалов: | x +1| + | x -1| + | x +10|=12 1.найдём корни подмодульных выражений: X =-1 x =1 x =-10 2.нанесём корни на числовую ось -10 -1 1

метод интервалов: 3. = = x = посторонний корень = = =

метод интервалов: = = = x = – посторонний корень Ответ: x 1 =-2 x 2 =0

Базовый уровень 1.| x +3|=12 2. x +5=| x | 3. | x -15|=25 x 4.|2 x |=100 5.| x -40|=80 6.| x |=5 7. | x |=3 x +10 8. |3 x -9|=1

Повышенный уровень 1.| — – 5 = 2.| x 2 -5 x +6|= x +1 3.| x -3|+2| x +1|=4 4.|5-2 x |+| x +3|=2-3 x 5. =| x |+2 6. x | x |+7 x +12=0 7. x 2 -5 x — 8. x 2 -|3 x -5|=5| x | 9. | x +5|=|2 x -3- x 2 | 10. 3|2 x 2 +4 x +1|=| x 2 +5 x +1| 11.|2 x — y -3|+| x +5 y -7|=0

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

логарифмических Методы решения уравнений.

1)Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма . (2 x +1)=2 2 x +1 = 2 x +1=9 X =4 ( 2×4+1)= Проверка 9=2 Ответ:х=4

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному. ( +1)=2 ОДЗ: = = X По определению логарифма ( x +1 =2 +1 +2x+1= +1 -2x=0 =0 =2 Ответ: х=2

3) Метод потенцирования ) ОДЗ = = = 0 Применяя метод потенцирования, получили Х=6- +х-6=0 =2, =-3 –п.к Ответ:х=2

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу =2 n f ( x ) Где а ,а 1, n z . =2 n | |, где a , a . ОДЗ: -5 0 +5x-6=0 + =-5 =-6

5)Метод логарифмирования ОДЗ: = = x = = 1+ , 2 1+ 2 X =3 ОДЗ

Решить уравнение показательные по образцу. -6 =4 ОДЗ: = = Ответ: Х =1 )= ОДЗ: р.м.п У= У=0= Д=4+24=28 = х 1- ; ;

=6+2х- = Ответ:х=-1,х=2 1) =0 2) 3)

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть. 1) 2) 3) 4)

Решить уравнение по образцу 2 Х=0 ∉ ОДЗ , х= Ответ: х=

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями. lg (x+2) + 3 +26)=0 3 ) +log 3 (-x-1)=0 2 +x-5)+ =log 3 -log 4 =-9

Решить уравнения X log 3 x-3= 0,1×1+lgx=1 Xlog4x=23(log4x+3)=0 log3x-log3(x+8)=-log3(x+3) log2(x+1)+log2(x+2)=1 2log4(4-x)=4-log2(-2-x) log2(x+1)=1+2log2x lg(x+ )-lg(x- )= lg(x+6)- lgx log 2 -1=log 2 5x 2 -8x+5 =0 Log2 (24-x-2x+7)=3-x 2log 2 (1- )=3log 2 (2+ )+12 4log 7 ( ( ) 0,75 ) = X 2log 2 x +3 -6=0 -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0 Log 2 2 Log2(log5x)=1 2 +7=0 Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1) 3log2x2-log22(-x)=5 log x log 2 5 x=-1 log 3 |x+8|+ log 3 x 4 =2

Решить уравнение Log3x+7(9+12x+4×2)+log2x+3(6×2+23x+21)=4 log(100x 3 )lg =8 log 6 (x+5)+ log6x 2 =1 = Log 3 (x+2)(5x)-log 3 Log4log2x+log2log4x=2 -log 7 7= 4 -log 2 4=log 7 7x lg +lg log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Метод монотонности функций. Теорема 1 . Если одна из функций возрастает, а другая убывает на промежутке, то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет не более одного корня. Теорема 2 . Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение имеет не более одного корня.

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности. 1.Иследовать на монотонность функции f ( x ) и g ( x ) в О.О.У 2.Если выполняются условия теоремы f ( x ) и g ( x ) и удается подобрать удовлетворяющие уравнению f ( x )= g ( x ), то -единственный корень этого уравнения , ( )-функция возрастает т.к возрастает и возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то уравнения имеет один корень. 9+16=25 25=25

, возрастает функция и -возрастающая и ( )-возрастающая функция ,в правой части постоянная функция. Х=1, 6- 4 Х=2, 36-16 Х=3 , 216-64=152

Х=1 , + Х=4, — -функция убывает, а -возрастает, теорему не применять Ф.М.У а= У=х-4,а=1 прямая направлена Применяем теорему: уравнений имеет один корень Х=3 , -1=-1, Х =3

Уравнение с завуалированным обратным числом. ( ) x +( ) x =8 (4+ )=16-16=1= 4+ =t t ( ) =1= 4- = t+ =8| t t2-8t+1=0 д =b2-4ac=64-4=60 t 1,2 = = =4 ( ) x =(4+ ) ( ) x =(4- ) =1 = -1 X =2 x = -2

Например! ( ) x + ( ) x =6 ( ) x + ( ) x =10

Используемая литература С.М.Никольский- алгебра 10-11класс Ш.А .Алимов и др- алгебра 10-11класс Справочник по математике 5-11 класс Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Диофантовы уравнения и методы их решения.

Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений(ДУ). Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме.

программа курса по математике «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» 8 класс

Программа курса «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» направлена на углубление и систематизацию знаний учащихся по указанной теме. Уравнение – одно из ва.

План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, методов их решения».

Предлагаю учителям, работающим в 11-х классах конспект урока, который я разработала сама. Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. В каждой .

Логарифмические уравнения и методы их решения

Урок закрепления изученного материала.

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»автор преподаватель школы № 1 г. Кувасая Борисевич Павел Георгиевич.

Презентация «Простейшие уравнения и методы их решения»

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике ( базовый и 1 часть профильного экзамена).

Презентация «Иррациональные уравнения и методы их решения»

Презентация показывает основные методы решения иррациональных уравнений на примерах.