Уравнения 3 степени решать графиком

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

О решении неполного кубического уравнения

Intro

Я публикую этот топик как обучающий. Собственно говоря, существенной новизны в материале нет, тема заезжена. Думаю, что интересным будет подход к решению задачи.

Помню, на первом курсе на занятиях по математическому анализу пришел в голову один интеграл. Преподаватель вызвал к доске, но прозвенел звонок. По дороге домой в автобусе сложился «скелет» решения кубического уравнения. Общая схема, конечно, не самая рациональная. Есть более эффективная — тригонометрическая формула Виета. Там сразу выписывается корень по виду уравнения, а, вообще, по объему вычислений все-таки лучше использовать численный метод Ньютона, поскольку степенные ряды для обратных тригонометрических функций сходятся медленно (по ним строятся вычисления таких функций в некоторых библиотеках). Вот что получилось.

1. Исходный интеграл и кубическое уравнение

Нужно найти неопределенный интеграл

Применяя метод неопределенных коэффициентов, представим знаменатель подынтегральной функции как

откуда получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов, для решения которой требуется найти положительный корень неполного кубического уравнения

Исследуя функцию в левой части уравнения на монотонность, можно выяснить, что она имеет максимум

Тогда из непрерывности функции следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня, причем два отрицательных и один положительный, принадлежащий отрезку , .
Найдем его.

2. Поиск положительного решения

Заметим, что наше уравнение не имеет рациональных корней.
Начнем со следующего тождества, справедливость которого, наверное, многие доказывали в школе:

Преобразуем его к виду

Тогда решение кубического уравнения сводится к решению системы

причем (по условию положительности корня).
От данной системы перейдем к системе

По сути в (1) записана теорема Виета для квадратного уравнения

Дискриминант здесь отрицательный, казалось бы, можно закончить решение, но нам требуется не действительность и , а действительность их суммы. В этом помогут комплексные числа.

Тригонометрическая форма записи корней квадратного уравнения имеет вид

,
где — мнимая единица.

Может возникнуть вопрос: в системе (1) первое уравнение было получено возведением обеих частей в куб, не вызовет ли это появление дополнительных комплексных корней? Нет, поскольку если выразить через в исходной системе, то получится уже рассмотренное квадратное уравнение. При выражении через имеем тоже самое. Это и доказывает справедливость последней совокупности.
Извлечем кубический корень из и по правилу извлечения корней из комплексных чисел. Получим

где

Выберем такую пару и , чтобы их сумма в мнимой части комплексного числа давала 0, а действительная часть была бы отрицательной. При этом будем использовать формулы приведения (если требуется найти остальные корни уравнения, то лучше использовать формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение), а также учтем, что угол принадлежит первой четверти. Тогда

Откуда искомый корень

Если использовать тригонометрическую формулу Виета, то полученный корень запишется в более простой форме

Возникает вопрос: почему я не использовал формулу Кардано? Ведь в школах нам говорили, что для решения кубических уравнений используют ее. По своей форме она похожа на то, что сейчас проделал — в итоге придется извлекать кубический корень из комплексного числа. Кстати, именно при решении уравнений третьей степени комплексные числа впервые получили свое применение.

Замечу, что для выяснения состава корней кубического уравнения используют понятие дискриминанта (как и в случае квадратного уравнения). Вообще, понятие дискриминанта в алгебре введено для многочленов произвольной степени.

2. Пример физической задачи с кубическим уравнением

В журнале «Квант» мне как-то раз попалась интересная задачка по физике с выходом на решение кубического уравнения. Суть в следующем. Нужно определить, какую максимальную скорость может развить автомобиль массой (вместе с человеком) при известной наибольшей мощности двигателя?
При наибольшей скорости автомобиля его ускорение равно нулю, поскольку производная функции обращается в ноль в точке экстремума. Хотя оно равно нулю и при движении с постоянной скоростью. Тогда можно сказать так: какую максимальную постоянную скорость автомобиль может развить?
На больших скоростях пренебрегать сопротивлением воздуха уже нельзя, при этом сила лобового сопротивления выражается не по закону Стокса, а по квадратичному закону, поскольку скорость движения достаточно велика. Тогда сила тяги двигателя уравновешивается силой сопротивления воздуха и силами трения качения и скольжения, возникающими между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном:

где — суммарный коэффициент трения, — ускорение свободного падения, — коэффициент аэродинамического сопротивления, — площадь лобового сечения автомобиля, откуда и получаем неполное кубическое уравнение.

3. Вопросы и ответы

При прочтении топика у читателя могли возникнуть вопросы. Например, такие:

1. Почему автор не рассматривал полного кубического уравнения? Ответ: полное кубическое уравнение сводится к неполному заменой

где — новая переменная, — коэффициент при , — коэффициент при .

2. В начале топика был рассмотрен многочлен четвертой степени. Есть ли методы, позволяющие аналитически разрешать такие уравнения? Ответ: да, существует метод Феррари.

3. По теореме Абеля-Руффини уравнение, выше четвертой степени, не разрешимо в радикалах. А тут получается корень кубического уравнения, содержащий тригонометрические функции, который, скорее всего, нельзя выразить через радикалы, как так? Ответ: в формулировке теоремы имеется в виду общая запись корня, т.е. корни могут извлекаться и из комплексных чисел при подстановке в формулы коэффициентов уравнения.

4. После Эвариста Галуа были ли попытки получения формул корней уравнения произвольной степени? Ответ: не так давно мне попался на глаза русский перевод книги американского математика Дэвида Мамфорда «Лекции о тэта-функциях» (Мир, 1988). Там в качестве добавления приведена работа Хироси Умемура «Решение алгебраических уравнений с помощью тэта-констант», где заменяется функция извлечения корня другой функцией — модулярной функцией Зигеля, выражаемой через тэта-константы. В этой работе также освещена история исследования данного вопроса после Галуа.

5. Как я понимаю, такие формулы не применимы для использования в практических задачах решения уравнений произвольной степени. Есть ли какие-нибудь современные работы с описанием алгоритмов получения приближенных корней? Ответ: советую книгу Г.П. Кутищева «Решение алгебраических уравнений произвольной степени: Теория, методы, алгоритмы» (URSS, 2010).

6. Существуют ли современные модификации численного метода Ньютона, являющегося на сегодняшний день основным для получения приближенных решений уравнений и систем уравнений? Ответ: можно посмотреть статью Janak Raj Sharma, Rangan Kumar Guha и Rajni Sharma «An efficient fourth order weighted-Newton method for systems of nonlinear equations».

7. Имеются ли какие-нибудь частные случаи уравнений высокой степени, для которых удалось получить аналитические формулы корней? Ответ: корень Бринга для поиска действительного решения уравнения пятой степени и формула Лоуренса Глассера для неполных уравнений произвольной степени.

В заключении для начинающих рекомендую книгу С.Л. Табачникова и Д.Б. Фукса «Математический дивертисмент» (МЦНМО, 2010).

Иррациональные уравнения с кубическими радикалами

Разделы: Математика

Тема: «Иррациональные уравнения вида , .»

(Методическая разработка.)

Основные понятия

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или знаком возведения в дробную степень.

Уравнение вида f(x)=g(x), где хотя бы одно из выражений f(x) или g(x) иррационально является иррациональным уравнением.

Основные свойства радикалов:

• Все радикалы четной степени являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то радикал не имеет смысла (не существует); если подкоренное выражение равно нулю, то радикал тоже равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение радикала существует и положительно.
• Все радикалы нечетной степени определены при любом значении подкоренного выражения. При этом радикал отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если покоренное выражение положительно.

Методы решения иррациональных уравнений

Решить иррациональное уравнение – значит найти все действительные значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение оно обращается в верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений не существует. Иррациональные уравнения решаются на множестве действительных чисел R.

Областью допустимых значений уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаком радикалов четной степени.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

б) метод введения новых переменных (метод замен);

в) искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

В данной статье остановимся на рассмотрении уравнений определённого выше вида и приведём 6 методов решения таких уравнений.

1 метод. Возведение в куб.

Этот способ требует применения формул сокращённого умножения и не содержит «подводных» камней, т.е. не приводит к появлению посторонних корней.

Пример 1. Решить уравнение

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению ,

,

,

Пример 2. Решить уравнение .

Перепишем уравнение в виде и возведём в куб обе его части. Получим уравнение равносильное данному уравнению

,

,

,

и рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно одного из корней

,

,

следовательно, дискриминант равен 0,а уравнение может иметь решение х=-2.

Проверка:

Замечание: Проверка может быть опущена, в том случае, если дорешивается квадратное уравнение.

2 метод. Возведение в куб по формуле.

По-прежнему будем возводить уравнение в куб, но при этом пользоваться модифицированными формулами сокращенного умножения.

,

(незначительная модификация известной формулы), тогда

Пример3. Решить уравнение .

Возведём уравнение в куб с использованием формул, приведённых выше.

,

Но выражение должно быть равно правой части. Поэтому имеем:

, откуда

.

Теперь при возведении в куб получаем обычное квадратное уравнение:

, и два его корня

,

Оба значения, как показывает проверка, правильные.

Но все ли преобразования здесь равносильны? Прежде чем ответить на этот вопрос, решим ещё одно уравнение.

Пример4. Решить уравнение .

Возводя, как и ранее, обе части в третью степень, имеем:

.

Откуда (учитывая, что выражение в скобках равно ), получаем:

, значит

. Получаем, .Сделаем проверку и убедимся х=0 –посторонний корень.

Ответ: .

Ответим на вопрос: «Почему возникли посторонние корни?»

Равенство влечёт равенство . Заменим с на –с, получим:

и .

Нетрудно проверить тождество

,

Итак, если , то либо , либо . Уравнение можно представить в виде , .

Заменяя с на –с, получаем: если , то либо , либо

Поэтому при использовании этого метода решения обязательно нужно сделать проверку и убедиться что посторонних корней нет.

3 метод. Метод системы.

Пример 5. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда:

откуда очевидно, что

Второе уравнение системы получается таким образом, чтобы линейная комбинация подкоренных выражений не зависела от исходной переменной.

Легко убедиться , что система не имеет решения, следовательно и исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: Корней нет.

Пример 6. Решить уравнение .

Введём замену, составим и решим систему уравнений.

Пусть , . Тогда

или

Возвращаясь к исходной переменной имеем:

х=0.

4 метод. Использование монотонности функций.

Прежде чем использовать данный метод обратимся к теории.

Нам понадобятся следующие свойства:

• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, то функция y=f(x)+g(x) также возрастает (убывает ) на этом множестве.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) возрастают (убывают) на некотором множестве, при чем обе они принимают неотрицательные значения при всех допустимых х, то функция y=f(x)g(x) возрастает (убывает) на данном множестве.
• Если функция y=f(x) монотонная, то уравнение f(x)=a имеет не более одного решения.
• Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют разный характер монотонности, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
• Функция вида возрастает при к>0 и убывает при к 30.05.2009