Уравнения 6 класса по математике отрицательные

Сложение отрицательных чисел

Что такое отрицательные числа

Отрицательное число является компонентом множества из отрицательных чисел, сформированного в процессе увеличения множества натуральных чисел.

Расширение спектра натуральных чисел потребовалось для зачисления операции вычитания в перечень полноценных арифметических действий таких, как сложение. При рассмотрении натуральных чисел можно заметить, что вычитание предполагает всегда уменьшение большего числа на меньшее число. Переместительный закон на действия с вычитанием не распространяется.

Вычитать можно любые натуральные числа, так как к натуральным числам добавили отрицательные числа и нуль. В итоге такой трансформации получилось множество, которое состояло из целых чисел. В дальнейшем числовые множества пополнились за счет рациональных и вещественных чисел, которые также могут обладать отрицательными значениями. Понятие отрицательного числа не применимо к комплексным числам.

Рассмотрим числовую ось, на которой отмечены отрицательные числа с левой стороны от нуля:

Любое натуральное число n имеет единственное отрицательное число, которое обозначают, как -n, дополняющее n до нуля:

Такие числа являются противоположными. Одни числа называют положительными, а в противовес им существуют отрицательные числа. В том случае, когда n представляет собой положительное число, можно сказать, что противоположное ему число является отрицательным. Заметим, что нуль противоположен сам себе.

Таким же способом можно определить положительные и отрицательные значения, когда вопрос касается рациональных и вещественных чисел: какому-либо положительному числу a противопоставляется отрицательное число -a.

Положительные и отрицательные числа упорядочены, поэтому данные числа можно сравнивать между собой. Все отрицательные числа меньше по сравнению с нулем, а также меньше по сравнению с положительными числами. Рассматривая числовую ось, можно заметить, что они расположены слева по отношению к нулю.

Абсолютная величина для числа a является этим числом с отброшенным знаком и обозначается a .

Если число a вычитается из другого числа b, то данное действие будет равносильным сумме b с противоположным числом для a:

25 – 75 = 25 + ( — 75 ) = — 50

Сложение отрицательных чисел

Существует несколько способов сложения отрицательных чисел. К примеру, если числа по модулю обладают небольшими значениями, допускается использование координатной прямой. При этом можно представить действия, как перемещение точки, обозначающей число, по числовой оси.

Предположим, что имеется некое число 3 и отметим его на числовой оси в виде точки А.

Попробуем увеличить число 3 на положительное число 2, то есть найдем их сумму. В процессе требуется передвинуть точку А в положительном направлении на пару единичных интервалов. При перемещении в правую сторону будет установлена точка В с координатой 5.

Далее разберем пример сложения положительного и отрицательного числа:

При этом требуется точку А передвинуть на 5 отрезков в отрицательном направлении, то есть в левую сторону. Заметим, что тогда точка В будет установлена в координате -2.

Алгоритм действий при сложении рациональных чисел с использованием координатной прямой:

1. Отметить на числовой прямой точку А с координатой в виде первого слагаемого.
2. Переместить точку А на количество отрезков в соответствии с модулем второго слагаемого. Если второе слагаемое имеет знак плюса, то движение происходит в правую сторону. Когда у слагаемого знак минус, точка перемещается в левую сторону.
3. Полученная в результате точка В обладает координатой, равной сумме рассматриваемых чисел.

Разберем процесс сложения двух отрицательных чисел:

Переместим точку с позиции -2 в левую сторону, получим -8:

Упрощенным вариантом сложения рациональных чисел является применение модуля. Рассмотрим способ на конкретном примере. Предположим, что имеются два числа с одинаковыми знаками и найдем их сумму.

В первую очередь следует избавиться от знаков и суммировать модули чисел. К результату нужно дописать знак, который фигурировал в исходной записи чисел:

4 8 + 3 8 = 4 + 3 8 = 7 8

Разберем на примере сложение отрицательных чисел аналогичным способом:

( — 3 , 2 ) + ( — 4 , 3 ) = — ( 3 , 2 + 4 , 3 ) = — 7 , 5

Сложение чисел с одинаковыми знаками предполагает сложение модулей этих чисел и запись перед полученной суммой знака, который стоял перед слагаемыми.

Таким образом, можно вывести правило для сложения отрицательных чисел.

Найти сумму пары отрицательных чисел можно путем сложения их модулей. Перед результатом, который получился, нужно поставить знак минуса.

Описание алгоритма

Алгоритм сложения двух отрицательных чисел, в том числе, в виде дробей:

• сложение модулей чисел;
• постановка знака минуса перед числом, полученным в результате вычислений.

Применим алгоритм действий при выполнении упражнения:

В первую очередь сложим модули заданных чисел и перед полученным числом запишем знак минуса:

— 24 + ( — 16 ) = — ( 24 + 16 ) = — 40

Примеры задач с ответами для 6 класса

Требуется решить примеры:

Воспользуемся правилом сложения чисел с разными знаками и алгоритмом сложения отрицательных чисел. Получим:

4 + ( — 5 ) = 4 — 5 = — 1

( — 17 ) + ( — 45 ) = — 17 — 45 = — 62

— 9 + ( — 1 ) = — 9 — 1 = — 10

Ответ: -1; -21; -62; -10.

Необходимо выполнить вычисления:

Согласно алгоритму сложения отрицательных чисел, выполним арифметические действия:

3 — ( — 6 ) = 3 + 6 = 9

— 27 — ( — 5 ) = — 27 + 5 = — 22

— 94 — ( — 61 ) = — 94 + 61 = — 33

Ответ: 9; -51; -22; -33.

Сложить два отрицательных числа:

Руководствуясь правилом сложения отрицательных чисел, найдем сумму их модулей:

| — 304 | + | — 18007 | = — | 18311 |

Запишем ответ со знаком минуса:

( — 304 ) + ( — 18007 ) = — ( 304 + 18007 ) = — 18311

Урок математики в 6-м классе «Действия с положительными и отрицательными числами»

Разделы: Математика

Цели:

• повторить, закрепить, обобщить и систематизировать знания детей по теме;
• развивать аналитическое мышление, воображение, память, речь учащихся;
• воспитывать интерес к предмету, чувство гордости и любовь к своей малой Родине, родному краю.

– Добрый день! Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Действия с положительными и отрицательными числи». А цель вы мне поможете сформулировать позднее. Вначале проверим выполнение домашнего задания. (Домашнее задание к уроку было предложено на карточках. Приложение 2). Каждый ряд в ответе получает одно слово.

1 ряд

2 ряд

3 ряд

Завтра

контрольная

работа

– Ребята, если завтра контрольная работа, то, как вы думаете, какова же цель нашего сегодняшнего урока? (Ответы детей) На протяжении последних уроков математики, мы, учились выполнять действия с положительными и отрицательными числами.
Цель урока – повторить, закрепить, обобщить и систематизировать ваши знания по выполнению действий с положительными и отрицательными числами, полученные на предыдущих уроках; подготовиться к контрольной работе. Девизом нашего урока мне хочется взять слова великого французского философа, физика и математика Рене Декарта: «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять». И мы сегодня с вами, ребята, постараемся подтвердить эти слова.
За выполнение каждого задания, во время работы, вы в таблицу будете ставить себе определённое количество баллов.

1. Устный счёт (5 баллов)

Слайды 5-8
– Ребята, у вас на столах лежат карточки с точками (Приложение 3). Ваша задача, решить примеры и выделить те точки, которые соответствуют вашим ответам. Работаем в парах.
– А теперь, выделенные точки, плавно соедините линией. Что же у вас получилось?
Количество баллов за каждое задание проставляйте в таблице итогов (Приложение 4).
Все точки на «5» – 5б., 10 точек – 4б., 8 точек – 3б., 6 точек – 2б., 4 точки – 1б., менее – 0б.

2. Найди и исправь ошибки в вычислениях (6 баллов).

Проверку каждого примера сопроводить правилом.

3. Работа над правилами (4 баллов)

– Верны ли утверждения?

• Сумма двух положительных чисел не может быть отрицательным числом. (Да)
• Разность двух положительных чисел не может быть отрицательным числом. (Нет)
• Произведение двух отрицательных чисел может быть отрицательным числом. (Нет)
• Частное двух отрицательных чисел не может быть положительным числом. (Нет)

– Объясните, пожалуйста, почему? (За каждый верный ответ один балл).
– Итак, что мы сделали? (Повторили правила выполнения действий с положительными и отрицательными числи)

«Не зная прошлого в развитии науки, нельзя понять её настоящее»

– Выполнять действия с отрицательными числами люди научи­лись еще до нашей эры.
Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги».
Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал некоторые правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами:
«Сумма двух иму­ществ есть имущество»,
«Сумма двух долгов есть долг»,
«Сумма имущества и долга равна их разности»,
«Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество»,
«Произведение имущества и долга есть долг».
– Ребята, переведите, пожалуйста, древнеиндийские правила на современный язык.

4. Мир логики (4 баллов)

Выясните правило нахождения числа, в средней клетке первой строки, и по этому правилу найдите пропущенное число (за каждое верное число – 2 балла).

— 15

— 41

— 26

19

12

Физминутка

1. Расслабьтесь, откиньтесь на спинку стула, выполните круговые вращения головой вправо – 1, 2, влево – 1, 2, 3.
2. Быстро поморгайте, закройте глаза и посидите спокойно, медленно считая до 5. Повторить 2 раза.
3. Крепко зажмурьте глаза (считая до 3), откройте их и посмотрите вдаль (считать до 5). Повторить 2 раза.
Положите руки на парту, наклоните голову, закройте глаза и пусть вам приснятся все правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами, так как сейчас будет самостоятельная работа (считаю до 3). А теперь дети проснулись, сели правильно и приступаем к выполнению тестовых заданий.

5. Самостоятельная работа. Тест (6 баллов)

1. Какой знак надо поставить вместо *, чтобы получилось верное соотношение?

1. >; 2. ; 2.

«3»

«4»

«5»

11 – 16б.

17 – 22б.

23 б. и более

Подведём небольшой итог нашей работе

Домашнее задание:

Найдите значение выражения:

1.
2. – 4,1 + (– 8,3) – (– 7,3) – (+ 1,9)

1. х + 3,12 = – 5,43
2.

Найдите расстояние между точками А(– 2, 8) и В(3, 7) на координатной прямой.

Творческое задание

Составьте задачи, в результате решения которых, вы должны получить некоторые даты из истории развития своего посёлка.
Примеры таких задач мы сейчас будем решать на уроке.
Ребята, посмотрите, пожалуйста, на домашнее задание. Я думаю, что особых пояснений, по первой части работы, вам не нужно, так как, все задания подобные этим, мы с вами решали сегодня на уроке, и на предыдущих. Это задания обязательной части контрольной работы.
Ребята, а сейчас, выполняя задания по математике, мы пролистаем некоторые страницы истории Чуровской школы.

Задание 1. Решите уравнение: 2х – (– 1220) = 5000
Ребята, посмотрите, на слайде изображена лента времени, где стрелка направлена в будущее. Число 1890 я отмечаю на ленте. Дети, как вы думаете, что обозначает эта дата в истории нашей школы?

В 1890 году в селе Чуровском благодаря пожертвованиям Владыки Мисаила была открыта церковно-приходская школа, в здании, которое является исторической достопримечательностью до нашего времени. Благодарные чуровчане помнят епископа Мисаила и 16 сентября 2007 в нашем селе был открыт памятник епископу Мисаилу, в миру его звали Крылов Михаил Иванович.
Годом основания Чуровской школы, согласно архивным документам, считается 1875 год. К сожалению, приуроченное для школы здание не сохранилось до нашего времени. Ребята, под штрихом какого цвета на ленте времени нужно отметить число 1875, если длина деления между двумя белыми штрихами 20 лет? (Cиреневого)

Задание 2

В парке 100 деревьев. 3% всех деревьев составляют хвойные, остальные деревья лиственные. Сколько лиственных деревьев в парке?

1. 100 • 0,03 = 3(д) – хвойных деревьев в парке.
2. 100 – 3 = 97(д) – лиственных деревьев в парке.

Ребята, нужно выполнить перемещение по ленте времени на 97 лет от 1890 года. Какое число получилось? (1987 год)
Под штрихом, какого цвета на ленте времени нужно отметить это число? (Rрасного)
Что обозначает эта дата в истории нашей школы?
Да, действительно 1 сентября 1987 года распахнула двери новая, теперь уже средняя школа в нашем селе.

Задание 3.
Вычислите: + 5,3 + (– 1,92) + (– 24) + (– 5,3) + + 1,92 = – 24
Ребята, выполните, пожалуйста, перемещение по ленте времени на –24 года со дня открытия средней школы.
Какое число получилось? (1963 год)
Под штрихом, какого цвета на ленте времени нужно отметить это число? (Жёлтого)
Что обозначает эта дата в истории нашей школы?
В 1963 году Чуровская восьмилетняя школа разместилась в бывшем здании церкви святого Миколы.
Ребята, посмотрите, пожалуйста, на ленту времени. Какие вопросы вы можете задать своим одноклассникам по этой ленте времени? (Вопросы детей).

Итог урока

– Ребята, чем же мы сегодня занимались на уроке? (Ответы детей)

Вывод учителя: Сегодня на уроке, мы с вами, ребята, повторили выполнение действий с положительными и отрицательными числами, в решении примеров, уравнений и задач. Вы показали хорошие знания. Листочки с таблицами вложите в свои тетради, чтобы я могла выставить оценки в журнал. Кроме этого, немного расширили знания об истории нашей родной школы.

Рефлексия:

Ребята, на ваших столах лежат карточки. Эти же рисунки показаны на слайде. Выберите, пожалуйста, рисунок, который будет соответствовать вашему настроению после нашего занятия и я пойму, понравилось ли оно вам.

Уравнения вида -х равен a

Уравнения вида «-x равен а» появляются в 6 классе с началом изучения отрицательных чисел.

Поскольку такие уравнения в дальнейшем будут встречаться довольно часто, желательно сразу же научиться их решать правильно и быстро.

В общем виде уравнения вида «минус икс равен а» можно разбить на три случая:

Рассмотрим каждый из вариантов в общем виде и на примерах.

Решить это уравнение — значит, найти x. x и -x — противоположные числа. Поэтому икс равен числу, противоположному числу, стоящему в правой части уравнения, то есть числу которое отличается только знаком:

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что

Здесь минус икс равен нулю. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом и противоположен самому себе, поэтому корень этого уравнения

Итак, в общем виде решение уравнений вида минус икс равен а можно записать так: