Уравнения 7 класса формулы сокращенного умножения

Тема урока: «Решение линейных уравнений, содержащих формулы сокращенного умножения»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Обработка рациональных приёмов решения уравнений.
• Выработка умения решения задач.
• Развитие элементов творческой деятельности учащихся и умения контролировать свои действия.
• Повторение решения уравнений.

Оборудование: печатные бланки, таблица.

Тип урока: урок- семинар комплексного применения знаний, умений и навыков.

1.Организационный момент. Сообщается план семинара.
2.Сообщение по теме « Уравнение»
3. Решение линейных уравнений.
4.Сообщение о формулах сокращённого умножения.

(Работа у доски и по карточкам.)

а) Решение уравнений, содержащих квадрат суммы.
б) Решение уравнений, содержащих квадрат разности.
в) Решение квадратных уравнений, содержащих разность квадрата.
г) Решение уравнений, содержащих несколько формул.

5. Решение задачи.
6. Творческая работа учащихся.
7. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1.Вступительное слово учителя.

Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга слон. Чтобы решить уравнение, тоже нужно совершить ряд превращений (алгебраических преобразований) и делать их нужно очень осмотрительно. Сегодня мы ещё раз увидим, какая удивительная сила заключена в формулах сокращённого умножения и как ловко они работают при решении уравнений.
Прежде всего, нужно чётко понимать, чем вы занимаетесь, когда решаете уравнение. Что, значит, решить уравнение и нужно знать, что главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшему.
И сегодня нам будут помогать формулы Сокращённого умножения.

2. Сообщение по теме «Уравнение»

3. Решение линейных уравнений у доски (учащиеся класса записывают решения в тетрадях)

Решение уравнений по карточкам.
в) 4(2-3x)+7(6x+1)-9(9x+4)=30
г) 3-5(x+1)=6-4x.
Сообщение №2.
Слово о формулах.

4. Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

а) x+(5x+2)2 =25(1+x2).
б) (x-6)2-x(x+8)=2.
Решение уравнений по карточкам.
в) (2-x)2-x(x+1,5)=4
г) x(x-1)-(x-5)2=2.

5. Решение уравнений, в которых содержится формула разности квадратов.

Работа у доски.
8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-16×2+9=2x,
8x-2x=-9,
6x=-9,
x=-1,5
Ответ: -1,5

Решение задачи.
Сторона первого квадрата на 2см. больше стороны второго, а площадь первого на 12 см больше площади второго. Найдите периметры этих квадратов.

Пусть x см сторона второго квадрата. Тогда(x+2) см сторона первого квадрата. Площадь первого (x+2) 2 см 2 ,а площадь второго x 2 .
Составляем уравнение:
(x+2) 2 -x 2 =12
x 2 +4x+4-x 2 =12,
4x=12-8,
4x=8,
x=2.
Если x=2,то 4x=4*2=8
Если x=2, то 4(x+2)=4(2+2)=16.
Ответ:16см,8см.

6. Решение разных уравнений, содержащих формулы сокращённого умножения.

7.Творческая работа учащихся. Заполнение таблицы.

Узнайте фамилию величайшего математика XVII века. Для этого зачеркните
буквы, не связанные с найденными ответами.
(Декарт)

Приложение к уроку.
Решение линейных уравнений.

Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

Работа по карточкам.

Решение разных уравнений содержащих несколько формул сокращённого умножения.

8. Подведение итогов урока.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Применение формул сокращенного умножения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Методическая разработка урока по алгебре в 7 классе по теме «Применение формул сокращенного умножения»

1.Аннотация (методическое обоснование темы)

Проблема, раскрываемая в разработке урока: применение игровой и информационной технологий позволяет активизировать учебно-познавательную деятельность учащихся.

Вопросы, раскрываемые в разработке: повышение интереса к предмету, уменьшение объема фронтальных форм организации деятельности школьников, а также доминирования речи учителя.

Разработка может быть применена в любых УМК.

2.Методические рекомендации учителю для проведения урока Для проведения урока необходимы:

Учебник, оценочный лист образовательных результатов урока (подготовленный заранее учителем), доска.

Компьютер с мультимедийным проектором, презентация «Применение формул сокращенного умножения», интерактивный тест «Формулы сокращенного умножения», индивидуальные ПК.

Перед проведением урока класс делится на группы, которые формируются учителем по темпу восприятия учебного материала учащимися, и каждой группе присваивается условный цвет для дальнейшей работы с презентацией, участия в игре (медленный темп – зелёный, средний темп – жёлтый, быстрый – красный), может быть более одной группы одинаковой скорости изучения, в зависимости от уровня класса. В малой группе – оптимально может быть 4- 5 человек. Обычно в классе — 3 группы. При выполнении заданий учащиеся могут общаться внутри группы. Можно изменить расстановку парт в классе.

Тема урока: » Применение формул сокращенного умножения». Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Цель урока: создание условий для обобщения знаний и умений по теме «Применение формул сокращенного умножения».

— обобщить и систематизировать знания и умения по теме «Применение формул сокращенного умножения»;

— выявить «скрытые» проблемы и затруднения для их дальнейшей коррекции; -совершенствовать навыки применения формул сокращенного умножения, нахождения значений выражений, решения уравнений;

— выработать умения выбирать рациональный способ решения; развивающие:

— способствовать формированию умений использовать приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

— рефлексия способов и условий действия;

— контроль и оценка процесса и результатов деятельности. воспитательные:

— воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивость в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ, игровая технология.

Формы учебной деятельности учащихся: индивидуально — групповая. Формы работы учащихся: групповая, самостоятельная.

№ Этап урока Время

1 Организационный момент 2 мин

2 Сообщение темы и цели урока 3 мин

3 Работа по теме урока

3.1 I этап «Теоретический опрос». 5 мин

3.2 Дополнительный бонус 2 мин

3.3 2 этап «Преобразование выражений » 7 мин

3.4 3 этап «Решение уравнений» 8 мин

3.5 Физкультминутка 1мин

3.6 4 этап «Самостоятельная работа» 10 мин

4 Подведение итогов 2 мин

5 Рефлексия 3 мин

6 Выдача домашнего задания 2 мин

Конспект урока «Применение формул сокращенного умножения»

1. Организационный момент. (2 мин)

Учащиеся объединяются в три команды. В каждой команде выбирается капитан, и заранее учитель назначает трёх консультантов – по одному в каждой команде.

2. Сообщение темы и цели урока. (Слайд № 1) (3 мин)

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Применение формул сокращенного умножения » и мы повторяем, обобщаем, приводим в систему изученный материал.

Перед вами стоит задача – применению своих знаний, умений по преобразованию алгебраических выражений и решения уравнений с использованием формул сокращенного умножения.

3. Работа по теме урока.

Наша эстафета состоит из 4 этапов. На каждом этапе вы получаете одинаковое количество заданий. Задания будут усложняться. Решив задания одной сложности, получаете задания другой сложности, т.е. переходите на следующий этап. Победит та команда, которая первой пройдет все этапы и наберет большее количество баллов.

3.1 I этап «Теоретический опрос» (слайд 2) (5 мин)

Задания данного этапа нацелены на проверку знания определений и свойств. Команды по очереди называют цвет своего «светофора» (учитель кликает по нему) обучающиеся отвечают на появившийся, на экране вопрос. Затем обсуждают вопрос вместе и формулируют ответ совместно, чтобы было быстрее. Если ответ дан верно, команда получает 1 балл. Если же ответ дан неверно, то другая команда может ответить правильно и заработать дополнительные очки. Затем следует проверка, по клику появляется ответ. По ссылке (стрелка) возвращаемся на (2 слайд), ответив на последний вопрос, по клику переходим на (9 слайд).

Что называют многочленом? (Многочленом называется сумма одночленов)

Какие выражения называются целыми?

(Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями. К целым относят и выражения, в которых кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля)

Что называется тождеством?

(Равенство между буквенными выражениями называют тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел)

Умножение одночлена на многочлен.

(Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить)

Умножение многочлена на многочлен.

(Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить)

Квадрат разности двух чисел

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго чисел и плюс квадрат второго числа)

3.2 Математический диктант (9 слайд): (2 мин)

Индивидуальное задание – математический диктант. Раздаются листочки, на которых каждый ученик записывает пары соответствующих формул. Затем следует взаимопроверка и самооценка. (Проверка проводится интерактивно на (слайде 9) с помощью функции триггер при нажатии на номер формулы).

Задание: выбрать пары равных выражений и составить верные формулы.

a2  b2 a3  b3 a3  b3

(a  b)(a2  ab  b2 ) (a  b)(a2  ab  b2 ) a2  b2

a2  2ab  b2 a2  2ab  b2 ( а  b)2

3.3 2 этап «Преобразование выражений» (слайд 10). (7 мин)

Задания данного этапа с ответами. За каждое правильное решение команда получает — 2 балла. На этом этапе ответы даны, нужно выполнить данные преобразования и получить правильный ответ. По ссылке (стрелка) возвращаемся на (10 слайд), ответив на последний вопрос, по клику переходим на (17 слайд). ( На 11 – 16 слайдах по клику после каждого ответа выполняем проверку)

(2х 4y2 )(4y2 2x) 16y2 4×2 ; (m3)(m2 3m9) m3 27.

Преобразуйте в многочлен: 2х(х 3)3х(х 5);

4b(3b6)(3b5)(3b5). Докажите тождество:

(х 7)2 10х 49 х2 4х; 5х(х2 8х)8х(х2 5х) 3х3 ; (у 1)2 (у 2)2 3(2у 1).

Замените знак * таким одночленом, чтобы получилось верное равенство: (*4у)2 9х2 24ху *;

Разложите на множители 16у2 + 8ху + х2 = (4у + х)2

3m – 3n + mn – n2 = (m – n)(3 + n) 5a – 25b = 5(a – 5b)

3.4 3 этап «Решение уравнений» (слайд 17). (8 мин)

Выдающийся физик Альберт Эйнштейн, основоположник теории относительности, говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Вот и займемся уравнениями.

(18–23 слайды). Одно уравнение выбирается (выбирают представителя от команды красных) и этот ученик решает данное уравнение с комментариями на доске. Далее 2 ученика, по одному уравнению (выбираются представителями команд (желтых и зелёных) по клику своего цвета «светофора») одновременно решают на доске. Все остальные решают уравнения своей команды. После выполнения задания на 15 – 19 слайдах по клику выполняем проверку. (По клику переходим с 17 слайда на 24 слайд)

(6х 1)(6х 1)4х(9х 2) 1. а(89а)40 (63а)(63а). (2х 3)2 2х(42х) 11. 6( х – 3 ) + 2(х + 2) = 10

Ответы: 1. -2; 2.4; 3.0; 4. -0,5; 5. 1; 6. 3.

3.5 Физкультминутка: Зарядка для глаз (слайд 24). (1 мин).

3.6 4 этап «Самостоятельная работа» (слайд 25). (10 мин)

Задания на 4 этапе учащиеся решают не командой, а работают индивидуально, но при этом каждая команда получает разные задания. Более подготовленные дети выполняют самостоятельную работу (слайд 20) с проверкой на (21 слайде), а менее подготовленные выполняют интерактивный тест за ПК с выводом результата.