Уравнения 7 класса по алгебре равносильные

Равносильные уравнения, правила преобразований

п.1. Понятие равносильных уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.

Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1

$\implies$ уравнения равносильны

$x_1 = 3 и x_2 = -2$

Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень

$\implies$ уравнения неравносильны

Оба уравнения не имеют решений

$\implies$ уравнения равносильны

п.2. Правила преобразования уравнений

При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.

Правила преобразования уравнений

  • 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
  • 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
  • 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите уравнение $ \frac <1><5>x = 12 — 7x$

$ \frac <1><5>x = 12 — 7x \iff \frac <1><5>x + 7x = 12 \iff 7 \frac <1><5>x = 12 \iff x = 12:7 \frac <1> <5>\iff$

$ x = 12 \cdot \frac <5> <36>= \frac <5> <3>=1 \frac <2> <3>$

Пример 2. Решите уравнение $ \frac <3x> <7>— \frac <14>= 10$

$ \frac <3x> <7>— \frac <14>= 10 | \times 14 \iff 6x — x = 140 \iff 5x = 140 \iff x = 140 : 5 = 28$

Пример 3. Решите уравнение $7x — \frac <2> <5>=\frac 15 (3x+14)$

$7x — \frac 25 = \frac 15 (3x + 14) | \times 5 \iff 35x — 2 = 3x + 14 \iff 35x — 3x = 14 + 2 \iff$

$ \iff 32x = 16 \iff x = \frac <16> <32>= \frac 12$

Ответ: x = \frac 12

Пример 4. Решите уравнение $\frac <5x-1> <2>— \frac <3x+4> <8>= \frac <4>$

$\frac <5x-1> <2>— \frac <3x+4> <8>= \frac <4>| \times 8 \iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) \iff $

$ \iff 15x=2 \iff x= \frac <2> <15>$

Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения

Найдём корень первого уравнения

$3(x-1)=5-x \iff 3x-3=5-x \iff 3x+x=5+3 \iff 4x=8 \iff x=2$

Подставим во второе

$a \cdot 2=2+a \iff 2a-a=2 \iff a=2$

При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие равносильных уравнений.
  • Изучение равносильных систем уравнений.
  • Практическое применение равносильности систем уравнений.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

  1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
  1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
  2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
  3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Пример 4. Решите систему уравнений

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Конспект урока по алгебре на тему: «Уравнение и его корни. Равносильные уравнения». (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Уравнение и его корни. Равносильные уравнения.

Предмет: алгебра, 7 класс.

обобщить и систематизировать знания по теме “Уравнения”;

способствовать развитию логического мышления и математической речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Работа над ошибками в к/р №1.

Актуализация знаний. Математический диктант .

Закончите предложение: “Выражение 2х – 5 [3 4 + 5] является …” (буквенным/числовым)

Составьте выражение по условию задачи: “Карандаш стоит х рублей, а блокнот — 25 рублей. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот [1 карандаш и 2 блокнота]? (3х + 25 / х +2*25)

Найдите значение полученного выражения при х = 10. (55 рублей/60 рублей)

Хватит ли Коле денег на всю покупку, если у него всего 58 рублей? (да/нет)

Решите уравнение
5х – 4 = 6
3х + 2 = 8. Дети сдают диктанты, обмениваются тетрадями, проверяют друг у друга работы. Ответы записываются на доску.

4. Сообщение темы урока.

— Каким было последнее задание в диктанте? (Решить уравнение).

— Учиться решать уравнения вы начали ещё в начальных классах. С этой темой мы встречались в 5 и 6 классах, узнавая каждый раз что – то новое об уравнениях. Задачей нашего сегодняшнего урока является обобщение и систематизация знаний об уравнениях.

5. Изучение нового материала

1) – Запишите тему нашего урока “Уравнение и его корни. Равносильные уравнения”.

2) – Давайте постараемся дать определение уравнению. Что же это такое?

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением с одной переменной или уравнением с одним неизвестным.

3) Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

а) х + 2 = 1,3; б) 3у – 4; в) х = — 8,1; г) 16 * 5 – 8 = 72; д) 1.5 х + 2.8 = 5,8.

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

4) — Вспомните, пожалуйста, что называют корнем уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

5) – Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

а) 4 + 3х = 10; б) (х – 5)(х + 1) = 11; в) 6(3х – 1) = 12х + 6.

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

6) – Следующее задание выполним письменно.

Определите, какие из чисел – 2, — 1, 0, 2, 3 являются корнем уравнения х 2 + 3х = 10.

Задание выполняется учащимися в тетради. Некоторые ученики по очереди делают соответствующие записи на доске. Образец выполнения задания: Корнем уравнения х 2 + 3х = 10

а) -2 не является, так как (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = — 2, а -2 10;

б) – 1 не является, так как (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, а – 2 10;

в) 0 не является, так как 0 2 + 3 * 0 = 0, а 0 10;

г) 2 является, так как 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, а 10 = 10;

д) 3 не является, так как 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, а 18 10.

Постарайтесь сами составить уравнение, корнем которого было бы число 3.

После самостоятельного выполнения задания некоторые учащиеся зачитывают получившиеся у них уравнения, класс определяет, правильно ли выполнено задание.

9) – Как вы думаете, что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет.

10) – Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) 3х = 5х; б) 4(х + 1) = 4х +7; в) 3х + 12 = 3(х + 4).

12) – Сегодня мы знакомимся с новым для вас понятием – это равносильные уравнение. Попробуйте догадаться, какие же уравнения называются равносильными.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.

13) – Какое уравнение равносильно уравнению 3х – 10 = 50?

Учащиеся составляют уравнения, равносильные данному, записывают их в тетрадь, некоторые из составленных уравнений зачитываются и обсуждаются классом.

14) – При решении уравнений используются свойства, которые мы с вами учили в 6 классе. Давайте их вспомним.

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

15) – Замените уравнения равносильными уравнениями с целыми коэффициентами:

а) 0,1х = — 5; б) – 0,19 у = 3; в) — 0,7х = — 4,9.

— Замените уравнения равносильными уравнениями вида ах = b:

а) 8х + 15 = 39; б) 16 – 2х = 10.

6. Подведение итогов урока . Рефлексия. — Дайте определение уравнения с одной переменной. — Что называют корнем уравнения? — Все ли уравнения имеют корни? — Что значит решить уравнение? — Какие уравнения называются равносильными? — Назовите свойства, которые используются при решении уравнений. 7. Домашнее задание: п.6 стр.25-27, № 111, 112 (б), 113, 114


источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/7272/conspect/

http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-na-temu-uravnenie-i-ego-korni-ravnosilnie-uravneniya-klass-1256979.html