Уравнения 8 класс по алгебре начало

Открытый урок в 8-м классе по алгебре в форме игры «Поиск ценнейшего напитка». Тема урока: «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Тип урока: обобщающий урок.

Цели и задачи:

  1. Создать условия для формирования навыков решения квадратных уравнений;
  2. научить учащихся навыкам особых приемов решения квадратных уравнений;
  3. Развивать навыки исследования, межпредметные связи;
  4. Способствовать развитию внимания, мышления, нравственных черт личности;
  5. Способствовать воспитанию здорового образа жизни.

Оборудование: конверты с заданиями, ОК, презентация.

Форма: урок с элементами дидактической игры.

Ход урока

Умения без мысли-
Напрасный труд.
Конфуций

I. Оргмомент.

Слайд №1. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено большое здание алгебры. Умение хорошо и быстро решать квадратные уравнения сократит время в старших классах при решении тригонометрических, показательных, логарифмических и других уравнений. Поэтому мы повторим определение квадратного уравнения, их виды, решения и их особенности.

II. Актуализация опорных знаний.

Вопрос: Дать определение квадратного уравнения. Какие виды квадратных уравнение вы знаете?

На каждом столе лежит набор геометрических фигур одного цвета (одни красные, другие желтые, третьи оранжевые и четвертые розовые), на которых написаны уравнения.

Задание: Выбрать квадратные уравнения и сложить картинку. Работа в парах. Дети складывают тюльпаны.

Учитель: Выбрав правильно квадратные уравнения, и сложив картинку, вы создали в классе кусочек весенней калмыцкой степи.

Слайд №2: Тюльпаны.

Учитель: А теперь перейдем к решению квадратных уравнений. У каждого на парте опорный конспект, состоящий из 4 частей. С помощью опорного конспекта ответьте на вопросы.

Вопрос: При каких условиях квадратные уравнения не имеют корней?

Ответ: Если а, b, с ≠ 0, то при D 2 + с = 0 не имеет корней, если коэффициенты а и с одинаковых знаков, т.е. ас >0.

Вопрос: При каких условиях уравнение имеют один корень?

Вопрос: При каких условиях уравнение имеет два противоположных корня?

Вопрос: Когда корни полного квадратного уравнения разных знаков, а когда одинаковых?

Ответ: Если ax 2 + bx + c = 0 и с/а 0, то х1 • х2 > 0 (корни одинаковых знаков).

Вопрос: Сформулируйте теорему Виета.

III. Формирование навыков и умений.

Учитель: А сейчас мы будем составлять квадратные уравнения. Я пишу х 2 , Маша, иди запиши 1-ое слагаемое, а я допишу 3-е. Теперь, Вася, иди пиши 1-ое, Катя, 2-ое, а я запишу 3-е. А теперь я начинаю, а вы сами завершаете. И так три уравнения. Например: х 2 + 5х – 6 = 0 (1; -6) х 2 — 3х + 2 = 0 (1; 2) 2х 2 — 5х + 3 = 0 (1; 3/2)
Найдите их корни.

Вопрос: Что вы заметили? Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения?

Вопрос: Чему равны корни уравнения, у которых а + b + с = 0?

Учитель: Еще составим несколько уравнений. Оля пишет 1-ое слагаемое, Вова 2-ое, а я запишу 3-е. Итак х 2 + 4х +3 = 0 (-1; -3) 2х 2 + 5х +3 = 0 (-1; -3/2) 3х 2 — 4х — 7 = 0 ( -1; 7/3)

Учитель: А теперь я начну, а вы завершите.

Вопрос: Чему равны корни уравнения, какова особенность коэффициентов этих уравнений?

Вопрос: Итак, чему равны корни квадратного уравнения, у которых а + с = в?

Учитель: Запишем это в тетради.

После работы у доски один учащийся делает доклад: «Эпизод из жизни французского математика Франсуа Виета».

Слайд №4. (портрет Ф. Виета)

Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные сложной тайнописью. Вызванный математик, сумел найти ключ к этому шифру. С тех пор французы знали планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления. Инквизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре.
Но он не был выдан инквизиции. В своем городе он был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом его жизни была математика. Он мог несколько ночей не спать, решая очередную математическую задачу. Ф. Виета называли «отцом современной буквенной алгебры».

IV. Основная часть. Игра.

Учитель: Внимание! Внимание! Внимание! ВСЕ, кто любит поиск, приключения, внимательно слушайте меня. Вчера в школу пришло загадочное письмо. От кого? Пока секрет! Вот что в нем написано:

«О почтеннейшие и мудрейшие юные математики! Давным-давно в вашей школе мною спрятан ценнейший напиток. Человек, который его обнаружит и отведает хотя бы глоток, станет бодрым и энергичным. Я дарю вам этот напиток, но его нужно найти. Путь поиска вам подскажут ответы на вопросы в волшебном листе, который я кладу в конверт. Не бойтесь трудностей, мои юные друзья! Вперед! Да помогут вам ваши знания и смекалка!»

Для поиска надо создать три команды в таком составе: командир, его заместитель, члены команды.

Учитель: Командирам подойти для получения конверта с заданиями от волшебника и букета цветов, которые они будут дарить за вознаграждение. Первый правильно решил – цветок красного цвета, чуть позже — оранжевого, 3-ий решил – цветок желтого цвета.

Командирам разрешается ходить по классу фиксировать правильные ответы и оказывать помощь слабоуспевающим.

Вскрыв конверты. Командиры находят в них листы №1, №2, №3.

Лист №1

Ответив на 4 предложенных ниже вопросов-заданий и взяв из каждого слова-ответа указанную букву, вы составите слово- пароль. С паролем нужно обратиться к учителю, который ответит на пароль словами «…-вам очень нужны»

Вопросы-задания первой команде (выполняют в тетрадях)

1. Назовите 9 букву алфавита. (з)
2. Решите уравнение 2х 2 + 2х = 0. Возьмите из модуля наименьшего корня 4 букву. (один)
3. Решите уравнение х 2 = 12х — 11. Возьмите из наибольшего корня 6, 4-ю буквы.
4. Решите уравнение 2х 2 + 5х — 7 = 0. Возьмите из положительного корня 3-ю букву.
5. Решите уравнение 3/4 х 2 — 2/5 х = 4/5 х 2 + 3/4. Возьмите из модуля наименьшего корня 2-ю букву.

Лист №2

Выполнив задание, составьте слово-пароль. С этим паролем подойдите к учителю, который на него должен дать ответ « …- ценнейшее качество».

Вопросы-задания второй команде. (выполняют в тетрадях)

1. Решите уравнение 2х 2 — 3х = 0. Возьмите из наименьшего корня 2-ю букву.
2. Решите уравнение х 2 — 9х + 14 = 0. Возьмите из нечетного корня 3, 2-ю буквы.
3 Решите уравнение 3х 2 + 4х — 7 = 0. Возьмите из положительного корня 4-ю букву.
4. Назовите 4-ю гласную букву алфавита.
5. Решите уравнение 3х 2 = 10 — 29х. Возьмите из модуля целого корня 4-ю букву.

Лист №3

С помощью написанной на квадратном листе записки с таинственными записями и дешифратора с прорезями и вырезом вы должны составить слово-пароль, который надо сказать учителю и получить в ответ «…- в жизни необходим»

Задание третьей команде. (выполняют в тетрадях)

Чтобы узнать пароль, необходимо решить первое уравнение, наложить дешифратор на записку и поворачивать записку до тех пор, пока в окнах-прорезях получитедва числа, которые являются корнями этого уравнения, при таком положении в нижнем углу дешифратора прочитаете 1-ю букву. Затем, решив второе уравнение и повторив все действия, прочитаете 2-ю букву и т. д. Уравнения:
1) 5х 2 — 11х + 2 = 0;
2) —х 2 = 5х — 14;
3) (х + 1) 2 = (2х — 1) 2 ;
4) 2х 2 — 8 = 0.

Итак, получилось: (Слайд №5)

Знания – вам очень нужны.
Умение – ценнейшее качество.
Опыт – в жизни необходим.

Учитель: Пароль отгадали – это ключ к конверту №4.

Слайд №6. (старик Хаттабыч)

«О, почтеннейшие! Поздравляю вас с маленькой победой!
Но вам надо преодолеть еще одно препятствие. Желаю удачи. »
Старик Хаттабыч

Учитель: На доске написаны пять слогов и рядом пара чисел. Надо решить по теореме Виета три квадратных уравнения и убрать лишние слоги.

МОСОКОПОЛО

Учитель: Вы преодолели последнее препятствие. Это напиток является ценнейшим продуктом для людей любого возраста, особенно детского. Употребляя ежедневно 500-700 мл человек получает с ним все необходимые организму питательные вещества (белки, углеводы, жиры, витамины, минеральные вещества. )
Итак, это молоко!
Учитель советует употреблять ежедневно этот ценнейший напиток.

V. Итог урока.

Слайд №7.
Уравнения: выберите уравнения
а) которые имеют противоположные корни;
б) с корнем, равным 0;
в) с корнем, равным 1, -1.

Учитель: Командиры с заместителями оценивают работу членов команд.

Слайд №8.
Критерии оценки:
«5» — 9-10 цветов
«4» — 7-8 цветов
«3» — 4-6 цветов.

V. Домашнее задание.
Творческое задание: составить по три уравнения, имеющих
а) два противоположных корня;
б) два корня, один из которых ноль;
в) два корня, один из которых 1;
г) два корня, один из которых -1.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

    • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

    • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

    • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    Уравнения 8 Класс «Алгебра»

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    «Уравнение»
    урок алгебры, 8 класс

    Что такое уравнение
    Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв.

    Историческая справка
    В древних математических задачах неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде.

    Первое руководство по решению задач – «Математический трактат» багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми

    Свойства уравнений
    Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
    Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

    Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет.

    Уравнения, изучаемые в курсе математики 8 класса
    1.Линейное уравнение.
    2. Квадратное уравнение.
    3.Биквадратное уравнение.

    Линейные уравнения
    Линейное уравнение — уравнение первой степени, вида ax+b=0, где a и b – некоторые действительные числа.

    Квадратные уравнения
    ax² + bx + c = 0
    Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле:

    Выражение D = b² – 4ac дискриминант квадратного уравнения.
    При этом:
    Если D>0 , то уравнение имеет два различных действительных корня;
    Если D=0 , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
    Если D

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

    Курс повышения квалификации

    Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

    • Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Дистанционные курсы для педагогов

    «Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 593 924 материала в базе

    Материал подходит для УМК

    «Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.

    «Алгебра (в 2 частях)», Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)

    Самые массовые международные дистанционные

    Школьные Инфоконкурсы 2022

    33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

    «Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Другие материалы

    • 08.06.2021
    • 1952
    • 111

    • 08.06.2021
    • 196
    • 4

    • 08.06.2021
    • 152
    • 12

    • 08.06.2021
    • 80
    • 0

    • 08.06.2021
    • 70
    • 0

    • 08.06.2021
    • 79
    • 3

    • 08.06.2021
    • 214
    • 2

    • 08.06.2021
    • 8278
    • 210

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 08.06.2021 244
    • PPTX 2 мбайт
    • 2 скачивания
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем ЯКОВЕЦ СВЕТЛАНА ПАВЛОВНА. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    • На сайте: 1 год и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 8420
    • Всего материалов: 46

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

    Время чтения: 1 минута

    В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

    Время чтения: 0 минут

    В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

    Время чтения: 1 минута

    В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

    Время чтения: 0 минут

    В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

    Время чтения: 1 минута

    Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

    Время чтения: 1 минута

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.


    источники:

    http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

    http://infourok.ru/uravneniya-8-klass-algebra-5225633.html

    © 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут