Как решать квадратные уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.
Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.
Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
- x 2 — 2x + 6 = 0
- x 2 — x — 1/4 = 0
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.
- 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:
Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.
Полные и неполные квадратные уравнения
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия: | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0.
Как решить уравнение ax 2 + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.
Разделим обе части на 8: Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 0,5x = 0,125, Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнениеС помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Дискриминант: формула корней квадратного уравненияЧтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:
где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корнейТеперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравненийКак решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.
Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.
Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.
Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.
D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Формула корней для четных вторых коэффициентовРассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула. Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:
где D1 = n 2 — ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:
Формула ВиетаЕсли в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам: Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравненийЕсли мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения
умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентамиМы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:
Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: Квадратные уравнения (8 класс)Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся. Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.Виды квадратных уравненийЕсли в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.Как решать квадратные уравненияВ данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь . Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения: Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\). Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\). Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\) Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак. Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты. Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\). Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\) Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\). Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза. Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\) Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты. Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\). Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ). Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка. Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\). Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\). Открытый урок в 8-м классе по алгебре в форме игры «Поиск ценнейшего напитка». Тема урока: «Квадратные уравнения»Разделы: Математика Тип урока: обобщающий урок. Цели и задачи:
Оборудование: конверты с заданиями, ОК, презентация. Форма: урок с элементами дидактической игры. Ход урока Умения без мысли- I. Оргмомент. Слайд №1. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено большое здание алгебры. Умение хорошо и быстро решать квадратные уравнения сократит время в старших классах при решении тригонометрических, показательных, логарифмических и других уравнений. Поэтому мы повторим определение квадратного уравнения, их виды, решения и их особенности. II. Актуализация опорных знаний. Вопрос: Дать определение квадратного уравнения. Какие виды квадратных уравнение вы знаете? На каждом столе лежит набор геометрических фигур одного цвета (одни красные, другие желтые, третьи оранжевые и четвертые розовые), на которых написаны уравнения. Задание: Выбрать квадратные уравнения и сложить картинку. Работа в парах. Дети складывают тюльпаны. Учитель: Выбрав правильно квадратные уравнения, и сложив картинку, вы создали в классе кусочек весенней калмыцкой степи. Слайд №2: Тюльпаны. Учитель: А теперь перейдем к решению квадратных уравнений. У каждого на парте опорный конспект, состоящий из 4 частей. С помощью опорного конспекта ответьте на вопросы. Вопрос: При каких условиях квадратные уравнения не имеют корней? Ответ: Если а, b, с ≠ 0, то при D 2 + с = 0 не имеет корней, если коэффициенты а и с одинаковых знаков, т.е. ас >0. Вопрос: При каких условиях уравнение имеют один корень? Вопрос: При каких условиях уравнение имеет два противоположных корня? Вопрос: Когда корни полного квадратного уравнения разных знаков, а когда одинаковых? Ответ: Если ax 2 + bx + c = 0 и с/а 0, то х1 • х2 > 0 (корни одинаковых знаков). Вопрос: Сформулируйте теорему Виета. III. Формирование навыков и умений. Учитель: А сейчас мы будем составлять квадратные уравнения. Я пишу х 2 , Маша, иди запиши 1-ое слагаемое, а я допишу 3-е. Теперь, Вася, иди пиши 1-ое, Катя, 2-ое, а я запишу 3-е. А теперь я начинаю, а вы сами завершаете. И так три уравнения. Например: х 2 + 5х – 6 = 0 (1; -6) х 2 — 3х + 2 = 0 (1; 2) 2х 2 — 5х + 3 = 0 (1; 3/2) Вопрос: Что вы заметили? Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? Вопрос: Чему равны корни уравнения, у которых а + b + с = 0? Учитель: Еще составим несколько уравнений. Оля пишет 1-ое слагаемое, Вова 2-ое, а я запишу 3-е. Итак х 2 + 4х +3 = 0 (-1; -3) 2х 2 + 5х +3 = 0 (-1; -3/2) 3х 2 — 4х — 7 = 0 ( -1; 7/3) Учитель: А теперь я начну, а вы завершите. Вопрос: Чему равны корни уравнения, какова особенность коэффициентов этих уравнений? Вопрос: Итак, чему равны корни квадратного уравнения, у которых а + с = в? Учитель: Запишем это в тетради. После работы у доски один учащийся делает доклад: «Эпизод из жизни французского математика Франсуа Виета». Слайд №4. (портрет Ф. Виета) Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные сложной тайнописью. Вызванный математик, сумел найти ключ к этому шифру. С тех пор французы знали планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления. Инквизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. IV. Основная часть. Игра. Учитель: Внимание! Внимание! Внимание! ВСЕ, кто любит поиск, приключения, внимательно слушайте меня. Вчера в школу пришло загадочное письмо. От кого? Пока секрет! Вот что в нем написано:
Для поиска надо создать три команды в таком составе: командир, его заместитель, члены команды. Учитель: Командирам подойти для получения конверта с заданиями от волшебника и букета цветов, которые они будут дарить за вознаграждение. Первый правильно решил – цветок красного цвета, чуть позже — оранжевого, 3-ий решил – цветок желтого цвета. Командирам разрешается ходить по классу фиксировать правильные ответы и оказывать помощь слабоуспевающим. Вскрыв конверты. Командиры находят в них листы №1, №2, №3. Лист №1 Ответив на 4 предложенных ниже вопросов-заданий и взяв из каждого слова-ответа указанную букву, вы составите слово- пароль. С паролем нужно обратиться к учителю, который ответит на пароль словами «…-вам очень нужны» Вопросы-задания первой команде (выполняют в тетрадях)
Лист №2 Выполнив задание, составьте слово-пароль. С этим паролем подойдите к учителю, который на него должен дать ответ « …- ценнейшее качество». Вопросы-задания второй команде. (выполняют в тетрадях)
Лист №3 С помощью написанной на квадратном листе записки с таинственными записями и дешифратора с прорезями и вырезом вы должны составить слово-пароль, который надо сказать учителю и получить в ответ «…- в жизни необходим» Задание третьей команде. (выполняют в тетрадях)
Итак, получилось: (Слайд №5)
Учитель: Пароль отгадали – это ключ к конверту №4. Слайд №6. (старик Хаттабыч)
Учитель: На доске написаны пять слогов и рядом пара чисел. Надо решить по теореме Виета три квадратных уравнения и убрать лишние слоги.
|