Уравнения алгебры логики 8 класс

Алгебра логики. 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель: Привить навыки логически рассуждать, сформулировать основные формы мышления, изучение основных исторических этапов развития логики и знакомство с историческими личностями, связанными с развитием данной науки с Древних времен и по сей день.

• Дать определение логики как науки.
• Сформулировать основные формы мышления.
• Разобрать какие базовые логические операции существуют?
• Привить навыки логически рассуждать и решать различные логические задачи.
• Контролировать степень усвоения материала.
• Записать в тетрадь основные понятия.

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, исследовательский, практический.

Оборудование и программное обеспечение:

• интерактивная презентация по теме “Программирование циклических алгоритмов”;
• проектор и экран для демонстрации лекции;
• меловая или маркерная доска;
• дидактический раздаточный материал.

1. Организационный момент. (3 мин)
2. Повторение ранее изученного материала. (7 мин)
3. Изучение нового материала.(15 мин)
4. Закрепление знаний (15 мин)
5. Подведение итогов урока. (3 мин)
6. Домашнее задание (2 мин)

1. Организационный момент (проверка присутствующих, проверка готовности к работе).

2. Повторение ранее изученного материала.

Вы уже знаете, что наука информатика держится на трех основных китах. Назовите, пожалуйста, их? Ответ:(логика, алгоритмы и программы).(Слайд 1)

Немного из истории:

1. 1 этап – формальная логика, основатель – Аристотель (384–322гг. до н.э. ) Ввел основные формулы абстрактного мышления. (Слайд 4) 2 этап – математическая логика, основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц(1642–1716), предпринял попытку логических вычислений. (Слайд 5)
2. 3 этап – Алгебра высказываний (Булева алгебра), основатель – английский математик Джордж Буль(1815–1864),ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики. (Слайд 6)

В настоящее время самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. (слайд 7)

Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах всемирно-известного математика, азербайджанского происхождения Лютфи Заде. Он родился в Баку, Азербайджан, 4 февраля l92l года. (Слайд 8)

3. Изучение нового материала.

Запишите, пожалуйста, тему нашего сегодняшнего урока “Алгебра логики”. (Слайд 2).

Что же такое ЛОГИКА и для чего она нужна?

Дадим определение логики и запишем ключевые моменты в тетрадь.

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Основные формы мышления:

В слайдах 10,11 и 12 объясняется каждая форма мышления и ученики записывают определения в тетрадь, затем приводят примеры относящиеся к каждой форме с логическими доводами.

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения “истинно” и “ложно”.

Истинно = 1
Ложно = 0 (Слайд 13)

Примерами высказываний могут служить следующие утверждения:

1. “Земля – планета Солнечной системы”.
2. “3 + 6 > 10”.
3. “Число 15 – простое”.

1-е высказывание – истинно, высказывания 2, 3 – ложные.

Утверждения “х>0”, “Выучить логику – просто” не являются высказываниями, так как судить об их истинности или ложности невозможно.

Приведенные примеры являются простыми высказываниями (суждениями).

Используя союзы “и”, “или” из простых высказываний образуют составные (сложные) высказывания. Например: “На улице идет дождь и дует ветер”.

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Для образования новых высказываний наиболее часто используют базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок “и”, “или”, “не”. (Слайд14)

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логического преобразования к трем базовым: конъюнкции, дизъюнкции и инверсии.

1. Присоединение частицы “не” к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и наоборот – ложное истинным. Инверсия обозначается:

2. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “и” называется операцией логического умножения или конъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. Конъюнкция обозначается: .

3. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза “или” называется операцией логического сложения или дизъюнкцией. Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих нее простых высказываний. Дизъюнкция обозначается:

Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи “если…,то…”, называется логическим следованием или импликацией.

Схема решения логических задач средствами алгебры логики:

а) изучается условие задачи;
б) вводится система обозначений для логических высказываний;
в) конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
г) определяются значения истинности этой логической формулы;
д) из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введенных логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

4. Закрепление знаний.

Для закрепления материала решим следующие задачи (фронтально):

1. Дать определение науки логики.
2. Охарактеризовать понятие как форму мышления.
3. Определите тип высказывания:
   a) число 6 – четное;
   b) Некоторые рыбы – хищники;
   c) Все волки – звери.
4. Продолжите фразу: “Логическая величина – это…”
5. Определите значение истинности следующего высказывания: “Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом”.
6. Пусть A= “Этот день солнечный”, а B= “Этот день жаркий”. Выразите предложенную формулу на обычном языке. Не A и не B.
7. Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на олимпиаде по физике четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
   Сергей – первый, Роман – второй;
   Сергей – второй, Виктор – третий;
   Леонид – второй, Виктор – четвертый.
   Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?
8. Воронов, Павлов, Левицкий и Сахаров – 4 талантливых молодых человека. Один из них танцор, другой – художник, третий – певец, а четвертый – писатель. Известно, что:
   Воронов и Левицкий – сидели в зале консерватории в тот вечер, когда певец дебютировал в сольном концерте;
   Павлов и писатель вместе позировали художнику;
   Писатель написал биографическую повесть о Сахарове, и собирается написать о Воронове;
   Воронов никогда не слышал о Левицком.
   Кто чем занимается?
9. Продолжите фразу: “Логическая переменная – это…”
10. Определите значение истинности следующего высказывания: “Рыбу ловя сачком или крючком, или мухой приманивают, или червяком”.

5. Подведение итогов.

1. Произнести определения основных новых понятий (логика, формы мышления: понятие и суждение, их характеристики).
2. Поставить оценки наиболее активным учащимся

• Сегодня я узнал…
• Я научился…
• У меня получилось …
• Было трудно…

6. Домашнее задание.

1. Дать определение науки логики.
2. Определите тип высказывания:
   a) Усы имеют некоторые звери;
   b) Все роботы – машины;
   c) В високосном году 366 дней.
3. Определите значение истинности следующего высказывания: “Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются”.
4. Министры иностранных дел России, США, Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из сторон. Отвечая на вопрос журналистов: “Чей именно проект был принят?”, министры дали такие ответы:
   Россия – “Проект не наш, проект не США”;
   США – “Проект не России, проект Китая”;
   Китай – “Проект не наш, проект России”.
   Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.
   Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. И проект какой страны был принят.
5. Возле почты растут шесть деревьев: сосна, береза, липа, тополь, ель, клен. Какое из этих деревьев самое высокое и какое самое низкое, если известно, что береза ниже тополя, а липа выше клена, сосна ниже ели, липа ниже березы, сосна выше тополя?

1. Охарактеризовать умозаключение как форму мышления.
2. Продолжите фразу: “Логическое выражение – это…”
3. Пусть A= “Этот день солнечный”, а B= “Этот день жаркий”. Выразите предложенную формулу на обычном языке. A и не B.
4. Однажды в Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алеша, Коля и Витя. Известно, что:
   москвич сидел между томичем и Витей;
   санкт-петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алеша;
   Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не был в Москве и Томске;а томич с Толей регулярно переписываются.
   Определите в каком городе живет каждый из ребят?
5. Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
   – Вот увидишь, Шумахер не придет первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.
   – Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
   Питер, к которому обратился Ник, возмутился:
   – Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.
   По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Урок по информатике ( 8 класс) на тему «Решение задач алгебры логики»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Решение задач на тему «Алгебра логики»

образовательная – знакомство учащихся с методами решения логических задач;

развивающие – развитие логического мышления учащихся, памяти, внимания, интеллектуальных способностей средствами ИКТ, а также интереса к разделу информатики — алгебре логики;

воспитательные – работа над повышением знаний основных понятий и законов алгебры логики, достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике.

Рассмотрим примеры решения задач различными способами

Пример 1
Проверить равносильность выражений А

E и (Ā ∧ Ē) v (A ∧ E).

Решение. Для проверки следует создать таблицу истинности, содержащую столько строк, сколько возможно наборов значений переменных, входящих в выражение. Для двух переменных (А и E) количество наборов равно четырем. К двум столбцам для значений переменных (А и E) нужно присовокупить количество столбцов, равное количеству операций в выражении. Таким образом, необходимо создать таблицу, содержащую 4 строки и 7 столбцов.

Заполним первые 2 столбца (А и E) всеми сочетаниями значений переменных. Запишем в качестве заголовков столбцов все операции выражения в порядке их выполнения (в соответствии с приоритетами и скобками). Рассчитаем значения этих операций: сначала выражения в скобках, затем результат их сложения.

Последний столбец содержит результирующее значение выражения. Он совпадает с таблицей истинности для операции эквивалентности. Следовательно, выражения равносильны.

Основные законы алгебры логики

Для сложных логических выражений с большим числом переменных определение их истинности путем построения таблиц истинности становится громоздким. В таких случаях применяют способы упрощения выражений. Под упрощением понимают равносильное преобразование выражения к его нормальной форме.

Нормальная форма выражения содержит только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицания выражений и двойных отрицаний.

Для упрощения используют равносильные преобразования, которые иначе называют основными законами алгебры логики.

Тождественные преобразования логических выражений

Для всех тождественных преобразований выполняется закон двойственности: если в формуле преобразования заменить конъюнкцию на дизъюнкцию, дизъюнкцию — на конъюнкцию, значения 1 — на 0, 0 — на 1, то закон, сформулированный для конъюнкции, примет форму аналогичного закона для дизъюнкции, и наоборот.

Прежде всего при равносильных преобразованиях избавляются от отрицания выражений, потом — от логических операций исключающей дизъюнкции, следования и эквивалентности. Затем используют законы алгебры логики для уменьшения количества переменных в выражении.

Пример 2
Выбрать выражение, которое равносильно выражению (A ∧ B) v (Ā ∧ B).

1) A 2) A ∧ B 3) Ā ∧ B 4) B

Решение. В соответствии с законом склеивания (A ∧ B) v (Ā ∧ B) = B, следовательно, исходное выражение равносильно выражению В.
Ответ: 4) В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Выражения, которые принимают логические значения (истина или ложь) в результате выполнения операций сравнения (больше >, меньше

Вычисление значений функций.

Выполнение алгебраических операций (вначале возведение в степень, затем умножение и деление, после чего вычитание и сложение).

Выполнение операций сравнения (в порядке записи).

Выполнение логических операций (сначала операции отрицания, затем операции логического умножения, потом операции логического сложения, последними выполняются операции импликации и эквивалентности).

Если в логическом выражении используются скобки, то сначала выполняются заключенные в них операции.

Пример 3
Для какого из приведенных ниже значений числа М истинно следующее выражение?
¬М ≥ 10 ∧ M > 3

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение. В соответствии с приоритетами операций сначала следует выполнить операции сравнения, затем отрицания, а потом — конъюнкцию. Отрицанием высказывания М ≥ 10 является высказывание М ∧ M > 3. Для того чтобы это выражение (конъюнкция) было истинным, должны выполняться (т. е. быть истинными) оба неравенства. Следовательно, значение М должно быть больше 3, но меньше 10. Среди предложенных значений этому условию удовлетворяет только одно — число 4.
Ответ: 4) 4.

Задачи, подобные предыдущему примеру, можно решать и с помощью таблиц истинности.

Пример 4
Для какого из приведенных ниже значений числа М истинно следующее выражение?
¬М ≥ 10 ∧ M > 3

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение. Составим таблицу истинности: все операции выражения укажем в столбцах таблицы, все предложенные значения М укажем в ее строках. Рассчитаем значения таблицы:

Последний столбец содержит результат всего выражения. Истинным оно будет только для значения числа М, равного 4.
Ответ: 4) 4.

Пример 5
В табличной форме представлены ежемесячные данные о продаже групп товаров за полгода. Сколько групп товаров демонстрировали рост продаж в весенние месяцы или вышли на уровень свыше 80 % в июне?

Решение. Переформулируем условие задачи: необходимо найти группы товаров, для которых (Март ∧ (Апрель 80).

Введем обозначения:
А = (Март 80)

Тогда выражение можно записать как А ∧ В v С.

Логическое выражение состоит из одной конъюнкции и одной дизъюнкции. Значение выражения конъюнкции истинно только тогда, когда истинны оба составляющие его простых выражения ((Март

Составим таблицу истинности для исходных данных.

Логическому выражению удовлетворяют 3 записи — 4–я, 6–я и 7–я.
Ответ: 3.

Домашнее задание: повторить правила.

Элементы алгебры логики (8 класс, информатика)

Одним из направлений теоретической информатики является алгебра логики. Основы алгебры логики изучаются в школьном курсе информатики в 8 классе. Кратко об элементах алгебры логики можно прочитать в данной статье.

Элементы алгебры логики

Одним из разделов теоретической информатики является алгебра логики. Некоторые элементы алгебры логики доступны для понимания уже на школьном уровне.

Первые элементы алгебры логики были описаны в 19 веке в работах английского математика Джорджа Буля. Он первый высказал мысль о связи логики с математикой.

Высказывания

Объектом изучения алгебры логики являются высказывания, которые представляют собой повествовательные предложения, которые могут быть однозначно оценены как истинные или ложные. Истинность высказывания обозначают единицей, ложность – нулем. Примером высказывания может быть предложение «Москва столица Российской федерации».

Высказывания принято обозначать латинскими буквами.

Не все предложения, несущие ту или иную информацию можно назвать высказываниями. Например, вопросительные или побудительные предложения – это не высказывания. Также не являются высказываниями математические выражения с переменными.

Например, не являются высказываниями следующие предложения:

• Сколько весит слон?
• Летайте самолетами Аэрофлота!
• 5*х + 8*y = 24
• Этот фильм самый лучший.

Алгебра логики изучает методы работы с высказываниями.

Действия над высказываниями

Высказывания как объекты могут быть операндами следующих логических действий

Наглядно логические операции поясняют круги Эйлера или диаграммы Венна.

Пересечение

Пересечение – это действие над высказываниями, в результате которого будет получено новое высказывание истинное только в том случае, когда и исходные высказывания одновременно истинны.

Например, для высказываний «На каникулах я поеду в Волгоград» и «Выходные я проведу у бабушки» результатом операции пересечения будет новое высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград и выходные я проведу у бабушки», которое является истиной только в том случае, когда истины оба исходных утверждения одновременно

Пересечение также называют логическим умножением, конъюнкцией или логическим И.

Обозначают знаками И, & или ∩.

Рис. 1. Диаграмма Венна для операции пересечения

На диаграмме операция пересечения выглядит как закрашенная область – представляющая собой общую для каждого операнда часть.

Объединение

Объединение – представляет собой действие над двумя высказываниями, в результате которого будет получено новое высказывание, ложное в том случае, когда одно из двух исходных операндов ложно.

Например, для исходных высказываний «На каникулах я поеду в Волгоград» и «На каникулах я поеду в Питер» результатом операции объединения будет высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград или на каникулах я поеду в Питер», которое ложно только в том случае, когда ложны оба исходных высказывания. Если хотя бы одно из первоначальных высказываний является правдой, то и результат будет иметь значение «Истина».

Объединение также называют логическим сложением, дизъюнкцией, логическим ИЛИ.

Для ее обозначения используются знаки: ИЛИ, +, U.

Рис. 2. Диаграмма Венна для операции объединения

На диаграмме Венна операция объединения представляет собой всю область, относящуюся и к первому и ко второму операнду.

Инверсия

Инверсия – унарная логическая операция, заключающаяся в изменении на противоположное значение.

Например, высказывание «На каникулах я поеду в Волгоград» в инверсной форме будет выглядеть так «На каникулах я не поеду в Волгоград».

Инверсию обозначают знаками НЕ, ¬, ¯.

Инверсия на диаграмме Венна выглядит как область, не относящаяся к операнду.

Рис. 3. Диаграмма Венна для операции инвертирования

Аксиомы алгебры логики

В математике есть понятие аксиома – постулат, не требующий доказательств.

В математической логике также есть бездоказательные утверждения, касающиеся логических операций над высказываниями.

Для объединения справедливы аксиомы:

Для пересечения характерны такие аксиомы:

Для операции инверсии применима аксиома двойного отрицания НЕ (НЕ (А)), когда дважды проинвертировав операнд получают в итоге само исходное значение.

Что мы узнали?

Алгебра логики стоит на стыке математики и информатики и составляет теоретическую базу, на основе которой строятся методы работы с информацией. Объектом изучения этого направления является высказывания. Основными логическими операциями являются пересечение, объединение и инверсия. В алгебре логики действуют ряд аксиом.

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».