Уравнения асимптот и расстояние между директрисами равно

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?

Математика | 10 — 11 классы

Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8.

b / a = 3 / 4⇒b = 3a / 4

расстояние между директрисами :

8⇒a² / √(a² + 9a² / 16) = 6.

4⇒a² / √((16a² + 9a²) / 16) = 6.

x² / 64 — y² / 36 = 1.

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат?

№1. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х² — 3у² = 12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

№2. Гипербола проходит через точку М(6 ; 3√5 / 2), симметрична относительно осей координат и имеет вещественную полуось а = 4.

Написать уравнения перпендикуляров , опущенных из левого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

С подробным решением и объяснением , пожалуйста!

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы?

Составить канонические уравнения : а) эллипса ; б)гиперболы ; в) параболы.

Где А, В — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (действительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, Е — эксцентриситет, у = + — kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, 2с — фокусное расстояние.

A) 2a = 22, Е = √57 / 11 ; b) k = 2 / 3 ; 2c = 10 √13 ; c) ось симметрии Ox и А(27 ; 9).

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0?

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и найти фокус, если : 1)директриса задана уравнением x ^ 2 — 4y = 0 2)директриса задана уравнением x + 3 = 0.

Здравствуйте?

Сделал гиперболы, эллипсы, но вот с параболой проблем просто.

___________________ Парабола лежит в полуплоскости , имеет вершину A( — 3 ; 2) и пересекает ось OX в точке C(1 ; 0).

Условие : Найти : параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояние от точки C до фокуса и директрисы.

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4)?

Найти уравнение директрисы и фокус параболы (y — 2) ^ 2 = 4(x + 4).

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x?

Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F( + — 5 ; 0), y = + — 4 / 3x.

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты?

Построить гиперболу x ^ 2 — 4y ^ 2 = 16 и её асимптоты.

Найти фокусы, эксцентриситет и угол между асимптотами.

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )Составить каноническое уравнениеА) эллипсаБ) гиперболыВ) параболы(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)по?

Помогите пожалуйста задание решить))))))) Заранее спасибо = )

Составить каноническое уравнение

(А, В – точки лежащие на кривой, f — фокус, а — большая (действительная)

полуось, в — малая (мнимая) полуось, е — экцентриситет, у = — + кх — уравнение асимптот

директриса кривой, 2с — фокусное расстояние).

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот?

Дана гипербола — 16 = 144 Найти уравнение ее асимптот.

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1?

X ^ 2 / 25 — y ^ 2 / 144 = 1 1.

Найти полуоси 2.

Определить координаты фокусов 3.

Вычислить эксцентриситет 4.

Написать уравнение асимптот 5.

Написать уравнение директрис помогитеееее, пожалуйста помогите пожалуйста.

На этой странице находится вопрос Найти простейшее уравнение гиперболы, если уравнения асимптот y = ±3 / ( 4) x и расстояние между директрисами 12, 8?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Гипербола и её свойства

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac>>-\frac>>=1.\label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac>>-\fracx^<2>>>=1.
$$
Поэтому, если \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\), то
$$
x=\pm \frac<\sqrt-a^<2>k^<2>>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).

К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.