Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений
Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида
,
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.
В случае, если m = 0 , уравнение является линейным, а в случае, если m = 1 , уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.
- Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
- Методом Бернулли.
Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.
Уравнение делим на :
,
.
Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение
,
которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.
Решение методом Бернулли.
Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение
.
Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:
.
Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
,
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v .
Функцию u следует находить из дифференциального уравнения
,
которое также является уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.
1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³ :
.
Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению
.
Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v , z‘ = u‘v + uv‘ :
,
.
Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
Полученную функцию v подставим в уравнение:
2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v . Подставив его и y‘ = u‘v + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :
И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение, в котором m = −1 . Применив подстановку y = u ⋅ v , получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v :
Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u :
Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v . Получаем
Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:
и проинтегрируем обе части уравнения:
Далее используем подстановку
:
.
Таким образом, получаем функцию u :
.
и решение данного дифференциального уравнения:
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
при условии .
Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:
.
Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v , y‘ = u‘v + uv‘ :
Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:
Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
.
Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u :
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
.
Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
.
И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³ , получим
.
Введём новую функцию . Тогда
.
Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
.
Найдём его общий интеграл:
,
.
Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем
.
Приравниваем нулю выражение в скобках:
Для определения функции u получаем уравнение
.
Интегрируем по частям:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения
.
Дифференциальное уравнение Бернулли
Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.
Приведение к линейному уравнению 1 порядка
Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n . Если n = 1 , тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y ⇔ y ‘ = Q ( x ) — P ( x ) · y .
Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z = y 1 — n . Проделав замену, получаем, что y = z 1 1 — n ⇒ y ‘ = 1 1 — n · z n 1 — n · z ‘ .
Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:
y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n 1 1 — n · z 1 1 — n · z ‘ + P ( x ) · z 1 1 — n = Q ( x ) · z 1 1 — n z ‘ + ( 1 — n ) · P ( x ) · z = ( 1 — n ) · Q ( x )
Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.
Найти общее решение для уравнения вида y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 .
Решение
По условию имеем, что n = 2 , P ( x ) = x , Q ( x ) = ( 1 + x ) · e — x . Необходимо ввести новую переменную z = y 1 — n = y 1 — 2 = 1 y , отсюда получим, что y = 1 z ⇒ y ‘ = — z ‘ z 2 . Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как
y ‘ + x y = ( 1 + x ) · e — x · y 2 — z ‘ z 2 + x z = ( 1 + x ) · e — x · 1 z 2 z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x
Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.
Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:
d z d x — x z = 0 ⇔ d z z = x d x , z ≠ 0 ∫ d z z = ∫ x d x ln z + C 1 = x 2 2 + C 2 e ln z + C 1 = e x 2 2 + C 2 z = C · e x 2 2 , C = e C 2 — C 1
Где z = 0 , тогда решение дифференциального уравнения считается z ‘ — x z = 0 , потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z . Данный случай записывается как z = C ( x ) · e x 2 2 , где С = 0 . Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z ‘ — x z = 0 считается выражение z = C · e x 2 2 при С являющейся произвольной постоянной.
Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z = C ( x ) · e x 2 2 как общее решение дифференциального уравнения вида z ‘ — x z = — ( 1 + x ) · e — x .
Отсюда следует, что производится подстановка вида
C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · e x 2 2 ‘ — x · C ( x ) · e x 2 2 = — 1 + x · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 + C ( x ) · x · e x 2 2 — x · C ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x C ‘ ( x ) · e x 2 2 = — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x C ( x ) = ∫ — ( 1 + x ) · e — x 2 2 — x d x = ∫ e — x 2 2 — x d — x 2 2 — x = e — x 2 x — x + C 3
С 3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:
z = C x · e x 2 2 = e — x 2 2 — x + C 3 · e x 2 2 = e — x + C 3 · e x 2 2
Дальше производится обратная замена. Следует, что z = 1 y считается за y = 1 z = 1 e — x + C 3 · e x 2 2 .
Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.
Представление произведением функций u ( x ) и v ( x )
Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u ( x ) и v ( x ) .
Тогда получаем, что y ‘ = ( u · v ) ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ . Производим подстановку в уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x ) · y n и упростим выражение:
u ‘ · v + u · v ‘ + P ( x ) · u · v = Q ( x ) · u · v n u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · u · v n
Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v ‘ + P ( x ) · v = 0 , тогда придем к равенству такого вида
u ‘ · v + u · ( v ‘ + P ( x ) · v ) = Q ( x ) · ( u · v ) n ⇔ u ‘ · v = Q ( x ) · ( u · v ) n .
Отсюда следует определить функцию u .
Решить задачу Коши 1 + x 2 · y ‘ + y = y 2 · a r c t g x , y ( 0 ) = 1 .
Решение
Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1 + x 2 · y ‘ = y · a r c t g x , которое удовлетворяет условию y ( 0 ) = 1 .
Обе части неравенства необходимо поделить на x 2 + 1 , после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
Перейдем к поиску общего решения.
Принимаем y = u · v , отсюда получаем, что y ‘ = u · v ‘ = u ‘ · v + u · v ‘ и уравнение запишем в виде
y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + u · v x 2 + 1 = u · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1
Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v ‘ + v x 2 + 1 = 0 , отличных от нуля. Получим, что
d v v = — d x x 2 + 1 , v ≠ 0 ∫ d v v = — ∫ d x x 2 + 1 ln v + C 1 = — a r c t g x + C 2 v = C · e — a r c t g x , C = e C 2 — C 1
В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v = e — a r c r g x . Преобразуем и получим, что
u ‘ · v + u · v ‘ + v x 2 + 1 = u 2 · v 2 · a r c r g x x 2 + 1 u ‘ · v + u · 0 = u 2 · v 2 · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · v · a r c t g x x 2 + 1 u ‘ = u 2 · e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 ⇔ d u u 2 = e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x , u ≠ 0 ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x x 2 + 1 d x ∫ d u u 2 = ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x )
Имеем, что u = 0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.
Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫ d u u 2 , необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что
∫ d u u 2 = — 1 u + C 3 .
Чтобы найти интеграл вида ∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) , принимаем значение a r c t g x = z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что
∫ e — a r c t g x · a r c t g x d ( a r c t g x ) = a r c t g x = z = = ∫ e — z · z d z = u 1 = z , d v 1 = e — z d z d u 1 = d z , v 1 = — e — z = = — z · e — z + ∫ e — z d z = — z · e — z — e — z + C 4 = = — e — z · ( z + 1 ) + C 4 = — e — a r c t g x · ( a r c t g x + 1 ) + C 4
— 1 u + C 3 = — e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C 4 1 u = e — a r c r g x · a r c t g x + 1 + C 3 — C 4 u = 1 e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C
Отсюда находим, что
y = u · v = e — a r c t g x e — a r c r g x · ( a r c t g x + 1 ) + C и y = 0 · v = 0 · e — a r c r g x = 0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y ‘ + y x 2 + 1 = y 2 · a r c t g x x 2 + 1 .
На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что
y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + C , тогда запись примет вид y 0 = e — a r c t g 0 e — a r c t g 0 · a r c t g 0 + 1 + C = 1 1 + C .
Очевидно, что 1 1 + C = 1 ⇔ C = 0 . Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y = e — a r c t g x e — a r c t g x · a r c t g x + 1 + 0 = 1 a r c t g x + 1 .
Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.
Метод введения двух функций (Бернулли)
Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(1)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.
Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем
Окончательно находим:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли
Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v — функции от x . Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:
Выносим u за скобки:
(3)
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4) .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv :
Интегрируем:
Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:
Или
Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1 ).
Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:
Отсюда
Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.
Общее решение уравнения:
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 24-07-2012 Изменено: 27-02-2015
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/differentsialnoe-uravnenie-bernulli/
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/pervogo-poryadka/linejnye/metod-bernulli/