Уравнения биссектрис углов образованных прямыми

Уравнения биссектрис углов образованных прямыми

Найти уравнение биссектрис углов между прямыми 12x + 9y — 17 = 0 и 3x + 4y + 11 = 0.

Из элементарной геометрии известно, что биссектриса угла между двумя прямыми есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Обратимся к рисунку

Отклонения и точки A биссектрисы от сторон угла CDE имеют знак плюс, так как точка A и начало координат лежат по разные стороны как от первой, так и от второй прямой, т. е. . Возьмем точку B на биссектрисе смежного угла CDF. Точка B и начало координат лежат по разные стороны от прямой EF, поэтому отклонение имеет знак плюс ( > 0). Отклонение точки B от прямой CL имеет знак минус, так как точка B и начало координат лежат с одной и той же стороны от прямой CL, т. е. C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Уравнение биссектрисы угла

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

Составить уравнение биссектрис углов образованных двумя прямыми

Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми

Решение

Найдем точку пересечения двух прямых

Направляющий вектор первой прямой есть , второй , так как их скалярное произведение положительно , поэтому найдем уравнение биссектрисы между векторами , проходящую через точку

Направляющий вектор биссектрисы угла равен сумме нормированных направляющих векторов сторон

Так как точка лежит на этой биссектрисе, то

Задание 8

Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9987 – | 7776 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.

Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0.

Расстояние от точки (x_o;y_o) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле

По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a₁x+b₁y+c₁=0 и a₂x+b₂y+c₂=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть

Это равенство можно записать в виде

Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.

Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.

В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

Даны прямые: 11x-2y+5=0 и 4x+8y-7=0

Уравнения биссектрис углов между прямыми Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0:

Знак + или – выбирается в зависимости от того, нужно уравнение биссектрисы острого или тупого углов.

Подставив коэффициенты заданных прямых в приведенную формулу, получим уравнения биссектрис:

В приближённом варианте у ≈ 1,3541х + 1,3772.