Теория: Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата
Выделите полный квадрат и найдите все корни квадратного уравнения:
- Равносильное уравнение после выделения полного квадрата:
1. Выделим полный квадрат, воспользовавшись формулой.
Квадрат разности
Для любых \(\displaystyle a,\, b\) верно
Перепишем выражение \(\displaystyle x^2-16x\) так, чтобы удвоенное произведение было записано явно:
Сравним формулу и наше выражение:
Получаем, что \(\displaystyle b=8<\small , >\) и надо добавить к нижнему выражению \(\displaystyle \color
Поэтому дополним равенство
с обеих сторон числом \(\displaystyle \color
и распишем квадрат разности слева явно:
2. Решим полученное уравнение, воспользовавшись правилом для решения уравнения вида \(\displaystyle \color
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0<\small :>\)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0<\small :>\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a 0 <\small , >\) получаем:
\(\displaystyle x-8= \sqrt < 4>\) или \(\displaystyle x-8= -\sqrt < 4> <\small ; >\)
\(\displaystyle x-8=2\) или \(\displaystyle x-8=-2 <\small . >\)
\(\displaystyle x=10\) или \(\displaystyle x=6 <\small . >\)
Уравнения через выделение полного квадрата
Описание метода выделения полного квадрата
§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Описание метода выделения полного квадрата
Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому
x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .
Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .
Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:
( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .
— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .
Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:
— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .
Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .
Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `
Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.
x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .
Данную дробь привели к виду `<(x+5)(x-3)>/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `<8x^2+10x-3>/<2x^2-x-6>`.
Квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений |
Выделение полного квадрата |
Дискриминант |
Разложение квадратного трехчлена на множители |
Формула для корней квадратного уравнения |
Прямая и обратная теоремы Виета |
Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен
ax 2 + bx + c , | (1) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем
Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
ax 2 + bx + c = 0, | (2) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем
Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.
Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:
Решение неполных квадратных уравнений
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
Пример 2 . Решить уравнение
2x 2 + 3x= 0 . | (3) |
Решение . Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде
x (2x+ 3) = 0 . | (4) |
Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:
Ответ : .
Пример 3 . Решить уравнение
Ответ : .
Пример 4 . Решить уравнение
3x 2 + 11 = 0 . | (5) |
Решение . Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.
Ответ : .
Выделение полного квадрата
Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:
Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:
Формула (6) получена.
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:
D = b 2 – 4ac. | (7) |
Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.
Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Утверждение . В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D , квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.
Доказательство . В случае, когда D = 0 , формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:
(9) |
В случае, когда D > 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид
В случае, когда D , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.
Замечание . В случае, когда D , квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.
Формула для корней квадратного уравнения
Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .
Действительно, в случае, когда D = 0 , из формулы (9) получаем:
Следовательно, в случае, когда D = 0 , уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле
(11) |
В случае, когда D > 0 , из формулы (10) получаем:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , уравнение (1) имеет два различных корня , которые вычисляются по формулам
(12) | |
(13) |
Замечание 1 . Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:
(14) |
Замечание 2 . В случае, когда D = 0 , обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0 , квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня , вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:
(15) |
Замечание 3 . В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.
В случае, когда D = 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):
ax 2 + bx + c = = a (x – x1) 2 . | (16) |
В случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:
ax 2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) . | (17) |
Замечание 4 . В случае, когда D = 0 , корни x1 и x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).
Прямая и обратная теоремы Виета
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство
Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена
равны соответствующим коэффициентам многочлена
Таким образом, справедливы равенства
следствием которых являются формулы
(18) |
Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .
Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».
Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».
Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».
Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
http://zftsh.online/articles/5741
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/kv.htm