Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид A x 4 + B = 0 .
Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A — 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 — 2 B A x 2 = 0 x 2 — 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Решить уравнение четвертой степени 4 x 4 + 1 = 0 .
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4 x 4 + 1 на множители:
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = ( 2 x 2 + 1 ) 2 — 4 x 2 = 2 x 2 — 2 x + 1 ( 2 x 2 + 2 x + 1 )
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
2 x 2 — 2 x + 1 = 0 D = ( — 2 ) 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 1 = 2 + D 2 · 2 = 1 2 + i x 2 = 2 — D 2 · 2 = 1 2 — i
2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 1 = — 4 x 3 = — 2 + D 2 · 2 = — 1 2 + i x 4 = — 2 — D 2 · 2 = — 1 2 — i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x = 1 2 ± i и x = — 1 2 ± i .
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0
х = 0 не является корнем этого уравнения: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 . Поэтому на x 2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0
Проведем замену переменных x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2 :
A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A ( y 2 — 2 ) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C — 2 A = 0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0 .
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x 2 :
2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0
2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0
Проведем замену переменной x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 — 2
2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 — 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0
Решим полученное квадратное уравнение:
D = 2 3 + 2 2 — 4 · 2 · 6 = 12 + 4 6 + 2 — 8 6 = = 12 — 4 6 + 2 = 2 3 — 2 2 y 1 = — 2 3 — 2 + D 2 · 2 = — 2 3 — 2 + 2 3 — 2 4 = — 2 2 y 2 = — 2 3 — 2 — D 2 · 2 = — 2 3 — 2 — 2 3 + 2 4 = — 3
Вернемся к замене: x + 1 x = — 2 2 , x + 1 x = — 3 .
Решим первое уравнение:
x + 1 x = — 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 — 4 · 2 · 2 = — 14 x 1 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 + i · 14 4 x 2 = — 2 — D 2 · 2 = — 2 4 — i · 14 4
Решим второе уравнение:
x + 1 x = — 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 1 x 3 = — 3 + D 2 = — 3 2 + i · 1 2 x 4 = — 3 — D 2 = — 3 2 — i · 1 2
Ответ: x = — 2 4 ± i · 14 4 и x = — 3 2 ± i · 1 2 .
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид A x 4 + B x 2 + C = 0 . Мы можем свести такое уравнение к квадратному A y 2 + B y + C = 0 путем замены y = x 2 . Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2 x 4 + 5 x 2 — 3 = 0 .
Решение
Выполним замену переменной y = x 2 , что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2 y 2 + 5 y — 3 = 0 D = 5 2 — 4 · 2 · ( — 3 ) = 49 y 1 = — 5 + D 2 · 2 = — 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = — 5 — D 2 · 2 = — 5 — 7 4 = — 3
Следовательно, x 2 = 1 2 или x 2 = — 3 .
Первое равенство позволяет нам получить корень x = ± 1 2 . Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x = ± i · 3 .
Ответ: x = ± 1 2 и x = ± i · 3 .
Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 .
Решение
Используем метод замены y = x 2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 — 4 · 16 · 9 = 20449 y 1 = — 145 + D 2 · 16 = — 145 + 143 32 = — 1 16 y 2 = — 145 — D 2 · 16 = — 145 — 143 32 = — 9
Поэтому, в силу замены переменной, x 2 = — 1 16 или x 2 = — 9 .
Ответ: x 1 , 2 = ± 1 4 · i , x 3 , 4 = ± 3 · i .
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y 0 . Это любой из корней кубического уравнения y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 . После этого необходимо решить два квадратных уравнения x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 , у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 — x — 6 = 0 .
Решение
Имеем А = 3 , В = 3 , С = — 1 , D = — 6 . Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y 3 — B y 2 + A C — 4 D y — A 2 D + 4 B D — C 2 = 0 y 3 — 3 y 2 + 21 y — 19 = 0
Одним из корней кубического уравнения будет y 0 = 1 , так как 1 3 — 3 · 1 2 + 21 · 1 — 19 = 0 .
Запишем два квадратных уравнения:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 — B + y 0 x 2 + A 2 y 0 — C x + y 0 2 4 — D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0
x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 или x 2 + 3 2 x + 1 2 — 1 2 x — 5 2 = 0
x 2 + 2 x + 3 = 0 или x 2 + x — 2 = 0
Корнями первого уравнения будут x = — 1 ± i · 2 , корнями второго х = 1 и х = — 2 .
Ответ: x 1 , 2 = — 1 ± i 2 , x 3 = 1 , x 4 = — 2 .
Дискриминант
Вычисление дискриминанта квадратного многочлена и многочленов более высоких степеней.
В алгебре дискриминантом многочлена называется функция от многочлена, описывающая некоторые свойства корней, без их вычисления. 1
Из школьного курса хорошо известна формула дискриминанта квадратного многочлена . Дискриминант равен . Формула используется для вычисления корней квадратного уравнения.
Однако зная дискриминант можно предсказать некоторые свойства корней, не вычисляя их. В случае квадратичного полинома дискриминант равен нулю тольк в том случае, если имеется один двойной корень. Если дискриминант положителен — то имеются два различных вещественных корня, а если отрицательный — то два комплексно сопряженных.
Следующий калькулятор вычисляет дискриминант квадратичного полинома, а ниже него можно почитать немного теории.
Дискриминант квадратного многочлена
Дискриминант
Дискриминант многочлена степени n: может быть определен через результант или через корни.
Через корни полинома, дискриминант выражается следующим образом:
Через результант дискриминант можно выразить так:
где Res — результант многочлена A и его первой производной A’. Если коротко, то результант это определитель Матрицы Сильвестра составленной из A и A’.
В случае квадратного многочлена A производная A’ будет равна . Еси записать матрицу Сильвестра для этих двух многочленов и посчитать детерминант, то мы придем к уже известному: .
Дискриминант полиномов более высоких степеней
Используя второе определение, можно вывести формулы для дискриминанта полиномов более высоких степеней (если перейти по ссылке ниже можно получить формулы для полиномов степеней 3 и 4 и других).
Последовательность OEIS A007878 содержит 5 членов суммы для вычисления дискриминанта полинома 3-й степени, 16 членов для 4-й, 59 членов для 5-й, и наконец 3815311 членов для полиномов 12-й степени.
Следующий калькулятор вычисляет дискриминант многочлена любой степени:
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-chetvertoj-stepeni/
http://planetcalc.ru/8188/