Уравнения динамики в неинерциальной системе отсчета

Неинерциальные системы отсчета

Вы будете перенаправлены на Автор24

Законы динамики в неинерциальных системах отсчета

Как известно, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, которые движутся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже применять нельзя. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, которые обусловлены воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение понятие силы особого рода — так называемую силу инерции.

При учете сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (учитывая и силы инерции). При этом силы инерции $F_ $ должны быть такими, чтобы вместе с силами $F$, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение $a’$, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е. :

Так как $F=ma$ ($a$ — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то:

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому, в общем случае, следует учитывать следующие случаи возникновения этих сил:

• силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;
• силы инерции, которые действуют на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;
• силы инерции, которые действуют на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета

На тележке к штативу на нити подвешен шарик массой $m$ (рис. 1).

Пока тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, нить, которая удерживает шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести $P$ уравновешивается силой реакции (натяжения) нити $T$. Если тележку привести в поступательное движение с ускорением $a_ <0>$, то нить будет отклоняться от вертикали в сторону, обратную движению, до такого угла $\alpha $, пока результирующая сила $F=P+T$не даст ускорение шарика, равное $a_ <0>$. Значит, результирующая сила $F$ направлена в сторону ускорения тележки $a_ <0>$ и для установившегося движения шарика (теперь шарик движется вместе с тележкой с ускорением $a_ <0>$) равна $F=mgtg\alpha =ma_ <0>$, откуда $tg\alpha =\frac > $, т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки. В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила $F$ уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой $F_ $, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют.

Готовые работы на аналогичную тему

Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $ ($\omega =const$) вокруг перпендикулярной ему оси, которая проходит через его центр. На диске установлены маятники, на разных расстояниях от оси вращения и на нитях висят шарики массой $m$. Когда диск начнет вращаться, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.2).

В инерциальной системе отсчета, которая связана, например, с помещением, где установлен диск, происходит равномерное вращение шарика по окружности радиусом $R$ (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Значит, на него действует сила, равная $F=m\omega ^ <2>R$ и которая направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести $\; $ и силы реакции (натяжения) нити $T$: $F=P+T$. Когда движение шарика установится, то $F=mgtg\alpha =m\omega ^ <2>R$ откуда:

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше угловая скорость вращения и чем больше расстояние $R$ от центра шарика до оси вращения диска. Относительно системы отсчета, которая связана с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила $F$ уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой $F_ $, являющаяся ничем иным, как силой инерции, так как никакие другие силы на шарик не действуют. Сила $F_ $, называемая \textbf<центробежной силой инерции>, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:

Из формулы (3) следует, что центробежная сила инерции, которая действует на тела во вращающихся системах отсчета и которая направлена в сторону радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения $\omega $ системы отсчета и радиуса $R$, но при этом не зависит от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Значит, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, которые удалены от оси вращения на конечное расстояние, при этом не имеет значения, покоятся ли они в этой системе отсчета (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с некоторой скоростью.

Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета

Пусть шарик массой $m$ движется с постоянной скоростью $v’$ вдоль радиуса равномерно вращающегося диска ($v’=const$,$\omega =const$,$v’$ перпендикулярно $\omega $). Если диск не начал вращаться, то шарик, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, которое указанно стрелкой, то шарик покатится по кривой OВ (рис. 3а), причем его скорость $v’$ относительно диска сменит свое направление. Это возможно лишь в случае, если на шарик действует сила, которая перпендикулярна скорости $v’$.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, будем использовать жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно равномерно со скоростью $v’$ (рис. 3б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой $F$. Во вращающейся системы отсчета, т.е. относительно диска, шарик движется прямолинейно и раномерно, что объясняется тем, что сила $F$ уравновешивается приложенной к шарику силой инерции $F_ $, которая перпендикулярной скорости $v’$. Эта сила называется \textbf<кориолисовой силой инерции>. Можно показать, что сила Кориолиса:

Вектор $F_ $ перпендикулярен векторам скорости $v’$ тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Тело находится в покое на вершине наклонной плоскости. За какое время тело соскользнет с плоскости, если плоскость в момент времени $е=0$ начнет двигаться влево в горизонтальном направлении с ускорением $1 \ м/с^2$? Длина плоскости $1$ м, угол наклона плоскости к горизонту $30^\circ$, коэффициент трения между телом и плоскостью $0,6$.

Найти: время движения тела по наклонной плоскости.

Решение: Систему отсчета удобно связать с наклонной плоскостью. Но плоскость движется с ускорением по отношению к Земле. Для рассматриваемого движения Земля является инерциальной системой отсчета. Следовательно, система отсчета, связанная с наклонной плоскостью, неинерциальна, и в уравнении движения тела необходимо ввести поступательную силу инерции. Таким образом, на движущееся тело в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $N$, сила трения $F_ $ и поступательная сила инерции $\overline_ =-m\overline$.

Уравнение движения тела запишется следующим образом:

$m\overline >=m\overline+\overline+\overline_ +\overline_ $ ,

где инерции $\overline >$ — ускорение тела.

Спроецируем это уравнение на ось $X$, направленную вдоль наклонной плоскости, и перпендикулярную к ней ось $Y$.

\[ma_ <1>=mg\sin \alpha -F_ +ma\cos \alpha \] \[0=-mg\cos \alpha +N+ma\sin \alpha \]

Учитывая, что $F_ =\mu N$, из этой системы уравнений получим:

\[a_ <1>=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )+a(\cos \alpha +\mu \sin \alpha ).\]

Так как ускорение $a_ <1>$ не зависит от времени, то время движения тела по наклонной плоскости будет равно:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 07 2021

Уравнения динамики в неинерциальной системе отсчета

1.5. Неинерциальные системы отсчета

Как уже отмечалось, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В принципе использование неинерциальных систем отсчета ничем не запрещено. Надо только соответствующим образом подправить законы динамики.

1.5.1. Уравнение Ньютона для неинерциальных систем

Законы инерции выполняются в инерциальной системе отсчета. В неинерциальной системе также можно воспользоваться законами Ньютона, если ввести силы инерции. Они фиктивны. Их вводят специально, чтобы воспользоваться уравнениями Ньютона в неинерциальной системе.

Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. На силы инерции законы Ньютона не распространяются.

Найдем количественное выражение для силы инерции при поступательном движении неинерциальной системы отсчета.

Введем обозначения:
a’ — ускорение тела массы m относительно неинерциальной системы;
a» — ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной (относительно Земли).

Тогда ускорение тела относительно инерциальной системы

Ускорение в инерциальной системе можно выразить через второй закон Ньютона:

F/m = a» + a’, отсюда a’ = F/m + F_ин/m,

где F_ин =-ma» — сила инерции, направленная в сторону, противоположную ускорению неинерциальной системы. Тогда получим

— уравнение Ньютона для неинерциальной системы отсчета.

Здесь сила инерции F_ин — фиктивная сила, обусловленная свойствами системы отсчета, необходимая нам для того, чтобы иметь возможность описывать движения тел в неинерциальных системах отсчета с помощью уравнений Ньютона.

Неинерциальные системы отсчета. Абсолютное, относительное и переносное движения. Кориолисово и осестремительное ускорения. Силы инерции. Уравнение динамики в НИСО

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ТЕМА 13 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

1 Абсолютное, относительное и переносное движения.

2 Кориолисово и осестремительное ускорения.

4 Уравнение динамики в НИСО.

Вопросы для самоподготовки

1 Что понимают под абсолютным, относительным и переносным движением?

2 Какие системы отсчета называются неинерциальными? В чем их принципиальное отличие от инерциальных систем отсчета?

3 Какой системой отсчета является система отсчета связанная с Землей?

4 Что такое силы инерции? Каковы их особенности?

5 Назовите силы инерции. Какие из них являются консервативными, диссипативными?

6 Выполняется ли закон сохранения импульса в неинерциальных системах отсчета?

7 Чему равен момент центробежной силы относительно оси, вокруг которой вращается система отсчета?

8 На диске, вращающемся с постоянной угловой скоростью покоится тело массы m. Расстояние тела от оси вращения R. Какие силы действуют на тело в неподвижной системе отсчета? В какой системе отсчета к предыдущим силам добавиться только центробежная сила инерции? В какой системе отсчета появится еще и сила Кориолиса?

Основные понятия по теме

В неинерциальных системах отсчета законы Ньютона, а следовательно и все законы классической механики, справедливы в предположении, что кроме сил взаимодействия с другими телами действуют силы инерции, не обусловленные взаимодействием. Силы инерции зависят, прежде всего, от характера движения неинерциальной системы отсчета. Это значит, что для нахождения сил инерции необходимо знать, как движется неинерциальная система относительно инерциальной системы, то есть знать характер движения, его кинематические параметры.

В системе отсчета, движущейся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно и прямолинейно с ускорением , на тело действует сила инерции

(13.1)

В системе отсчета, вращающегося с постоянной угловой скоростью относительно какой-либо инерциальной системы, действуют центробежная сила инерции

(13.2)

и сила Кориолиса

(13.3)

где радиус-вектор, проведенный от оси вращения к центру масс тела, скорость тела относительно вращающейся неинерциальной системы.

Уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси,

(13.4)

В общем случае уравнение аналогичное (13.4) имеет вид

(13.5)

Здесь равнодействующая внешних сил, приложенных к телу.

Примеры решения задач

1 На грань клина, образующего угол α = 60° с горизонтом, положили небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином С каким минимальным (максимальным) ускорением нужно двигать клин в горизонтальном направлении, чтобы тело не скользило относительно клина?

Решение. Задачу удобно решать в системе отсчета связанной с клином. Такая система отсчета будет неинерциальной и в ней, наряду с традиционными силами тяжести , реакции клина и трения (рисунок 13.1), будет присутствовать сила инерции , направленная в сторону, противоположную

движению клина. Из условия неподвижности тела относительно клина:

(1)

ясно, что направление должно быть таким, чтобы ее составляющая была направлена вверх вдоль грани клина. Только в этом случае она позволит скомпенсировать результирующую силы трения и составляющей силы тяжести .

В проекциях на оси OX и OY для двух возможных случаев направления силы трения, условие (1) приводит к системе уравнений:

направлена вверх (на рисунке ___ показан именно этот случай):

(2)

направлена вниз:

(3)

Учитывая, что , где m – масса тела, и решая системы уравнений (2) и (3), находим, что в первом случае ускорение клина по модулю равно

Во втором случае

Причина, по которой оказалось, что , будет ясна читателю, если он изобразит аналог рисунка 13.1 для второго случая.

2 На сколько будут отличаться конечные скорости разбега самолета, если самолет взлетает на экваторе, причем один раз его разбег производится с запада на восток, а второй с востока на запад. Подъемная сила, действующая на крылья самолета, пропорциональна квадрату его скорости относительно Земли

Необходимая конечная скорость разбега самолета вдоль меридиана равна .

Решение. В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на самолет действуют силы: сила тяжести, подъемная сила, центробежная сила, сила Кориолиса. Схематически направление сил в трех рассматриваемых в условии задачи случаях показано на рисунках 13.2 а), б), в):