Уравнения дисперсий для нормального распределения

Нормальный закон распределения и его параметры с примерами решения и образцами выполнения

Нормальный закон распределения и его параметры:

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это — наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т. д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых — элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах ее закон распределения.

Теоремы, устанавливающие нормальный закон как предельный для суммы независимых равномерно малых случайных слагаемых, будут подробнее рассмотрены в главе 13.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

(6.1.1)

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (рис. 6.1.1). Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке х = m по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Выясним смысл численных параметров т и о, входящих в выражение нормального закона (5.1.1); докажем, что величина m есть не что иное, как математическое ожидание, а величина — среднее квадратическое отклонение величины X. Для этого вычислим основные числовые характеристики величины X — математическое ожидание и дисперсию.

Применяя замену переменной

(6.1.2)

Нетрудно убедиться, что первый из двух интервалов в формуле (5.1.2) равен нулю; второй представляет собой известный интеграл Эйлера — Пуассона:

(6.1.3)

т. е. параметр m представляет собой математическое ожидание вели- величины X. Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, часто называют центром рассеивания (сокращенно — ц. р.). Вычислим дисперсию величины X:

Применив снова замену переменной

Интегрируя по частям, получим:

Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так как При убывает быстрее, чем возрастает любая степень f), второе слагаемое по формуле 5.1.3) равно откуда

Следовательно, параметр о в формуле 5.1.1) есть не что иное, как среднее квадратическое отклонение величины X.

Выясним смысл параметров m и нормального распределения. Непосредственно из формулы 5.1.1) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания m. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х — m) на обратный выражение 5.1.1) не меняется. Если изменять центр рассеивания т. кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рис. 6.1.2). Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Размерность центра рассеивания—та же, что размерность случайной величины X.

Параметр о характеризует не положение, а самую форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна ; при увеличении максимальная ордината уменьшается. Так как площадь

кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении о кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис. 6.1.3 показаны три нормальные кривые (/, //, ///) при m=0; из них кривая l соответствует

самому большому, а кривая /// — самому малому значению . Изменение параметра равносильно изменению масштаба кривой распределения— увеличению масштаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

Размерность параметра , естественно, совпадает с раpмерноcтью случайной величины X.

В некоторых курсах теории вероятностей в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо среднего квадратического отклонения применяется так называемая мера точности. Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению :

Размерность меры точности обратна размерности случайной величины.

Термин «мера точности» заимствован из теории ошибок измерений: чем точнее измерение, тем больше мера точности. Пользуясь мерой точности h, можно записать нормальный закон в виде:

Моменты нормального распределения

Выше мы доказали, что математическое ожидание случайной вели- величины, подчиненной нормальному закону 6.1.1), равно m, а среднее квадратическое отклонение равно .

Выведем общие формулы для центральных моментов любого порядка.

Делая замену переменной

(6.2.1)

Применим к выражению (6.2.1) формулу интегрирования по частям:

Имея в виду, что первый член внутри скобок равен нулю, получим: (6.2.2)

Из формулы (6.2.1) имеем следующее выражение для (6.2.3)

Сравнивая правые части формул (6.2.2) и (6.2.3), видим, что они отличаются между собой только множителем следовательно,

(6.2.4)

Формула (6.2.4) представляет собой простое рекуррентное соотношение, позволяющее выражать моменты высших порядков через моменты низших порядков. Пользуясь этой формулой и имея в виду, что и можно вычислить центральные моменты всех порядков. Так как то из формулы (6.2.4) следует, что все нечетные моменты нормального распределения равны нулю. Это, впрочем, непосредственно следует из симметричности нормального закона.

Для четных s из формулы (6.2.4) вытекают следующие выражения для последовательных моментов:

и т. д. Общая формула для момента s-гo порядка при любом четном s имеет вид:

где под символам (s—1)!! понимается произведение всех нечетных чисел от 1 до s— 1. Так как для нормального закона то асимметрия его также равна нулю:

Из выражения четвертого момента

‘) Нулевой момент любой случайной величины равен единице как математическое ожидание нулевой степени этой величины.

т. е. эксцесс нормального распределения равен нулю. Это и естественно, так как назначение эксцесса — характеризовать сравнительную крутость данного закона по сравнению с нормальным.

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины X, подчиненной нормальному закону с параметрами m, , на участок от а до Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

(6.3.1)

где F (х)— функция распределения величины X.

Найдем функцию распределения F(x) случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами m, . Плот- Плотность распределения величины X равна:

(6.3.2)

Отсюда находим функцию распределения

(6.3.3)

Сделаем в интеграле (6.3.3) замену переменной

(6.3.4)

и приведем его к виду:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:

и т. д. Какой из этих функций пользоваться — вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции

(6.3.5)

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами от m = 0, =1.

Условимся называть функцию Ф*(х) нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции Ф*(х)

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины X с пара- параметрами m и через нормальную функцию распределения Ф*(х). Очевидно,

(6.3.6)

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины X на участок от а до Согласно формуле (6.3.1)

(6.3.7)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины X, распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения Ф* (х), соответствующую простейшему нормальному . закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции Ф* в фор- формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл: есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; — такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания , и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения,, функция Ф*(х) обладает свойствами:

-неубывающая функция

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами m = 0, =1 относительно начала координат следует, что

Для облегчения интерполяции в таблицах рядом со значениями функции приведены ее приращения за один шаг таблиц

Пользуясь этим свойством, собственно говоря, можно было бы ограничить таблицы функции Ф(х) только положительными значениями аргумента, но, чтобы избежать лишней операции (вычитание из единицы), в таблице 1 приложения приводятся значения Ф(х) как для положительных, так и для отрицательных аргументов.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания m. Рассмотрим такой участок длины 2l (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):

Учитывая свойство (6.3.8) функции Ф*(х) и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

Решим следующую задачу. Отложим от центра рассеивания m последовательные отрезки длиной (рис. 6.3.2) и вычислим вероятность попадания случайной величины X в каждый из них. Так как кривая нормального закона симметрична, достаточно отложить такие отрезки только в одну сторону.

По формуле (6.3.7) находим:

Как видно из этих данных, вероятности попадания на каждый из следующих отрезков (пятый, шестой и т. д.) с точностью до 0,001 равны нулю.

Округляя вероятности попадания в отрезки до 0,01 (до 1%). получим три числа, которые легко запомнить: 0,34; 0,14; 0,02.

Сумма этих трех значений равна 0,5. Это значит, что для нормально распределенной случайной величины все рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке m± З.

Это позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен в математической статистике под названием «правило трех сигма«. Из правила трех сигма вытекает также ориентировочный способ определения среднего квадратического отклонения случайной величины: берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на три. Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения .

Пример:

Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1,2 (м)\ среднее квадратическое отклонение ошибки измерения равно 0,8 (м). Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6 (м).

Решение:

Ошибка измерения есть случайная величина X, подчинен- подчиненная нормальному закону с параметрами m= 1,2 и = 0,8. Нужно найти вероятность попадания этой величины на участок от а =—1,6 до = + 1,6. По формуле (6.3.7) имеем:

Пользуясь таблицами функции Ф* (х) (приложение, табл. 1), найдем:

откуда Р (—1,6 Закон нормального распределения случайных величин

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

11. Статистические гипотезы

Надо сказать, капитально я «подзавяз» в интегралах, диффурах и тервере, и после основательной доработки этих разделов безмерно рад напечатать первый абзац 11-й статьи по матстату.

Есть ли жизнь после сессии смерти? Далеко не каждая гипотеза является статистической, и перед тем как перейти к теме, я на всякий случай поставлю ссылку на 1-й урок по математической статистике, если «чайникам» будет что-то не понятно в терминах.

Сначала кратко разберём теорию, затем наиболее распространённые задачи (сразу ссылка для «самоваров»). Зажигаем:

Пусть исследуется некоторый признак статистической совокупности. Успеваемость студентов, продолжительность жизни… каждый подумал о своём, точность измерений, да что угодно – хоть качество помидоров. Всё, что можно «оцифровать» и посчитать.

Как проводится исследование? Обычно так: из генеральной совокупности извлекается репрезентативная выборка (всё понятно?), и на основании изучения этой выборки делается вывод обо всей совокупности. Напоминаю, что это основной метод математической статистики и называется он выборочным методом. В зависимости от исследования, могут проводиться неоднократные выборки, выборки из нескольких ген. совокупностей, да и вообще анализироваться произвольные статистические данные.

И в результате анализа этих данных появляются мысли, которые оформляются в статистические гипотезы.

Статистической называют гипотезу о законе распределения статистической совокупности либо о числовых параметрах известных (!) распределений.

– рост танкистов распределен нормально;
– дисперсии стрельбы двух танковых дивизий равны между собой, при этом известно*, что точность стрельбы распределена нормально.

* из многочисленных ранее проведённых исследований.

В первом случае выдвигается гипотеза о законе распределения, во втором – о числовых характеристиках двух распределений, закон которых известен.

Откуда взялись эти гипотезы? В первом случае была проведена выборка танкистов (например, 100 человек) и в результате её исследования появилось обоснованное предположение, что рост ВСЕХ танкистов распределён нормально. Во втором случае исследовались выборочные данные по точности стрельбы двух дивизий, в результате чего возник интерес проверить – а одинакова ли генеральная результативность, или же какая-то дивизия стреляет точнее?

В обеих гипотезах речь идёт о генеральных совокупностях, и выдвигаются эти гипотезы на основании анализа выборочных данных. Это распространенная схема, но она не единственна, бывают и другие статистические гипотезы.

Выдвигаемую гипотезу называют нулевой и обозначают через . Обычно это наиболее очевидная и правдоподобная гипотеза (хотя это вовсе не обязательно). И в противовес к ней рассматривают альтернативную или конкурирующую гипотезу .

В рассмотренных выше примерах альтернативные гипотезы очевидны (отрицают нулевую), но существуют и другие варианты, так, например, к гипотезе : генеральная средняя нормально распределённой совокупности равна , можно сформулировать разные конкурирующие гипотезы: или конкретно , это зависит от условия и данных той или иной задачи.

Поскольку нулевая гипотеза выдвигается на основе анализа ВЫБОРОЧНЫХ данных, то она может оказаться как правильной, так и неправильной. Более того, мы не сможем на 100% гарантировать её истинность либо ложность даже после статистической проверки! Ибо любая, самая «надёжная» выборка все равно остаётся выборкой и может нас дезинформировать (пусть с очень малой вероятностью).

Проверка осуществляется с помощью статистических критериев – это специальные случайные величины, которые принимают различные действительные значения. В разных задачах критерии разные, и мы рассмотрим их в конкретных примерах.

В результате проверки нулевая гипотеза либо принимается, либо отвергается в пользу альтернативной. При этом есть риск допустить ошибки двух типов:

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой («альфа»).

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность совершить эту ошибку обозначают буквой («бета»). Значение называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной гипотезы.

Уровень значимости задаётся исследователем самостоятельно, наиболее часто выбирают значения . И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении вероятности — отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность — принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях). Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей и , при этом учитывается тяжесть последствий, которые повлекут за собой та и другая ошибки.

Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я как раз приведу нестатистический пример…, опять напрашивается хардкор про диагностику болезни, но мы будем-таки настраиваться на позитив:

Танкист Вася поиграл с котами и зарегистрировался в почтовике. По умолчанию, – он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам фильтр. И вот Вася отправляет письмо. После чего фильтр может совершить ошибку двух типов: 1) ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо за спам и Васю за спаммера) или 2) ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Вася редиска).

Какая ошибка более «тяжелая»? Васино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра целесообразно уменьшить уровень значимости , пожертвовав вероятностью , в результате чего в основной ящик будут чаще попадать письма особо талантливых спаммеров. …Такое и почитать даже можно, ведь сделано с любовью 🙂

Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность следует увеличить (в пользу уменьшения вероятности ). Примеры придумайте самостоятельно, самые прикольные опубликую 🙂 …и садистских побольше, садистских =)

Ну а теперь возвращаемся к статистике.

Процесс проверки статистической гипотезы состоит из следующих этапов:

1) Обработка выборочных данных и выдвижение основной и конкурирующей гипотез. К нулю, кстати, нулевая гипотеза не имеет никакого отношения, это просто историческое название, оно могло оказаться каким угодно.

2) Выбор статистического критерия . Это непрерывная случайная величина, принимающая различные действительные значения. В разных задачах критерии разные.

3) Выбор уровня значимости , о дилемме выбора этого значения я чуть-чуть рассказал выше.

4) Нахождение критического значения – это значение случайной величины , которое зависит от выбранного уровня значимости и опционально от других параметров. Критическое значение определяет критическую область. Она бывает левосторонней, правосторонней и двусторонней (красная штриховка):

Критическая область – это область отвержения нулевой гипотезы. Незаштрихованную область называют областью принятия гипотезы.

Следует отметить, что это только одна из графических моделей. Существуют статистические критерии, которые принимают далеко не все действительные значения.

5) Далее на основании выборочных данных рассчитывается наблюдаемое значение критерия: . И вердикт:

– Если в критическую область НЕ попадает, то гипотеза на уровне значимости принимается. Однако не нужно думать, что нулевая гипотеза доказана и является истиной, ведь существует вероятность – того, что мы совершили ошибку 2-го рода (приняли неверную гипотезу).

– Если попадает в критическую область, то гипотеза на уровне значимости отвергается (при этом, если, например, , то в среднем в 5 случаях из 100 мы отвергнем правильную гипотезу, т.е. совершим ошибку 1-го рода).

…Ну а что делать? – такая вот статистика неточная наука 🙂

И по горячей информации сразу разберём одну из наиболее распространённых гипотез:

Гипотеза о генеральной средней нормального распределения

Постановка задачи такова: предполагается, что генеральная средняя нормального распределения равна некоторому значению . Это нулевая гипотеза:

Для проверки гипотезы на уровне значимости проводится выборка объема и рассчитывается выборочная средняя . Исходя из полученного значения и специфики той или иной задачи, можно сформулировать следующие конкурирующие гипотезы:

1)
2)
3)
4) , где – конкретное альтернативное значение генеральной средней.

При этом возможны две принципиально разные ситуации:

а) если генеральная дисперсия известна.

Тогда в качестве статистического критерия рассматривают случайную величину , где – случайное значение выборочной средней. Почему случайное? Потому что в разных выборках мы будем получать разные значения , и заранее предугадать это значение невозможно.

Далее находим критическую область. Для конкурирующих гипотез и (случай ) строится левосторонняя область, для гипотез и (случай ) – правосторонняя, и для гипотезы – двусторонняя – т. к. конкурирующее значение генеральной средней может оказаться как больше, так и меньше -го.

Чтобы найти критическую область нужно отыскать критическое значение . Оно определяется из соотношения – для односторонней области (лево- или право-) и – для двусторонней области, где – выбранный уровень значимости, а – старая знакомая функция Лапласа.

Теперь на основании выборочных данных рассчитываем наблюдаемое значение критерия:

это можно было сделать и раньше, но такой порядок более последователен и логичен.

Результаты:

1) Для левосторонней критической области. Если , то гипотеза на уровне значимости принимается. Если , то отвергается. И картинки тут недавно были, просто заменю букву:

2) Правосторонняя критическая область. Если , то гипотеза принимается, в случае (красный цвет) – отвергается:

3) Двусторонняя критическая область. Если (незаштрихованный интервал), то гипотеза принимается, в противном случае – отвергается:

условие принятия гипотезы часто записывают компактно – с помощью модуля:

И немедленно приступаем к задачам, а то по студенческим меркам я тут уже на пол диссертации наговорил:)

Из нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией извлечена выборка объёма и по ней найдена выборочная средняя . Требуется на уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу против конкурирующей гипотезы .

Прежде чем приступить к решению, пару слов о смысле такой задачи. Есть генеральная совокупность с известной дисперсией и есть веские основания полагать, что генеральная средняя равна 20 (нулевая гипотеза). В результате выборочной проверки получена выборочная средняя 19,3, и возникает вопрос: это результат случайный или же генеральная средняя и на самом деле меньше двадцати? – в частности, равна 19 (конкурирующая гипотеза).

Решение: по условию, известна генеральная дисперсия , поэтому для проверки гипотезы используем случайную величину .

Найдём критическую область. Для этого нужно найти критическое значение. Так как конкурирующее значение меньше чем , то критическая область будет левосторонней. Критическое значение определим из соотношения:
.
для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора (Пункт 5*) определяем, что этому значению функции соответствует аргумент . Таким образом, при (красная критическая область) нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

В данном случае .

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости нулевую гипотезу принимаем.

Такой, вроде бы неожиданный результат, объясняется тем, что генеральное стандартное отклонение достаточно великО: , а посему нет оснований отвергать «главное» значение (несмотря на то, что выборочная средняя гораздо ближе к конкурирующему значению ). Иными словами, такое значение выборочной средней, вероятнее всего, объясняется естественным разбросом вариант .

Ответ: на уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу принимаем.

Что означает «на уровне значимости 0,01»? Это означает, что мы с 1%-ной вероятностью рисковали отвергнуть нулевую гипотезу, при условии, что она действительно справедлива. Однако не нужно забывать, что на самом деле она может быть и неверной и существует -вероятность того, мы приняли неправильную гипотезу. Примеры расчёта мощности критерия для заданного уровня значимости и различных конкурирующих значений можно найти, например, в учебном пособии задачнике В. Е. Гмурмана (поздние издания). Думал я, думал, и решил-таки этот материал в статью не включать, ибо задачка редкая, а материал не короткий.

То была «обезличенная» задача, коих очень много, но мы будем менять мир к лучшему… физическими и химическими способами:) Заодно и понятнее будет, что здесь к чему:

По результатам измерений температуры в печи найдено . Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с . Проверить на уровне значимости гипотезу против конкурирующей гипотезы .

Сначала разберём, в чём жизненность этой ситуации. Есть печка. Для нормального технологического процесса нужна температура 250 градусов. Для проверки этой нормы 5 раз измерили температуру, получили 256 градусов. Из многократных предыдущих опытов известно, что среднеквадратическая погрешность измерений составляет 6 градусов (она обусловлена погрешностью самого термометра, случайными обстоятельствами проверки и т.д.)

И здесь не понятно, почему выборочный результат (256 градусов) получился больше нормы – то ли температура действительно выше и печь нуждается в регулировке, то ли это просто погрешность измерений, которую можно не принимать во внимание.

Решение: по условию, известно ген. среднее квадратическое отклонение , поэтому для проверки гипотезы используем случайную величину .

Найдём критическую область. Так как в конкурирующей гипотезе речь идёт о бОльших значениях температуры, то эта область будет правосторонней. Критическое значение определим из соотношения . Для уровня значимости :

По таблице значений функции Лапласа или с помощью Калькулятора (Пункт 5*) определяем, что . Таким образом, при (критическая область) нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости нулевую гипотезу отвергаем.

Как бы сказали статистики, выборочный результат статистически значимо отличается от нормативного значения , и печь нуждается в регулировке (для уменьшения температуры).

Ответ: на уровне значимости гипотезу отвергаем.

Ещё раз осмыслим – что означает «на уровне значимости 0,05»? Это означает, что с вероятностью 5% мы отвергли правильную гипотезу (совершили ошибку 1-го рода). И тут остаётся взвесить риск – насколько критично чуть-чуть уменьшить температуру (если мы всё-таки ошиблись и температура на самом деле в норме). Если даже небольшое уменьшение температуры недопустимо, то имеет смысл провести повторное, более качественное исследование: увеличить количество замеров , использовать более совершенный термометр, улучшить условия эксперимента и т.д.

Следующая задача для самостоятельного решения, и на всякий случай я ещё раз продублирую ссылку на таблицу значений функции Лапласа и Калькулятор:

Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства (номинал) должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка выпущенных таблеток показала, что средний вес таблетки равен мг. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, изготавливаемых фармацевтическим заводом, установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением мг. Требуется на уровне значимости проверить гипотезу о том, что средний вес таблеток действительно равен .

Рассмотрите как конкурирующую гипотезу , так и гипотезу . И в самом деле – ведь полученное значение является случайным и в другой выборке оно может запросто оказаться и меньше чем 0,5.

Краткое решение и ответы, как обычно, в конце урока.

Кстати, это тот самый пример, где ошибка 2-го рода (ошибочное принятие неверной нулевой гипотезы), может повлечь гораздо более тяжелые последствия (опасную передозировку). Поэтому в такой ситуации лучше включить паранойю и увеличить уровень значимости до – при этом мы будем чаще отвергать правильную нулевую гипотезу (совершать ошибку 1-го рода), но зато перестрахуемся и проведём более тщательное исследование.

Можно ли одновременно уменьшить вероятности ошибок 1-го и 2-го рода ( и )? Да можно. Если увеличить объём выборки. Что вполне логично.

Теперь вторая ситуация. Та же самая задача, почти всё то же самое, но:

б) генеральная дисперсия НЕ известна.

В этом случае остаётся ориентироваться на исправленную выборочную дисперсию и критерий , где – случайное значение выборочной средней и – соответствующее исправленное стандартное отклонение. Данная случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Алгоритм решения полностью сохраняется:

На основании измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм и мм. В предположении о нормальном распределении проверить на уровне значимости гипотезу мм против конкурирующей гипотезы мм.

И начнём мы опять со смысла задачи, что здесь произошло? Здесь 7 раз измерили высоту этой камеры, получили среднее значение 51 мм и за неимением генеральной дисперсии вычислили исправленную выборочную дисперсию. Но, согласно норме, высота должна равняться 50 мм – эту гипотезу и проверяем.

Решение: так как генеральная дисперсия не известна, то для проверки гипотезы используем случайную величину .

Конкурирующая гипотеза имеет вид , а значит, речь идёт о двусторонней критической области. Критическое значение можно найти по таблице распределения Стьюдента либо с помощью Калькулятора (Пункт 10в). Для уровня значимости и количества степеней свободы :

Таким образом, при нулевая гипотеза принимается, и вне этого интервала (в критической области при ) – отвергается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:
– полученное значение попало в область принятия гипотезы (), поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу принимаем.

Ответ: на уровне значимости 0,05 гипотезу мм принимаем.

То есть, с точки зрения статистики, выборочный результат мм, скорее всего (! но это не точно), обусловлен погрешностью выборки, и на самом деле высота сальниковой камеры соответствует норме (50 мм).

Творческая задача для самостоятельного решения:

Нормативный расход автомобильного двигателя составляет 10 л на 100 км. После конструктивных изменений, направленных на уменьшение этого показателя, были получены следующие результаты 10 тестовых заездов:

На уровне значимости 0,05 выяснить, действительно ли расход топлива стал меньше.

Да, это не редкость – когда в предложенной задаче нужно не только проверить гипотезу, но и предварительно рассчитать выборочные значения. Кстати, даже при известной генеральной дисперсии, ориентироваться на неё тут нельзя, ибо конструктивные изменения могут изменить не только генеральную среднюю, но и генеральную дисперсию.

В лучших традициях курса все числа уже забиты в Эксель – там же инструкция по расчётам выборочных показателей. Если кто-то не знает или запамятовал, то вот ролик о том, как провести эти вычисления быстро (Ютуб).

В данной задаче критическая область левосторонняя, и критическое значение для односторонней области отыскивается по самой нижней строке таблицы или с помощью Калькулятора (тот же Пункт 10в).

Постарайтесь грамотно оформить решение, свериться с образцом можно чуть ниже.

И я жду вас на следующем уроке, где мы продолжим проверять статистические гипотезы.

Решения и ответы:

Пример 37. Решение: поскольку известно ген. стандартное отклонение, то для проверки гипотезы используем случайную величину .

а) Рассмотрим конкурирующую гипотезу . Так как альтернативные значения генеральной средней больше чем 0,5, то находим правостороннюю критическую область. Критическое значение определим из соотношения . Для уровня значимости :

При гипотеза принимается, при (критическая область) – отвергается.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, таким образом, на уровне значимости 0,1 гипотезу принимаем.

б) Рассмотрим конкурирующую гипотезу . В данном случае критическая область двусторонняя. Критическое значение найдём из соотношения .
Для :

При гипотеза принимается, а при (красная критическая область) – отвергается:

Наблюдаемое значение критерия вычислено в предыдущем пункте, и оно попадает в область принятия гипотезы.

Ответ: в обоих случаях нулевую гипотезу на уровне значимости 0,1 принимаем.

Пример 39. Решение: вычислим сумму вариант , выборочную среднюю , квадраты отклонений и их сумму .
Вычисления удобно свести в таблицу:

Выборочная дисперсия:

Исправленная выборочная дисперсия:

Исправленное стандартное отклонение.

На уровне значимости 0,05 проверим нулевую гипотезу против конкурирующей гипотезы . Для проверки используем случайную величину .

Найдём критическую область. Поскольку в конкурирующей гипотезе речь идёт о меньших значениях, то она будет левосторонней. Для уровня значимости и количества степеней свободы по таблице критических точек распределения Стьюдента, найдём критическое значение для односторонней области:

Таким образом, при нулевая гипотеза отвергается, а при – принимается:

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

, поэтому на уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, иными словами, выборочное значение статистически значимо отличается от 10.

Ответ: на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что расход топлива стал ниже.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам