Уравнения для 7 класса с формулами сокращенного умножения

Тема урока: «Решение линейных уравнений, содержащих формулы сокращенного умножения»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Обработка рациональных приёмов решения уравнений.
• Выработка умения решения задач.
• Развитие элементов творческой деятельности учащихся и умения контролировать свои действия.
• Повторение решения уравнений.

Оборудование: печатные бланки, таблица.

Тип урока: урок- семинар комплексного применения знаний, умений и навыков.

1.Организационный момент. Сообщается план семинара.
2.Сообщение по теме « Уравнение»
3. Решение линейных уравнений.
4.Сообщение о формулах сокращённого умножения.

(Работа у доски и по карточкам.)

а) Решение уравнений, содержащих квадрат суммы.
б) Решение уравнений, содержащих квадрат разности.
в) Решение квадратных уравнений, содержащих разность квадрата.
г) Решение уравнений, содержащих несколько формул.

5. Решение задачи.
6. Творческая работа учащихся.
7. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1.Вступительное слово учителя.

Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга слон. Чтобы решить уравнение, тоже нужно совершить ряд превращений (алгебраических преобразований) и делать их нужно очень осмотрительно. Сегодня мы ещё раз увидим, какая удивительная сила заключена в формулах сокращённого умножения и как ловко они работают при решении уравнений.
Прежде всего, нужно чётко понимать, чем вы занимаетесь, когда решаете уравнение. Что, значит, решить уравнение и нужно знать, что главная задача при решении любого уравнения — свести его к простейшему.
И сегодня нам будут помогать формулы Сокращённого умножения.

2. Сообщение по теме «Уравнение»

3. Решение линейных уравнений у доски (учащиеся класса записывают решения в тетрадях)

Решение уравнений по карточкам.
в) 4(2-3x)+7(6x+1)-9(9x+4)=30
г) 3-5(x+1)=6-4x.
Сообщение №2.
Слово о формулах.

4. Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

а) x+(5x+2)2 =25(1+x2).
б) (x-6)2-x(x+8)=2.
Решение уравнений по карточкам.
в) (2-x)2-x(x+1,5)=4
г) x(x-1)-(x-5)2=2.

5. Решение уравнений, в которых содержится формула разности квадратов.

Работа у доски.
8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-(16×2-9)=2x,
8x+16×2-16×2+9=2x,
8x-2x=-9,
6x=-9,
x=-1,5
Ответ: -1,5

Решение задачи.
Сторона первого квадрата на 2см. больше стороны второго, а площадь первого на 12 см больше площади второго. Найдите периметры этих квадратов.

Пусть x см сторона второго квадрата. Тогда(x+2) см сторона первого квадрата. Площадь первого (x+2) 2 см 2 ,а площадь второго x 2 .
Составляем уравнение:
(x+2) 2 -x 2 =12
x 2 +4x+4-x 2 =12,
4x=12-8,
4x=8,
x=2.
Если x=2,то 4x=4*2=8
Если x=2, то 4(x+2)=4(2+2)=16.
Ответ:16см,8см.

6. Решение разных уравнений, содержащих формулы сокращённого умножения.

7.Творческая работа учащихся. Заполнение таблицы.

Узнайте фамилию величайшего математика XVII века. Для этого зачеркните
буквы, не связанные с найденными ответами.
(Декарт)

Приложение к уроку.
Решение линейных уравнений.

Решение уравнений, содержащих квадрат суммы и квадрат разности.

Работа по карточкам.

Решение разных уравнений содержащих несколько формул сокращённого умножения.

8. Подведение итогов урока.

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) ( n — 2 ) . . ( n — ( k — 1 ) ) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a — b 2 = a — b a — b .

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Упростим выражение 9 y — ( 1 + 3 y ) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y — ( 1 + 3 y ) 2 = 9 y — ( 1 + 6 y + 9 y 2 ) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x — z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = ( 4 x 2 + 2 x z + z 4 ) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Урок по алгебре для 7 класса «Решение задач с помощью формул сокращенного умножения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Мало что-то изобрести – нужно ещё чтобы кто – нибудь оценил изобретение… (Кароль Ижиковский) Критиковать автора легко, но трудно его оценить. (Люк де Клапье Вовенарг) Каждому слову – своя оценка. (Владимир Борисов)

Р а с п р е д е л и т е л ь н о е е д ж о т т в о н л ч о г о н м р у п п р в к и б о о д п и ы е н ь р о к о э ф ф и ц и е н т Свойство умножения, используемое при умножение одночлена на многочлен Способ разложения многочлена на множители Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство Равенство, верное при любых значениях переменных Выражение, представляющее собой сумму одночленов Слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть Числовой множитель у одночленов

Представить в виде квадрата куба

Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством 2m 3b x3, 64

Формулы сокращённого умножения Квадрат суммы и разности двух выражений: (а-b)2=a2-2ab+b2 (а+b)2=a2+2ab+b2

Формулы сокращённого умножения Разность квадратов: a2-b2=(a-b)(a+b)

Формулы сокращённого умножения Сумма и разность кубов: а3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) а3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

В М Н Д Е Ф П У К И О Л С Т

Упростите выражения и расшифруйте фамилию математика. (xy-1)(xy+1) 16a2-24a+9 3) x2-4xy+4y2 4) 4×2-28xy+49y2 5) (3m-4n)(3m+4n) 6) 1-2b+b2 (Л) (2x-7y)2 (И) 9m2-16n2 (Д) (1-b)2 (Е) x2y2-1 (К) (x-2y)2 (В) (4a-3)2

ЕВКЛИД древнегреческий математик, живший на рубеже IV-III вв. до н. э. автор знаменитого трактата «Начала», посвящённого элементарной геометрии и теории чисел. В «Началах» Евклид геометрически доказал справедливость равенства (a + b)² = а² + 2аb +b2 при положительных значениях а и b

Мало что-то изобрести – нужно ещё чтобы кто – нибудь оценил изобретение… (Кароль Ижиковский) Критиковать автора легко, но трудно его оценить. (Люк де Клапье Вовенарг) Каждому слову – своя оценка. (Владимир Борисов)

Цель урока: Научиться оценивать свою деятельность при решении задач с использованием формул сокращённого умножения. План урока: 1.Вспомним формулы сокращённого умножения; 2.Потренируемся в решении задач на применение этих формул; 3.Сконструируем собственные модели для решения задач; 4.Будем учиться оценивать свою деятельность.

Я задумала два одночлена, нашла их сумму, нашла их разность, перемножила полученные выражения и получила результат: 4х2 – 9у2 Какие одночлены я задумала? Как вы узнали? Какую формулу вы использовали? Сформулируй ее. Отгадайте

1. Упражнения для улучшения мозгового кровообращения «Наклоны головы» Вперед – назад Вправо — влево

2. Упражнение общего воздействия «Бокс»

3. Упражнения для снятия утомления с плечевого пояса и рук «Рывки руками» «Сжимание кисти в кулак»

4. Упражнение для снятия напряжения с мышц туловища «Наклоны в сторону»

«Вращение глазами» по часовой стрелке против часовой стрелки 5. Упражнения для глаз

«Пальчик» Приближайте и отводите палец

«Во все стороны» Двигайте глазами вверх-вниз вправо-влево

«Кто там?» Зажмурьтесь посильнее Широко откройте глаза

«Сон» Закройте глаза

Отгадывание задуманного числа. Задумайте число ; Умножьте его на себя; Прибавьте к результату задуманное число; К полученной сумме прибавьте 1; К полученному числу прибавьте задуманное число. Скажите мне число, которое у вас получилось и я отгадаю, какое число вы задумали. Решение: x² + x + 1 + x = =x² + 2x + 1 = = (x + 1)² Например: 5·5 + 5 + 1 + 5 = 36 36=62 тогда x = 6 – 1 = 5.

Задача Пифагора: Докажите, что всякое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов. 1 способ. (n+1)2 – n2 = (n+1-n)(n+1+n) = 2n + 1 нечётное число. 2 способ. (n+1)2 – n2 = n2 + 2n + 1 — n2 = 2n + 1 нечётное число.

Задача «Эрудит» Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде 10а + 5. Например, 25 = 2·10 + 5. Доказать, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению а(а + 1) приписать справа 25. Например, 25² = 625, т.к. 2 ·(2 + 1) = 6. Доказательство: (10а + 5)² = =100a² + 100a + 25 = =100a(a +1) + 25 = =a (a +1) ·100 + 25. Найдите по этому правилу 45², 75², 115².

РЕФЛЕКСИЯ Что нового каждый из нас узнал на уроке? Что каждый из нас делал сегодня на занятии? Что было главным? Каковы основные результаты? Какая цель была нашего урока? Достигли ли мы цели? Красный жетон – «5» Зелёный жетон – «4» Жёлтый жетон – «3»

Домашнее задание: 1.Составьте (или подберите из дополнительных источников) задачи, при решении которых используются формулы сокращённого умножения. На «5» — три задачи На «4» — две задачи На «3» — одну задачу 2.Подумайте, какие составляющие вашей деятельности необходимо изменить, чтобы улучшить результат? Проработайте задания из классной работы, при выполнении которых возникали трудности или были ошибки. Поставьте себе оценки за домашнее задание.

Урок окончен! УДАЧИ ВАМ!

Выбранный для просмотра документ урок .docx

МБОУ Уршельская средняя общеобразовательная школа

Разработка урока по теме:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

( педагогическая разработка учителя естественно – математического цикла

« Современный урок: метапредметный подход»)

Выполнила: Круглова Ольга Николаевна

учитель математики и информатики

МБОУ Уршельская сош

Фамилия, имя, отчество

Круглова Ольга Николаевна

«Алгебра 7» , М:Просвещение – 2011г.

Ф. И. О. автора учебника

Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б.Суворова

Решение задач с помощью формул сокращённого умножения.

Краткая характеристика класса

В классе 21 учащийся: 9 мальчиков, 13 девочек. Класс в целом дружный. Дети заинтересованы в общих делах класса. Оказывают взаимопомощь. Успеваемость в классе достаточно хорошая. 8 учащихся учатся на «хорошо» и «отлично». В классе есть 3 отличника. Выделяется группа ребят 48%, у которых наблюдается высокий уровень работоспособности. Они активны на уроках, регулярно выполняют домашние задания, проявляют интерес к математике. Темп работы таких детей высокий, поэтому требуются дополнительные задания для самостоятельной работы учащихся на уроках. В классе есть дети со средней работоспособностью — 35%. Они быстро устают, их активность замедляется, поэтому эта группа детей требует более детального, поэтапного разбора материала. Но эти ребята стараются учиться, понять материал, задают вопросы, если что-то не понятно. Есть дети- 17%, которые пассивны на уроках, имеют большие пробелы в знаниях, часто затрудняются с выполнением домашнего задания. У 75% детей развита система «видеть», у 25% — система «слышать». Поэтому при предъявлении информации возникает необходимость как можно больше использовать наглядного материала. У 30% учащихся повышенный уровень тревожности по факторам «проверки знаний». Поэтому перед проверочными работами следует настраивать ребят на доброжелательную эмоциональную атмосферу. Необходимо акцентировать внимание на мотивационном компоненте урока, развивать практическую направленность учебной деятельности, использовать самопроверку и взаимопроверку, в конце урока подводить итоги, поощрять даже за небольшие успехи. Проблем с дисциплиной и порядком в данном классе нет. При планировании урока психологические особенности класса были учтены, это и определило выбор методов и приёмов изложения материала.

Пояснительная записка к уроку.

Организация учебной деятельности в современной школе предполагает переход от преимущественно информационных форм к активным методам и формам обучения с включением элементов проблемности, научного поиска, широкого использования резервов самостоятельной работы обучающихся.

Данный урок входит в заключительную серию уроков по теме «Формулы сокращённого умножения». Рассчитан на 45 минут. Урок состоит из трёх основных блоков, на каждом из которых максимально создана ситуация активного включения ребенка в учебный процесс.

1 блок –Мотивационно — ориентировочный. Задает общее настроение последующих 45 минут, определяя ключевые действия учащихся на уроке: исследовать, рассуждать, искать, открывать. Здесь анализируются имеющиеся знания и умения по теме урока., происходит обращение к индивидуальному опыту учащихся, связанному с метапредметной темой урока. Данный анализ должен натолкнуть ребят на проблему, решение которой предлагается рассмотреть на уроке. Вместе с учащимися ставится цель урока.

2 блок –организационно – деятельностный. Учащиеся решают задачи на применение уже известных формул, но в новых ситуациях. Для решения этих задач составляют математические модели с использованием формул сокращённого умножения. Активно дискутируют, обсуждают решения. Демонстрируют свои решения, которые получили при выполнении задания. Сравнивают свои решения с решениями сверстников и учителя. В результате, знания, полученные учениками на уроке становятся более обобщёнными и цельными и учащиеся самостоятельно смогут ответить на вопрос: «Где и как применяются формулы сокращенного умножения?». Одновременно учащиеся стараются дать адекватную оценку своей деятельности и своим результатам, работая с картой самооценивания.

3 блок –рефлексивно – оценочный. Здесь ученики осознают свою деятельность, полученные результаты, возникшие трудности и проблемы. И отвечают на вопросы: Что нового каждый из нас узнал на уроке? Что каждый из нас делал сегодня на занятии? Что было главным? Какая цель была нашего урока? Каковы основные результаты? Достигли ли мы цели? Подводят итоги своей работы – выставляют две оценки за урок: за полученный результат и за процесс получения результата. Конечно же, наша сегодняшняя система оценивания предполагает выставление оценки в журнал за результат( нам до сих пор твердят: «не важно как, главное результат» и требует от учителей дать этот результат), но ведь деятельность, которую осуществляет ученик на пути достижения к результату тоже очень важна. Поэтому можно выставить в журнал оценку за процесс получения результата, например, хотя – бы одну оценку за имеющуюся положительную динамику при изучении какой – то темы (не за каждый урок!). Конечно она «погоды» не сделает, зато поощрение за небольшие успехи стимулирует ребёнка к дальнейшему продвижению. И, что тоже важно — ученики учатся оценивать собственные умения, сравнивая себя не с одноклассниками, а только с собой вчерашним.

Конспект – сценарий урока.

Тема: Решение задач с помощью формул сокращённого умножения.

Цель: Формирование оценочной деятельности на уроке математики при решении задач с помощью формул сокращённого умножения.

Учебные задачи, направленные на развитие учащихся:

— в личностном направлении :

продолжать развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи;

развивать умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

прививать умение ответственного отношения к результатам своего труда;

развить навыки сотрудничества со сверстниками, воспитать чувство товарищества, чувство ответственности за общее дело;

развить умение оценивать свою деятельность, усваиваемое содержание;

продолжать развивать умение адекватно понимать причины успеха (неуспеха) в учебной деятельности;

развить логическое и алгоритмическое мышление.

— в метапредметном направлении:

научить применять полученные знания в повседневной жизни;

формировать понимание сущности алгоритмических предписаний и развивать умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

развивать умение выражать свои мысли, вступать в диалог и сотрудничать с другими людьми в поиске необходимой информации;

продолжать развивать умение вести поиск и выделять необходимую информацию, анализировать ход и способ действий, выбирать наиболее эффективный способ решения задач;

развивать способность строить логическую цепь рассуждений и способность структурировать найденную информацию в нужной форме;

развить умение интерпретировать результат, аргументировать своё мнение и позицию;

формировать умение составлять модель и преобразовывать её в случае необходимости, используя знаково – символические средства;

продолжить развивать умение осуществлять операции: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия..

— в предметном направлении:

развить умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей;

развить умения составлять математическую модель задачи, переводить условия задачи с обычного языка на математический;

развить умение планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

формировать умение применять формулы сокращённого умножения в различных ситуациях;

развивать вычислительные навыки .

Формы работы: парная, индивидуальная, фронтальная.

Оборудование урока: мультимедийное оборудование, интерактивная доска.

Методы: проблемно –поисковый.

Технологическая карта урока:

1. Мотивационно – ориентировочный блок

Этапа актуализации знаний

Обращение к индивидуальному опыту учащихся. Организация деятельности учащихся по повторению материала,

понимание степени важности урока.

1.Побуждает учащихся к деятельности и вызывает интерес к изучаемой теме на личностно-значимом уровне: Здравствуйте, ребята! Мы продолжаем работать с формулами сокращённого умножения. Эта тема завершает изучение тождественных преобразований целых выражений и является одной из самых важных тем, без хорошего знания которой невозможно дальнейшее изучение алгебры. В 9 классе вам предстоит сдавать экзамен, а задания из этой темы обязательно будут в экзаменационной работе.

2.Задаёт вопрос: Вы знаете, как оценивается экзаменационная работа? А как бы вы оценивали свои работы? А оценить себя -это важно уметь делать?

Предлагает прочитать и осмыслить высказывания: 1)Мало что-то изобрести – нужно ещё чтобы кто – нибудь оценил изобретение…(Кароль Ижиковский), 2) Критиковать автора легко, но трудно его оценить (Люк де Клапье Вовенарг), Каждому слову – своя оценка. (Владимир Борисов).

3.Организует повторение изученного ранее материала, и выявляет затруднения в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

Задаёт вопрос: Какие формулы вы знаете?

4. Предлагает разгадать кроссворд:

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен

2. Способ разложения многочлена на множители

3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство

4. Равенство, верное при любых значениях переменных

5. Выражение, представляющее собой сумму одночленов

6. Слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть

7. Числовой множитель у одночленов

5.Задаёт вопрос: Ребята, а почему мы сейчас разгадывали именно этот кроссворд?

6.Организует фронтальную работу:

-прочитать правильно выражения:

а 2 , с 2 , 0,6 2 , (7х) 2 , n 3 , 2 3 , 3 2 ;

2ах, 3аb, 4ху, ас, 6ак;

(а+с) 2 , (с-2) 2 , а 2 -с 2 , х 2 -36, а 3 +с 3

— возвести в степень

числа и выражения,

квадрата и куба

Возвести в степень:

7 2 , 0,3 2 , 0,1 3 , ( ) 3 , (1 ) 2 , (4х) 2 , (3а 2 ) 3

Представить в виде

квадрата: 4m 2 , 0,09а 4 , 121х 6 у 8

куба: , 0,008р 3 , 125х 6

-заменить звёздочку одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

Что такое тождество?

Какие формулы вы применили?

Почему их назвали формулами сокращённого умножения?

8.Предлагает ещё раз назвать и прочитать формулы:

1. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений

2. Формула разности квадратов

3. Формулы суммы и разности кубов

4. Ещё несколько полезных формул:

С какой целью применяют формулы сокращённого умножения? Для чего они нужны?

10.Задаёт вопрос: И всё?

1.Слушают учителя и подготавливаются к получению новых знаний.

2. Отвечают на вопросы или высказываются по данному поводу, читают и стараются осмыслить высказывания.

3.Отвечают на вопрос: «квадрат суммы», «квадрат разности», «разность квадратов», «разность кубов», «сумма кубов», «куб суммы», «куб разности».

4.Отвечают на вопросы учителя (разгадывают кроссворд) :

5.Отвечают на вопрос: чтобы повторить термины и определения, изученные в предыдущих темах

6.читают выражения: квадрат числа или выражения, удвоенное или утроенное произведение .

Выполняют действия: возводят в степень, представляют в виде квадрата или куба.

Предлагают свои ответы.

7.Отвечают на вопросы:

-Тождество –верное равенство.

— Формулы сокращённого умножения.

-Можно сразу записать результат.

8.Называют и читают формулы.

9.Отвечают на вопрос: Для упрощения выражений, разложения на множители многочленов.

10. Задают ответный вопрос : А для чего ещё?

Извлечение необходимой информации из текстов (П);

использование знаково-символических средств (П);

осознанное и произвольное построение речевого высказывания (П); подведение под понятие (П);

выполнение пробного учебного действия (Р); фиксирование индивидуального затруднения в пробном действии (Р);

волевая саморегуляция в ситуации затруднения (Р);

выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью (К);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации (К);

использование критериев для обоснования своего суждения (К)

Формулируют затруднения, осознают проблему.

1.Ставит проблему при решении практических задач: формулы вы знаете, а теперь попробуйте решить задачу.

-составьте фамилию математика из букв, которые на доске (там должны быть лишние буквы!)

2. Даю подсказку: расшифруйте фамилию математика, зная что

3) x 2 -4xy+4y 2
4) 4x 2 -28xy+49y 2
5) (3m-4n)(3m+4n)
6) 1-2b+b 2

(Л) (2x-7y) 2
(И) 9m 2 -16n 2
(Д) (1-b) 2
(Е) x 2 y 2 -1
(К) (x-2y) 2
(В) (4a-3) 2

3.Знакомит с историческим материалом : Евклид — древнегреческий математик, живший на рубеже IV — III вв. до н. э. автор знаменитого трактата «Начала», посвящённого элементарной геометрии и теории чисел. В «Началах» Евклид геометрически доказал справедливость равенства

( a + b )² = а² + 2а b + b 2 при положительных значениях а и b . В своём доказательстве он

использовал следующий чертёж:

Задаёт вопрос: Как рассуждал Евклид? Попробуйте воспроизвести доказательство Евклида?

1.Стараются составить фамилию. (но так как букв намного больше, то это не получается). Осознают проблему.

2.Обсуждают способ решения задачи; упрощают выражения в тетради, соотносят полученные ответы с буквами, составляют фамилию математика : Евклид.

3.Анализируют, высказывают свои предположения, делают попытки или воспроизводят доказательство Евклида.

анализ, синтез, сравнение, обобщение , аналогия (П);

подведение под понятие (П);

структурирование знаний (П);

осознанное и произвольное построение речевого высказывания (П);

волевая саморегуляция в ситуации затруднения (Р);

выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью (К);

аргументация своего мнения и позиции в коммуникации (К); учет разных мнений, координирование в сотрудничестве разных позиций (К);

контроль и оценка процесса и результатов деятельности(П);

самооценка на основе критерия успешности(Л).

Осмысление цели урока,

планирование шагов решения проблемы (постановка учебных задач), предлагают выходы из затруднений. Оценивание результатов деятельности учащихся.

1.Задаёт вопрос: Так где нам могут пригодиться формулы сокращённого умножения? У кого сразу получилось составить фамилию математика? Как можно оценить ученика(ФИ, который сразу назвал фамилию)?(а если таких нет, то: Если бы ученик сразу назвал фамилию – как его оценить?)

Предлагает вернуться к слайду с высказываниями и объяснить как они их понимают.

2.Задаёт вопрос: Так, что мы будем делать на уроке, какая наша цель?

А как вы считаете, что на уроке можно оценить?( организует беседу, которая подводит ребят к выводу).

3.У каждого из вас на столах лежат карточки самооценивания. Подпишите их. В течение урока мы с вами будем выполнять различные задания. По окончанию решения каждой задачи, вы должны оценить свою работу- результат и процесс получения результата.

4.Подводит итог: Сегодня мы будем учиться оценивать свою деятельность при решении задач с помощью формул сокращённого умножения.

Планирует(вместе с учащимися) деятельность (исходя из цели, поставленной учениками):

— Вспомним формулы сокращённого умножения;

-Потренируемся в решении задач на применение этих формул;

-сконструируем собственные модели для решения задач;

-Будем учиться оценивать свою деятельность.

5.Предлагает оценить свою деятельность: Оцените свою деятельность и её результат на карте самооценивания в разделах «устная работа», «Расшифровка фамилии математика. Воспроизведение доказательства».

1.Отвечают на вопрос:

-При решении разнообразных задач.

— у кого получилось –поднимают руки.

-высказывают свои мнения, объяснения.

2. Отвечают на вопрос:

-Будем учиться записывать модели разных задач с использованием формул сокращённого умножения (т.е. учиться решать задачи с помощью формул) и оценим свою деятельность.

— вывод: на уроке важно оценить не только результат, но и сам процесс получения результата т.е. саму деятельность, которая привела к результату.

3. Подписывают карточки самооценивания.

4.Вместе с учителем составляют план работы.

5. Оценивают свою деятельность и результат своей деятельности на листах самооценивания.