Уравнения для 9 класса биквадратные

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Урок алгебры в 9 классе «Биквадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МБОУ «Березовская основная общеобразовательная школа» Залегощенского района Орловской области

Открытый урок алгебры в 9 классе

(урок дан в рамках аттестации на I квалификационную категорию)

с. Березовец, 2014 год

“ Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.”
Л.Н. Толстой.

Тип урока: добывание новых знаний самостоятельно.

1) Образовательные: познакомить учащихся с новым видом уравнения с одной переменной; изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений;

2) Развивающие: продолжать работу по развитию речи учащихся; учить составлять алгоритм решения задания по образцу; развивать умения работать с книгой, самостоятельно добывать знания.

3) Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к учебному труду; умение преодолевать учебные трудности; умение работать в коллективе.

1) Образовательные: отработать навыки нахождения корней биквадратного уравнения;
2) Воспитательные: воспитание культуры умственного труда; воспитание уважительного отношения к сверстникам.

3) Развивающие: формирование умений и навыков учебной (практической и умственной) деятельности; развитие познавательных процессов учащихся (память, речь, мышление, внимание, воображение, восприятие); развитие воли, интересов, способностей и дарований личности.

I. Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

II. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы: “ Целое уравнение и его корни”. Сегодня на уроке мы познакомимся с новым видом целого уравнения. А сейчас вспомним основные определения. Проведем экскурс в тему.
1. Что называется уравнением?

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4. Какие уравнения называются целыми?

5. Что называется степенью целого уравнения с одной переменной?

6. Сколько корней может иметь целое уравнение с одной

переменной 2-ой, 3-ей, 4-ой, п-ой степени?

7. Какие виды целых уравнений вам знакомы?

8. Какие способы решения уравнений вы знаете?

9. Напишите формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

10. Решите устно

III. Мотивация обучения. (3 мин, кроссворды лежат на партах у всех учащихся)

Учитель: Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, который научимся решать на уроке. Работаем по цепочке. Кроссворд.

Если вписать верные слова, то должно получиться название одного из видов уравнений.

Третья степень числа. (Куб)

Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

Равенство с переменной. (Уравнение)

Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равной единице. (Приведенное)

Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

Тождество, содержащее числа и переменные. (Формула)

Французский математик. (Виет)

Числовой множитель — в произведении. (Коэффициент)

Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

Множество корней уравнения. (Решения)

Разгадав кроссворд, ребята прочитают ключевое слово “ биквадратные”.

Учитель: Вам предстоит изучить эту тему самостоятельно с опорой на учебник. Время на изучение темы отводится один урок.

Запишем тему урока в тетрадях. ( Учитель пишет тему на доске, учащиеся в тетрадях).

Познакомиться с новым видом уравнения с одной переменной.

Учиться составлять алгоритм решения заданий по готовому образцу.

Научиться приему решения биквадратного уравнения.

IV. Самостоятельное изучение новой темы.

Учитель: Приступайте к изучению новой темы по учебнику (стр. 75),по плану:

а) Прочитайте определение биквадратного уравнения.
б) Запишите определение в тетрадь.
в) Существенно ли замечание, что а не равно нулю?

а) Разберите решение примера 3 в учебнике. Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма.

Составив алгоритм, до обсуждения его в классе, продолжайте работать над вопросами по самоконтролю.

Вопросы для самоконтроля:

1. “БИ” — дважды, биквадратное — дважды квадратное. Как это проявляется в алгоритме?
2. Можно ли назвать метод решения биквадратного уравнения — “метод замены переменной”?
3. Сможете ли вы по составленному алгоритму решить аналогичное уравнение?
4. Примите участие в обсуждении составленного алгоритма в классе.

Защита составленного алгоритма решения биквадратного уравнения. (3 мин коллективная работа)

Дайте учителю сигнал о готовности к защите задания 2, подняв руку.

Учитель (после сигнала учащихся о готовности к работе) во фронтальной беседе с учащимися проговаривают определение биквадратного уравнения, составленный алгоритм решения нового вида уравнения.

Учитель: Проверьте составленный алгоритм. (Сверяют самостоятельно составленный “алгоритм” с готовым алгоритмом. Еще раз читают его по пунктам. Идет вторичное осмысление алгоритма.)

Алгоритм решения биквадратного уравнения. Метод решения — замена переменной.

1. Ввести замену переменной: пусть х 2 = у,
2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: ау 2 + bу + с = 0 (2)
3. Решить новое квадратное уравнение (2).
4. Вернуться к замене переменной.
5. Решить получившиеся квадратные уравнения.
6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.
7. Записать ответ.

Кто сможет решить сам биквадратное уравнение по этому алгоритму?

Ученик решает у доски №278(а,б,в,е), комментируя свои действия по алгоритму.

Задача учителя: дать образец записи решения нового упражнения через ученика.

Задача ученика: используя алгоритм по шагам дойти до конца, решив новое упражнение.

Остальные учащиеся работают в тетрадях.

Учитель : (классу после решения уравнения)

Обратите внимание на форму записи на доске нового типа уравнения.

Есть ли затруднения при его решении?

V. Формирование навыков решения биквадратного уравнения.

Учитель: Учимся применять полученные знания. Выполните следующий учебный элемент ( 15 мин.).

Учащиеся работают самостоятельно над решением биквадратных уравнений по вариантам, решая по 3 уравнения. Примеры уравнений подобраны так, чтобы охватить разные случаи решения. Перед учащимися стоят задачи:

Применять полученные знания по алгоритму;

Сделать вывод о числе решения биквадратных уравнений;

Провести исследование по новой теме.

Во время самостоятельной работы учитель помогает в случае необходимости учащемуся индивидуально, контролирует ход работы, оценивает отдельных учащихся за работу на уроке по новой теме.

15 минут класс работает самостоятельно.

Задание 3. Решайте задания по вариантам

1. х 4 + 7х 2 + 12 = 0

2. 2х 4 + х 2 + 3 = 0

1. 9х 4 + 5х 2 — 4 = 0

2. х 4 — 3х 2 + 2 = 0

3. х 4 + 2х 2 + 1 = 0

VI. Взаимопроверка задания.

Учитель: Подведем итоги самостоятельной работы над новыми уравнениями. Поговорим о числе решений биквадратных уравнений.

1. Обсудите полученные результаты самостоятельной работы.

2. Взаимопроверка записи в тетрадях с образцом.

3. Обсудите в парах результаты своей работы.

Задание 5. Проведите самоконтроль, ответив на вопросы:

1. Сколько решений может иметь биквадратное уравнение?

2. От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

3. Может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?

4. Самостоятельно оцените: достигли ли вы цели работы на уроке.

5. Участвуйте в обсуждении работы по исследованию числа решений биквадратных уравнений.

Учитель: Оцените, достигли ли вы намеченных целей и задач урока?

Какие же уравнения называются биквадратными? (Определение)

Алгоритм решения биквадратного уравнения?

От чего зависит число решений биквадратного уравнения?

VIII. Домашнее задания.

Запишите домашнее задание к следующему уроку: стр.77, № 279.

Вы должны знать алгоритм и уметь применять прием решения биквадратного уравнения.

Дополнительно . Это упражнение для тех ребят, кто хочет углубить свои знания по изученной теме, работает над своим образованием. Мы разберем приемы решения подобных упражнений на следующем уроке.

Сегодня на уроке выполнены все задачи.

Если у вас осталось время на уроке, начните решать новое уравнение:

Пусть t = ( . . . ), тогда t 2 =( . . . ) 2 .

Этот пример дан для тех учащихся, кто быстро выполняет задания в классе, легко понимает и применяет алгоритм решения.

Биквадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Уравнение вида ax 4 +bx 2 +c=0, где а≠0 число, называется биквадратным уравнением (приставка «би» означает «двойной»). Для решения такого уравнения применяют метод введения новой переменной, чтобы получить квадратное уравнение, решение которого легко выполняется.

Рассмотрим на примерах решение таких уравнений.

Пример №1. Решить уравнение:

В данном уравнении заменим х 2 на переменную, например а (букву для замены можно брать любую): х 2 =а. Степень данного уравнения при этом понизится на 2, получаем квадратное уравнение:

Решаем данное уравнение, например, по теореме Виета. Тогда:

Методом подбора получаем корни квадратного уравнения 9 и 16. Проверяем, что действительно 9+16=25, 916=144. Теперь переходим к нахождению корней биквадратного уравнения, которое дано по условию. Мы заменяли х 2 на а, поэтому подставляем вместо а полученные значения – это 9 и 16:

Теперь находим корни каждого из этих неполных квадратных уравнений: х 2 =9, отсюда уравнение имеет два корня ±3; х 2 =16, отсюда имеет еще два корня ±4. Следовательно, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня: 3, -3, 4, -4.

Пример №2. Решить уравнение:

Заменим на переменную у: х 2 =у. Получим уравнение:

Найдем его корни: у₁=–1, у₂=4. Подставим корни вместо у и получим уравнения: х 2 =–1; х 2 =4. Видим, что первое неполное квадратное уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения – это ±2. Значит, данное биквадратное уравнение имеет корни ±2.

Пример №3. Решить уравнение:

Выполним замену переменной: х 2 =у. Решим уравнение:

Подбором корни найти невозможно, поэтому через дискриминант получаем, что корней нет, так как дискриминант будет отрицательный. Значит и данное биквадратное уравнение тоже не имеет корней.