Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Тема 11. Электродинамические потенциалы. Основные теоремы и принципы электродинамики

Постановка задач в электродинамике. Скалярный и векторный электродинамические потенциалы. Уравнения Даламбера для электродинамических потенциалов. Уравнения Пуассона и Лапласа. Связь электродинамических потенциалов с векторами ЭМП. Решение неоднородных уравнений Даламбера для электродинамических потенциалов. Запаздывающие потенциалы.

Применение электродинамических потенциалов в анализе ЭМП.

Основные теоремы и принципы в теории гармонических полей. Магнитные токи и заряды. Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Теорема единственности для внешней и внутренней задач электродинамики. Принцип эквивалентности. Различные формулировки принципа эквивалентности. Лемма Лоренца. Сопряженная лемма. Теорема взаимности.

Указания к теме

Необходимо выучить определения скалярного и векторного потенциалов, обратить внимание на их связь с векторами и энергией ЭМП, а также на применение в анализе ЭМП; уяснить понятие запаздывающего потенциала.

Пользуясь теоремой Пойнтинга о балансе энергии, можно определить дополнительные условия, наложение которых сообщает решениям уравнений Максвелла физическую определенность (единственность).

Следует выучить формулировки теорем единственности и взаимности, принципов эквивалентности и двойственности, обратить внимание на их место в теории ЭМП.

Основные сведения

При решении задач излучения необходимо решать систему уравнений Максвелла при наличии сторонних источников ЭМП. Введение электродинамических потенциалов позволяет упростить расчет ЭМП излучающих систем. Из условия соленоидальности магнитного поля (2.8) можно записать:

Þ , (11.1)

где введенную функцию называют векторным потенциалом.

Подстановка выражения (11.1) в (2.6) позволяет связать с :

или . (11.2)

Из условия потенциальности электростатического поля

Þ , (11.3)

где введенную функцию j называют скалярным потенциалом (в случае электростатического поля функция jявляется скалярным электрическим потенциалом)[1, 11].

Векторы ЭМП можно выразить через и j :

, . (11.4)

Волновые уравнения для электродинамических потенциалов.Подставляя выражение (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем

. (11.5)

Удобно выбрать div так, чтобы в уравнении (11.5) слагаемое в скобках оказалось бы равным нулю

. (11.6)

Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона [1–3, 11].

С учетом выражения (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для потенциалов и j

; (11.7)

. (11.8)

После решения уравнений (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы и находятся после подстановки и j в (11.4).

В случае стационарного магнитного поля можно считать потенциальной энергией токов, в то же время j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [1–3].

При решении задач излучения с целью уменьшения числа неизвестных иногда вводят вектор Герца [12] ( , ).

, . (11.9)

В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, так как для представления ЭМП необходим переход к и . В квантовой электродинамике и j считаются фундаментальными величинами [1–3].

Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве.Решение уравнений (11.7) и (11.8) в безграничном пространстве упрощается. В пространстве вне точечного источника r_ст = 0.

Для точечного заряда в ССК и ЦСК решение имеет вид [1–4]

. (11.10)

При v®¥ (мгновенное распространение действия ЭМП) из уравнений (11.8) получается уравнение С. Пуассона [1, 6, 11] : .

При точках незаряженной области (r = 0) уравнение Пуассона (11.15) переходит в уравнение П. Лапласа [6, 11] : .

Волновое уравнение для векторного потенциала имеет вид [1–3, 11]

(11.11)

Полученные решения (11.10) и (11.11) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников. В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значением не в текущий момент времени t, а в предшествующий момент t – r/v. Поэтому решения (11.10) и (11.11) называют запаздывающими потенциалами. Время запаздывания r/v как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояние r с конечной скоростью v [11].

Сравнивая уравнения (11.10) и (11.11) с (5.5) и (5.6), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн.

При решении задач электродинамики выделяют внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренней называется задача определения ЭМП внутри области V, ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 11.1), при заданных на ней граничных условиях для векторов ЭМП. Примеры внутренней задачи – определение ЭМП в объемном резонаторе, определение функции распределения тока в антенне заданной конструкции.

Внешняя задача электродинамики заключается в решении уравнений Максвелла для неограниченного пространства вне области V, ограниченной замкнутой поверхностью S , при наличии источников ЭМП. Примеры внешней задачи – определение ЭМП антенны в свободном пространстве при известном распределении тока в антенне, решение задач дифракции.

При постановке задач электродинамики необходимо ввести начальные и граничные условия, сообщающие этим задачам физическую определенность [1]. Векторы ЭМП не могут иметь произвольную зависимость от координат и времени. Например, есть ограничения на скорость убывания амплитуд и .

Из закона сохранения энергии следует [1], что в пространстве без потерь каждый из векторов и должен убывать не медленнее, чем 1/r . Это условие называется условием излучения на бесконечности [1]:

= 0 ; = 0 . (11.12)

Условия (11.12) эквивалентны условиям излучения Зоммерфельда

= 0 ; = 0 . (11.13)

Знак при вторых слагаемых в уравнениях (11.13) определяет, что условия записаны для ЭМВ, которая расходится (удаляется) от источника [1, 5]. При наличии потерь в пространстве, которые учитываются коэффициентом затухания a, векторы ЭМП убывают быстрее – пропорционально exp(–ar)/r.

Существуют принципы и теоремы электродинамики, которые позволяют существенно упростить решение задач электродинамики и теории антенн.

Теорема единственности решений уравнений Максвелла.Методы решения уравнений ЭМП могут быть различными, поэтому необходимо доказать, что решение, полученное любым методом, является единственным. В учебных пособиях [1, 12] приведено доказательство того, что если при решении уравнений Максвелла при определенных начальных и граничных условиях получены значения векторов ЭМП ( и ), то это решение будет единственным.

Принцип двойственности. Для решения задач теории ЭМП удобно ввести понятия магнитных токов и зарядов. Как отмечалось ранее, эти величины являются фиктивными и вводятся как эквивалент действия электрических токов.

При наличии магнитных источников уравнения Максвелла (2.20)–(2.21) уступают место следующим [1, 13]:

= = , , (11.14)

= = , . (11.15)

где и – плотности сторонних электрического и магнитного токов соответственно; s_м – удельная эквивалентная магнитная проводимость; и – объемные плотности электрического и магнитного зарядов.

Сопоставляя уравнения Максвелла и выражения (11.14)–(11.15), нетрудно убедиться, что одни полностью переходят в другие при следующей замене:

® , ® , ® , ® , ® , e_a « µ_a , s_э « s_м,

, ® – , ® – , ® – , ® – , ® – . (11.16)

Следует отметить, что размерности эквивалентных величин несколько отличаются от обычных в системе СИ. Оказывается, что измеряется в вольтах на метр квадратный, а не в амперах на метр квадратный, как , I_м – в вольтах (размерность U), Q_м – в веберах (размерность Ф), s_м – в омах на метр (размерность удельного сопротивления) [1, 7], то есть размерности прямой и обратной замены отличаются как сопротивление и проводимость!

Таким образом, если найдено ЭМП заданных электрических источников, то достаточно сделать замену (11.16) в готовом решении задачи, и это непосредственно приведет к выражению ЭМП излучения магнитных источников.

Общий смысл принципа двойственности состоит в том, что при определенных условиях электрическое и магнитное поля «меняются ролями». Кроме того, симметрия системы уравнений Максвелла (11.14)–(15.9) подчеркивает равноправие электрических и магнитных составляющих в переменном ЭМП.

Лемма Лоренца. Пусть в некоторой линейной среде имеется два электрических источника, характеризуемых функциями плотности стороннего электрического тока и соответственно (рис. 11.2). После преобразований

. (11.17)

Интегрируя уравнение (11.17) по области V, ограниченной поверхностью S, охватывающей источники ЭМП, с учетом теоремы Остроградского – Гаусса (2.11) получим

. (11.18)

Соотношения (11.17) и (11.18) – это соответственно дифференциальная и интегральная формулировки леммы Лоренца, устанавливающей важные связи между полями двух источников.

В случае свободного пространства в дальней зоне источников (S®∞) левая часть соотношения (11.18) стремится к нулю [1, 5, 6], а это приводит к таким соотношениям:

, . (11.19)

Принцип взаимности разделенных источников. В случае, когда источники разделены в пространстве, первый источник расположен в области V₁, а второй – в области V₂ (рис. 11.2), соотношения (11.19) принимают форму

. (11.20)

Интеграл справа можно истолковать как некоторую характеристику взаимодействия ЭМП первого источника с ЭМП второго; аналогичный смысл имеет интеграл слева. Очевидно, что характеристики такого рода равны независимо от типа источников и изотропных сред, в которых они расположены.

Соотношение (11.20) выражает принцип взаимности, подразумевая пространственно разделенные источники и их поля.

Для двух линейных токов из выражения (11.20) следует [1]

, (11.21)

где и представляют собой э. д. с., наводимые на каждом из линейных элементов (I1) и (I2) полем другого источника.

Равенство (11.21) можно представить в другой форме:

Þ , (11.22)

где и имеют смысл взаимных сопротивлений.

Принцип взаимности проявляется в том, что э. д. с., наводимая на первом элементе заданным током второго, оказывается такой же, как и э. д. с. на втором элементе при равном токе первого [1].

Э. д. с., наводимая в приемной антенне в зависимости от ее ориентации, изменяется по тому же закону, что и ЭМП в дальней зоне, создаваемое этой антенной в режиме передачи. То есть направленность действия антенны при приеме и передаче одинакова. В теории антенн принцип взаимности позволяет использовать характеристику направленности передающей антенны (ДН) при использовании этой антенны в качестве приемной, а также использовать измеренную характеристику ДН приемной антенны и в режиме передачи.

Среды, устройства и системы, в которых выполняется принцип взаимности, называют взаимными [1].

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 11, 15, с. 55–59, 83–90; 2, с. 75–78, 123–126, 132–139, 150–152; 3, гл. 11, с. 51–55; 4, с. 47–50; 5, с. 21–24, 52–55, 223–239; 6, с. 128–138, 172, 205–212; 7, с. 63–67, 244–279; 8, с. 18–25, 57–61; 9, с. 60–61, 143–154, 157–159; 10, с. 68–70; 11, с. 61–75, 121–125; 12, с. 63–65, 94–98, 106–132; 13, с. 134–140, 150–155, 165–168, 238–241; 32, с. 13–17; 34, с. 5–10; 35, с. 11–13; 36, с. 9–12].

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение электродинамическим потенциалам ЭМП.

2. Что дает введение электродинамических потенциалов?

3. Почему потенциалы называют «запаздывающими»?

4. Существует ли связь электродинамических потенциалов с энергией ЭМП?

5. С помощью какого из электродинамических потенциалов можно охарактеризовать потенциальную энергию зарядов в электростатическом поле?

6. Какой потенциал связан с потенциальной энергией токов в случае стационарного магнитного поля?

7. Каково место электродинамических потенциалов в теории ЭМП и теории антенн?

8. Укажите условия калибровки волновых уравнений для электродинамических потенциалов. Зачем нужны условия калибровки?

9. Можно ли скалярный потенциал назвать «электростатическим»?

10. Существуют ли магнитные токи и заряды?

11. Дайте определение внешней и внутренней задач электродинамики.

12. В чем смысл принципа двойственности?

13. Назовите формулировку теоремы единственности. Какие требования предъявляются к функциям, описывающим ЭМП для выполнения теоремы единственности?

14. Дайте формулировку принципа эквивалентности.

15. В чем заключается смысл теоремы взаимности?

Уравнения Максвелла

К середине XIX века ученые открыли целый ряд законов, описывающих электрические и магнитные явления и связи между ними. В частности, были известны:

• закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между электрическими зарядами,
• теорема Гаусса, исключающая возможность существования в природе изолированных магнитных зарядов (магнитных монополей),
• закон Био—Савара, описывающий магнитные поля, возбуждаемые движущимися электрическими зарядами (см. такжеЗакон Ампера и Открытие Эрстеда), и
• законы электромагнитной индукции Фарадея, согласно которым изменение магнитного потока порождает электрическое поле и индуцирует ток в проводниках (см. такжеПравило Ленца).

Эти четыре группы законов и были обобщены Джеймсом Клерком Максвеллом, которому удалось объединить их в стройную систему (получившую его имя), состоящую из четырех уравнений и исчерпывающим образом описывающую все измеримые характеристики электромагнитных полей и электрических токов, которая названа его именем. Прежде всего, Максвеллу мы обязаны строгим математическим описанием всех известных законов электромагнетизма (Фарадей, например, вообще формулировал все открытые им законы исключительно в словесной форме). Во-вторых, в сформулированную им систему Максвелл внес немало принципиально новых идей, отсутствовавших в исходных законах. В-третьих, он придал всем электромагнитным явлениям строгое теоретическое обоснование. И, наконец, в-четвертых, на основе составленной им системы уравнений Максвелл сделал ряд важных предсказаний и открытий, включая предсказание существования спектра электромагнитного излучения.

Давайте начнем со второго пункта. Согласно закону Био—Савара, электрический ток, проходящий по проводнику, возбуждает вокруг него магнитное поле. А что если электрический ток протекает не по проводнику, а через плоский конденсатор? Фактически, электроны не перескакивают с одной пластины на другую, однако ток всё равно проходит через конденсатор, поскольку электроны одной пластины взаимодействуют с электронами другой пластины, находясь в непосредственной близости друг от друга, и, в силу взаимного отталкивания, передают друг другу колебания (так называемые осцилляции) переменного тока, обеспечивая, тем самым, протекание тока через, казалось бы, очевидный разрыв в электрической цепи.

Максвелл понял, что закон Ампера в этой ситуации не объясняет прохождение тока. Он также понял, что, хотя заряды с пластины на пластину не переходят, электрическое поле (сила, которая возникла бы, если бы мы поместили между пластинами воображаемый электрический заряд) увеличивается. Исходя из этого он постулировал, что в мире электромагнитных явлений изменяющееся электрическое поле может играть ту же роль в порождении магнитного поля, что и электрический ток. Максвелл ввел принципиально новое понятие тока смещения, добавив его в качестве отдельного слагаемого в обобщенный закон Ампера — первое уравнение Максвелла. И с тех пор наличие токов смещения раз за разом безоговорочно подтверждается экспериментальными данными.

Внеся столь важное дополнение в первое из четырех уравнений, Максвелл на основании составленной им системы уравнений чисто математически вывел фантастическое по тем временам предсказание: в природе должны существовать электромагнитные волны, формирующиеся в результате колебательного взаимодействия электрических и магнитных полей, и скорость их распространения должна быть пропорциональна силе между зарядами или между магнитами. Решив составленное им дифференциальное волновое уравнение, Максвелл с удивлением обнаружил, что скорость распространения электромагнитных колебаний совпадает со скоростью света, к тому времени уже определенной экспериментально. Это означало, что столь знакомое всем явление, как свет, представляет собой электромагнитные волны! Более того, Максвелл предсказал существование электромагнитных волн во всем известном спектре — от радиоволн до гамма-лучей. Таким образом, доскональное теоретическое исследование природы электричества и магнетизма привело к открытию, принесшему человечеству неисчислимые блага — от микроволновых печей до рентгеновских установок в стоматологических клиниках.

Шотландский физик, один из самых выдающихся теоретиков XIX столетия. Родился в Эдинбурге, происходит из старинного дворянского рода. Учился в Эдинбургском и Кембриджском университетах. Первую научную статью (о методе начертания идеального овала) опубликовал в возрасте 14 лет. Максвелл занимал должность профессора кафедры экспериментальной физики Кембриджского университета, когда в 48 лет безвременно скончался от рака.

Первым большим теоретическим исследованием Клерка Максвелла, как его часто именуют, стала работа по теории цвета и цветного зрения. Он первым показал, что вся гамма видимых цветов может быть получена путем смешения трех основных цветов — красного, желтого и синего; объяснил природу дальтонизма (дефекта зрения, приводящего к нарушению восприятия цветовой гаммы) врожденным или приобретенным дефектом рецепторов сетчатки глаза. Он первым изобрел реально работающий цветной фотоаппарат (с использованием тартановой ленты в качестве светочувствительного материала) и продемонстрировал его работу на собрании Лондонского королевского общества в 1861 году. Как бы между делом тщательно рассчитал возможную структуру колец Сатурна и доказал, что они не могут быть жидкими, как ранее считалось, а должны состоять из твердых частиц.

Максвелл внес важный вклад в развитие многих отраслей естествознания. Но, пожалуй, наиважнейшее его достижение состоит в развитии теории электромагнетизма и постановке ее на прочную математическую основу. Заниматься этим вопросом Максвелл начал в середине 1850-х годов. По иронии судьбы Максвелл твердо верил в существование светоносного эфира, и все свои уравнения выводил исходя из того, что эфир существует, и в нем возбуждаются электромагнитные волны, имеющие, как следствие, конечную скорость распространения. До результатов опыта Майкельсона—Морли, опровергающих теорию существования эфира, Максвелл не дожил. (Как не дожил он и до безоговорочного признания своей теории. Окончательно волновая природа света и правильность уравнений Максвелла были подтверждены опытами Герца лишь в 1888 году, а до того времени большинство физиков, включая самого Герца, с недоверием относились к столь смелой теории. — Примечание переводчика.) К счастью для него и для нас, теорию Максвелла этот опыт не отменил, поскольку уравнения Максвелла выполняются независимо от наличия или отсутствия эфира.

Наконец, Максвелл внес огромный вклад в становление статистической механики, найдя распределение молекул газа по скоростям, ставшее краеугольным камнем молекулярно-кинетической теории. Наконец, сам же Максвелл и подметил несовершенство этой теории, сформулировав парадокс, позже получивший название демона Максвелла.

Великолепная математическая модель Максвелла, «вынудившая» Эйнштейна «изобрести» относительность Времени, —
горестно подтверждает вдвоём оксюморон Прудона:
«Заблуждения — ступени науки.»

Поразительно тупо . молчание всех виденных мною учебников про нулевое поле Максвелла между одинаково заряженными плоскостями, — дальнодействующими!