Уравнения для проверки знаний 9 класс

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

Тесты по математике для 9 класса

Тесты по математике для 9 класса

Проверка знания школьной программы

Проверка знания школьной программы

Расскажи друзьям!

Как пройти тест?

1. Перейти по ссылке выбранного теста на этой странице

Регистрация не требуется.

Чтобы оставить свое имя
в таблице результатов
нужно успешно сдать тест
после регистрации и входа в МетаШколу!

Родители!

Хотите получить объективную информацию об уровне подготовки Вашего ребенка?

Предложите пройти тест!

Запишись на курс!

Повтори школьную программу!

1. Зарегистрируйся в МетаШколе
2. Войди в МетаШколу со своим логином и паролем
3. Перейди по ссылке «Все курсы»
4. Выбери и оплати курс!

Запишись в кружок!

Подготовься к олимпиадам!

1. Зарегистрируйся в МетаШколе
2. Войди в МетаШколу со своим логином и паролем
3. Перейди по ссылке «Все кружки»
4. Выбери и оплати кружок!

Стоимость обучения

1600 руб. за кружок по олимпиадной программе за период февраль — май (за 4 месяца).

Алгебра, 9 класс

9 класс — Упрощение выражений с помощью свойств n-го арифметического корня

9 класс — Нахождение абсциссы вершины параболы

9 класс — Определение знака коэффициента `a` для параболы `y = ax^2 + bx + c`

9 класс — Влияние знака коэффициента `a` на вид параболы `y = ax^2 + bx + c`

9 класс — Влияние знака коэффициента `a` на вид параболы `y = ax^2 + bx + c`

9 класс — Степень с целым показателем,вычисление и упрощение

9 класс — Запись числа в стандартном виде

9 класс — Извлечение арифметического корня натуральной степени

9 класс — Применение свойств арифметического n-го корня в вычислениях

9 класс — Вычисление выражений с применением свойств степеней с рациональным показателем

9 класс — Решение показательных уравнений

9 класс — Возведение в степень числового неравенства

9 класс — Нахождение области определения функции

9 класс — Нахождение значения функции в заданной точке

9 класс — Вид графиков функций с учетом области определения

9 класс — Определение чётности или нечётности функции

9 класс — Функция `y=k/x` (гипербола)

9 класс — Решение практических задач по теме: функция `y=k/x`

9 класс — Решение неравенств, содержащих степень

9 класс — Решение уравнений, содержащих степень

9 класс — Нахождение разности арифметической прогрессии

9 класс — Нахождение разности арифметической прогрессии, если известны первый и n-ый члены

9 класс — Нахождение недостающего члена прогрессии

9 класс — Нахождение n-го члена прогрессии, если известны разность и первый член

9 класс — Нахождение суммы первых n членов через первый и n-ый элементы прогрессии

9 класс — Определить, возрастает или убывает арифметическая прогрессия

9 класс — Нахождение знаменателя геометрической прогрессии

9 класс — Нахождение недостающего члена прогрессии

9 класс — Нахождение n-го члена прогрессии, если известны знаменатель и первый член

9 класс — Вычисление суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

9 класс — Умение узнавать виды геометрических прогрессий

9 класс — Нахождение суммы первых n членов геометрической прогрессии

9 класс — Умение распознать арифметическую или геометрическую прогрессии среди числовых последовательностей

9 класс — Умение вычислять n-ый член последовательности, если дана формула общего члена

9 класс — Определение формулы общего члена числовой последовательности

9 класс — Умение вычислять n-ый член посл-ти по рекуррентной формуле

Наш тренажер не только поможет подготовиться к итоговым контрольным и экзаменам. С его помощью можно подтянуть знания по алгебре, 9 класс, проработать темы, в которых вы чувствуете себя неуверенно. Для школьников, которым в конце года предстоит ОГЭ, это очень актуально. Важно не откладывать принятие решения о необходимости дополнительных занятий, а начать выполнять тесты по алгебре , 9 класс, прямо сейчас.

Пройти пробный онлайн тест по алгебре 9 класс можно совершенно бесплатно. Достаточно выполнить все задания, предложенные системой. Для этого не потребуется брать бумагу и ручку, только выбрать верный ответ из тех, что предложены на экране. Но это не так просто, как кажется. Задания сформированы таким образом, что позволяют легко определить, как вам дается алгебра, 9 класс. Более того, в основе тренажера лежит интеллектуальная образовательная платформа, позволяющая распознавать уровень подготовки и анализировать ответы, выстраивая рейтинг.

На основе анализа ошибок тренажер определяет, на какие темы обратить особое внимание, и помогает сформировать устойчивый учебный навык в решении задач. С его помощью учителя и родители могут легко осуществлять контроль знаний, 9 класс, алгебра, у одного ученика или целого класса. Можно организовать своеобразное соревнование, ведь вместе заниматься гораздо веселее и эффективнее. Особенно это важно для учеников выпускных классов.

Если у вас хромает алгебра, 9 класс, подготовка к экзамену может вестись в течение всего года в удаленном режиме. С учетом последних событий это очень важно. Каждый день используя тренажер, вы легко и быстро научитесь решать сложные задачи и уравнения. Можно выполнять задания по интересующей вас теме или пройти полный мини-курс по математике – алгебре и геометрии.

Для того чтобы тренажер по алгебре 9 класс можно было использовать в любое время, оформите доступ к образовательной платформе. Выбирайте, какой вариант вас больше устроит: на 1 месяц, полугодие или целый учебный год. Вы получите полный доступ к тренажеру и сможете тренироваться в удобном режиме дома и в школе.

Если вам тяжело дается алгебра, тестирование, 9 класс, поможет справиться с проблемами и отлично подготовиться к ОГЭ. Всего полчаса-час ежедневно с использованием интерактивного тренажера, и вы с легкостью будете решать сложные задачи и уравнения. Многочисленные положительные отзывы наших учеников и родителей подтверждают это.