Уравнения движения автомобиля велосипедиста описываются

Движение двух велосипедистов описывается уравнениями x1 = 12t и х2=120— 10t. Опишите характер движения каждого велосипедиста, найдите

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,292
• гуманитарные 33,622
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,160
• разное 16,830

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Характеристики механического движения

1.Расчет характеристик механического движения

Задачи для практической работы

1.Движение грузового автомобиля описывается уравнением

x₁= -270 + 12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе-уравнением x₂= -1,5t. Сделать пояснительный рисунок, т.е. график движения. С какими скоростями они двигались? Когда и где они встретились?

2.По заданным графикам на рисунке 1 найти начальные координаты тел. Написать уравнения движения тел. Из графиков и уравнений найти время и место встречи тел, движения которых описываются графиками 2 и 3.

3.Движение двух мотоциклистов заданы уравнениями: x₁=10t, x₂=200 — 10t. Построить графики движения. Найти время и место встречи.

4.Мотоциклист на расстоянии 10 м от железнодорожного переезда начал тормозить. Его скорость в это время была 20 км/ч. Определить положение мотоцикла относительно переезда через 1с от начала торможения. Ускорение мотоцикла 1м/с 2 .

5.За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с 2 , пройдет 30 м?

6.Тело, двигаясь прямолинейно с ускорением 5 м/с 2 , достигло скорости 30 м/с, а затем, двигаясь остановилось через 10 с. Определить путь, пройденный телом.

7.Мальчик съехал на санках с горы длинной 40 м за 10 с, а затем проехал по горизонтальному участку еще 20 м до остановки. Найти скорость в конце горы, ускорения на каждом из участков, общее время движения. Начертить график скорости.

8.Мотоциклист начал своё движение из состояния покоя и в течение первых 10 с двигался с ускорением 1 м/с 2 ; затем в течение 0,5 мин он двигался равномерно и последние 100м — равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график скорости.

Примеры решения задач

9.На рисунке 2 показана траектория движения матери­альной точки из А в В. Найти координаты точки в начале и конце движения, проекции перемещения на оси координат, модуль перемещения.

Чтобы найти координаты точки в начале и в конце движения, надо из соответствующих точек опустить перпендикуляры на оси координат. Тогда имеем: А (20; 20), В (60; -10). Для определения проекций вектора перемещения на оси надо из координаты конца вычесть координату начала:

(АВ)х = 60 м — 20 м = 40 м; (АВ)y = -10 м — 20 м = -30 м.

Для определения модуля АВ воспользуемся формулой

10.На рисунке 3 показана траектория ABCD движения материальной точки из А в D.

Найти координаты точки в начале и конце движения, пройденный путь, перемещение, проекции пе­ремещения на оси координат.

Координаты точки в начале движения: А (2; 2); в конце движения — D (6;2).

Путь l равен сумме отрезков АВ, ВС и СD.

АВ = 8 м, ВС = 4 м, CD = 8м => l = 8м + 4м + 8м = 20м.

Проекции перемещения на оси координат:

Sx= 6м — 2м = 4м; Sy =2м — 2м=0.

Следовательно, модуль вектора перемещения |S| = Sx = 4 м.

11.Движения двух велосипедистов заданы уравнениями:

Построить графики зависимости x(t). Найти время и место встречи.

Построить графики зависимости x(t). Найти время и место встречи.

Построим графики по общим правилам построения линейных функций

Решим систему уравнений

Ответ: два велосипедиста встретятся через 10 с после начала движения в точке с координатой 50 м

12.Графики движения двух тел представлены на рисунке 5. Написать уравнения движения х = x(t). Что означают точ­ки пересечения графиков с осями координат?

Точки пересечения графиков с осью x показывают начальную координату движения, т.е. X0

Точки пересечения графиков с осью t показывают момент времени прохождения начала координат.

Так I тело было в точке начала координат за 10 с до начала отсчета времени, а II тело – через 5 с после начала наблюдения

13.На рисунке 6 приведены графики движения ве­лосипедиста I и движения мотоциклиста II в системе отсчета, связанной с землей. Написать уравнение движения велосипе­диста в системе отсчета, связанной с мотоциклистом, и построить график его движения в этой системе.

В общем виде уравнения прямолинейного равномерного движения велосипедиста и мотоциклиста в системе отсчета, связанной с землей, имеют вид:

Из приведенных в условии задачи графиков следует, что начальные координаты велосипедиста и мотоциклиста равны

соответственно. Проекции скоростей:

Тогда, подставляя в (1),

Уравнение движения велосипедиста в системе отсчета, связанной с мотоциклистом:

Смысл, полученного выражения заключается в том, что при первоначальном расстоянии в 400 м велосипедист первые 40с приближается к мотоциклисту на 10 м за каждую секунду, а затем удаляется от него с такой же по модулю скоростью. Их встреча произошла в тот момент, когда х’ =0, т. е. при t = 40 с.

Ответ: Х . / _I= 400 – 10t.

14.Скорость поезда за 20с уменьшилась с 72 до 54 км/ч. Написать формулу зависимости скорости от времени и построить график этой зависимости.

V0= 72 км/ч = 20 м/с.

V1= 54 км/ч = 15 м/с.

Определяем точки для построения графика

Ответ: = 20 — 0,25t.

15. По заданным на рисунке 8 графикам написать уравнения Vx = Vx(t).

16.Велосипедист начал свое движение из состояния покоя и в течение первых 4 с двигался с ускорением 1 м/с 2 ; затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м — равнозамедленно до остановки. Найти среднюю скорость за все время движения. Построить график зависимости Vx(t).

Построим график проекции скорости велосипедиста:

Урок по физике на тему «Равномерное прямолинейное движение. Уравнения и графики. Мгновенная скорость и ускорение. Свободное падение тел. Движение по окружности.» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Равномерное прямолинейное движение. Уравнения и графики. Мгновенная скорость и ускорение. Свободное падение тел. Движение по окружности.

Цель: изучить характеристики прямолинейного равномерного движения; сформулировать понятие скорости и ускорения; движение точки по окружности.

1. Характеристики прямолинейного равномерного движения, графики.

2. Скорость при прямолинейном равномерном движении, ускорение.

3. Движение точки по окружности.

Задание для самопроверки.

1. Материальная точка движется равномерно от центра вращающегося диска по его радиусу. В какой системе отсчета траектория точки будет прямой линией?

2. Автомобиль преодолел подъем длиной 200 м с углом наклона к горизонту 30°. Определите перемещение автомобиля в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Изложение нового материала

Определение прямолинейного равномерного движения. С прямолинейным равномерным движением Вы уже знакомы из курсов физики и математики предыдущих классов: в большинстве задач на движение рассматривалось именно такое движение. Следует дать определение прямолинейного равномерного движения, привести примеры и подчеркнуть существенный признак такого движения: равенство перемещений в любые сколь угодно малые промежутки времени.

Можно пронаблюдать за равномерным движением воздушных пузырьков в двух стеклянных трубках разного сечения и выяснить, чем отличаются эти равномерные движения. Опыт позволяет получить понятие скорости.

Скорость при прямолинейном равномерном движении. Скорость — одна из основных кинематических характеристик движения материальной точки, определяемая отношением перемещения к интервалу времени, в течение которого оно произошло:

Из этой формулы следует, что

Удобно направить ось х вдоль прямой, по которой движется тело: тогда единственная отличная от нуля проекция скорости

Проекция скорости v _x может быть как положительной, так и отрицательной — в зависимости от того, в каком направлении оси х движется тело.

Перемещение при прямолинейном равномерном движении. Формулы для зависимости проекции перемещения s _x и координаты х от времени имеют вид:

Вопросы для самопроверки.

Можно ли утверждать, что тело движется прямолинейно равномерно, если оно:

за каждую секунду проходит путь, равный 1 м;

движется вдоль прямой в одном направлении и за каждую секунду проходит путь 3 м?

Какая скорость больше: 15 м/с или 36 км/ч?

Можно ли, зная начальное положение тела и длину пройденного пути, определить его конечное положение?

Задачи для самопроверки

1. Какие из приведенных ниже формул описывают прямолинейное равномерное движение? Какие формулы вообще не могут описывать реальное движение: a ) s = 5 — 2 t ; б) v = 5 – 2 t ; в) х = 5 — 2 t ; г) l = 5 — 2 t ?

2. Тело движется прямолинейно равномерно. Обязательно ли являются линейными функциями времени: а) пройденный путь; б) модуль перемещения; в) модуль координаты?

3. При равномерном движении вдоль оси ОХ координата точки за первые 5с изменилась от значения х₀ = 10 м до значения Х1 = -10 м. Найдите модуль скорости точки и проекцию вектора скорости на ось ОХ. Запишите формулу зависимости х( t ). (Ответ: 4 м/с; -4 м/с; х = 10 – 4 t .)

Для конспекта студента.

■ Прямолинейным равномерным движением называется движение, при котором тело за любые равные интервалы времени совершает одинаковые перемещения.

■ Скорость прямолинейного равномерного движения равна отношению перемещения тела к интервалу времени, за который совершено это перемещение:

■ Зависимость от времени перемещения, проекции перемещения и координаты тела:

Контрольное задание №1

1) Сколько времени потребуется поезду длиной 450 м, чтобы преодолеть мост длиной 750 м, если скорость поезда 72 км/ч?

2) Один автомобиль, двигаясь со скоростью 16 м/с, проехал туннель за 30 с, а другой автомобиль, двигаясь равномерно, проехал тот же туннель за 24 с. Какова скорость второго автомобиля?

3)Тело движется в отрицательном направлении оси ОХ со скоростью 36 км/ч. Начальная координата равна 20 м. Найдите координату тела через 4 с. Какой путь прошло тело?

4) Собака бежит за велосипедистом по прямолинейному участку шоссе. Движение велосипедиста описывается уравнением X1 = 25 + 10 t , а движение собаки — уравнением х₂ = -35 + 12 t . Опишите оба движения (укажите тип каждого движения и значения характеризующих его величин), постройте графики X 1( t ) и X 2( t ) . Догонит ли собака велосипедиста? Если догонит, то когда и где это произойдет?

Самостоятельная работа № 1
«Прямолинейное равномерное движение»

1. Сколько времени потребуется скорому поезду длиной 150 м, чтобы проехать мост длиной 850 м, если скорость поезда равна 72 км/ч?

2. Двигаясь равномерно прямолинейно, тело за 10 с преодолело 200 см. За сколько часов это тело, двигаясь с той же скоростью и в том же направлении, преодолеет путь 36 км?

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

В каждый данный момент времени движущаяся точка может находиться только в одном определенном положении на траектории. Поэтому ее удаление от начала координат есть некоторая функция времени t . Зависимость между переменными s и t выражается уравнением s = f ( t ). Траекторию движения точки можно задать аналитически, т. е. в виде уравнений: s = 2 t + 3, s = 4 t или графически.

Графики — «международный язык». Овладение ими имеет большое образовательное значение. Поэтому необходимо научиться не только строить графики, но и анализировать их, читать, понимать, какую информацию о движении тела можно получить из графика.

Графики зависимости проекции перемещения от времени.

График функции s _x = f ( t ) называется графиком движения.

Наклон графика тем больше, чем больше модуль скорости.

Графики зависимости проекции скорости от времени. Наряду с гра фиками движения часто используются графики скорости v _x = f ( t ) . При изучении равномерного прямолинейного движения необходимо научиться строить графики скорости и пользоваться ими при решении задач.

График функции v _x ( t ) — прямая, параллельная оси t . Если v _x > О, эта прямая проходит выше оси t , а если v _x 0, то ниже (рис. 2).

Площадь фигуры, ограниченной графиком u _x ( t ) и осью t , численно равна модулю перемещения (рис. 3).

Наряду с графиком скорости очень важны графики координаты движущегося тела, так как они дают возможность определить положение движущегося тела в любой момент времени.

Графики зависимости координаты от времени. График x ( t ) = = x ₀ + s _x ( t ) отличается от графика s _x ( t ) только сдвигом на х ₀ по оси ординат. Точка пересечения двух графиков соответствует моменту, когда координаты тел равны, т. е. эта точка определяет момент времени и координату встречи двух тел (рис. 4).

По графикам x ( t ) видно, что велосипедист и автомобиль в течение первого часа двигались навстречу друг другу, а затем — удалялись друг от друга.

Графики пути. Полезно обратить внимание на отличие графика координаты (перемещения) от графика пути. Только при прямолинейном движении в одном направлении графики пути и координаты совпадают. Если направление движения изменяется, то эти графики уже не будут одинаковыми (рис. 5).

Обратите внимание: хотя велосипедист и автомобиль движутся в противоположных направлениях, в обоих случаях путь возрастает со временем.

Вопросы для самопроверки студента

1. Графики х ( t ) для двух тел параллельны. Что можно сказать о скорости этих тел?

2. Графики l ( t ) для двух тел пересекаются. Обозначает ли точка пересечения графиков момент встречи этих тел?

Контрольные задания №2

Опишите движения, графики которых приведены на рис. 6. Запишите для каждого движения формулу зависимости x ( f ).

По графикам скорости (рис. 7) запишите формулы и постройте графики зависимости s _x ( t ).

По приведенным на рисунке графикам скорости (см. рис. 8) запишите формулы и постройте графики зависимости s _x ( t ).

НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ. УСКОРЕНИЕ

1. Неравномерное движение. Из повседневной жизни известно, что равномерное движение встречается редко. Чаще приходится сталкиваться с движением, при котором скорость с течением времени меняется. Такое движение называют неравномерным.

2. Средняя скорость. Так как скорость при неравномерном движении изменяется во времени, то формулой для вычисления перемещения пользоваться нельзя, поскольку скорость является переменной величиной и неизвестно, какое именно ее значение нужно подставить в эту формулу. Однако в некоторых случаях можно рассчитывать перемещение, если ввести величину, называемую средней скоростью. Она показывает, какое перемещение совершает тело в среднем за единицу времени, т. е.

Средняя скорость v _cp — векторная величина: ее направление совпадает с направлением s , а ее модуль v _cp = s / t .

3. Средняя путевая скорость. Однако средняя скорость не всегда подходит для описания движения. Рассмотрим такой пример: автомобиль выехал из гаража и через 2 часа вернулся обратно. Спидометр показывает, что автомобиль проехал 100 км. Какова средняя скорость движения?

Правильный ответ: средняя скорость равна нулю, потому что тело вернулось в начальную точку, т. е. перемещение тела равно нулю. Возможен и другой ответ, если определять не среднюю скорость, а среднюю путевую скорость, равную отношению пути, пройденному телом, ко времени движения: . Поскольку путь — скалярная величина, то и средняя путевая скорость (в отличие от средней скорости) является скалярной величиной.

Знание средней скорости не дает возможности определять положение тела в любой момент времени, даже если известна траектория его движения. Однако это понятие удобно для выполнения некоторых расчетов, например, времени движения.

4. Примеры решения задач.

Задача. Человек выехал из поселка по прямой дороге на велосипеде со скоростью v 1 =15 км/ч . В дороге велосипед сломался, и дальше человеку пришлось идти пешком со скоростью v 2 = 5 км/ч . Найдите среднюю скорость движения на всем пути, если: а) человек половину времени своего движения ехал и половину времени — шел; б) человек половину пути ехал и половину пути шел. Почему средняя скорость в случаях а и б не совпадает?

Решение. В обоих случаях движение происходит вдоль прямой в одном направлении, поэтому средняя скорость совпадает со средней путевой скоростью. Обозначим весь пройденный путь l , а все затраченное время t . Тогда

В случае «а» человек ехал в течение времени t 1 и такое же время t 2 шел пешком. Следовательно, он проехал путь l 1 = v 1 t 1 и прошел путь l 2 = v 2 t 2 .

Подставляя численные данные, получаем v _ср = 10 км/ч . При этом обращаем внимание: средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей на различных участках, если движение на каждом участке занимало одинаковое время.

В случае «б» человек проехал путь l 1 и такой же путь l 2 прошел пешком. Следовательно ехал он в течение времени t 1 , и шел в течение времени t 2 .

Подставляя численные данные, получаем и v _ср =7,5 км/ч . Как видим, в этом случае средняя скорость движения меньше, чем в первом. Это объясняется тем, что в случае «а» человек ехал и шел одинаковое время, а в случае «б» он проехал и прошел одинаковое расстояние, т. е. шел дольше, чем ехал.

Вопросы для самопроверки студента

Почему нельзя говорить о средней скорости переменного движения вообще, а можно говорить только о средней скорости за данный промежуток времени или о средней скорости на данном участке пути?

Во время езды на автомобиле через каждую минуту снимались показания спидометра. Можно ли по этим данным определить среднюю скорость движения автомобиля?

Автомобиль за час проехал по прямому шоссе 60 км, а за следующий час — 30 км назад. Какова средняя путевая скорость на всем пути? Средняя скорость?

Задачи для самопроверки

Человек прошел по прямой дороге 3 км за 1 ч, потом повернул под прямым углом и прошел еще 4 км за 1 ч. Найдите среднюю и среднюю путевую скорости движения на первом этапе движения, на втором этапе и за все время движения. (Ответ: средняя скорость — 3 км/ч; 4 км/ч; 2,5 км/ч; средняя путевая скорость 3 км/ч; 4 км/ч; 3,5 км/ч.)

Человек проехал первую половину пути на автомобиле со скоростью 75 км/ч, а вторую половину — на велосипеде со скоростью 25 км/ч. Какова средняя путевая скорость на всем пути? (Ответ: 37,5 км/ч.)

Пешеход две трети времени своего движения шел со скоростью 3 км/ч. Оставшееся время — со скоростью 6 км/ч. Определите среднюю и среднюю путевую скорости движения пешехода. (Ответ: 4 км/ч.)

Для конспекта студента

■ Средняя скорость движения равна отношению перемещения тела ко времени t , в течение которого это перемещение произошло:

■ Средняя скорость — векторная величина.

■ Средняя путевая скорость равна отношению пути, пройденного телом, ко времени движения:

■ Средняя путевая скорость — скалярная величина.

Контрольные задания №3

1) Велосипедист проехал 80 км со скоростью 20 км/ч, а потом еще 60 км со скоростью 10 км/ч. Какова средняя путевая скорость его движения на всем пути?

2) Мотоциклист проехал 20 км за 30 мин, а затем ехал со скоростью 60 км/ч в течение 1,5 ч. какой была его средняя путевая скорость на всем пути?

3) Мотоциклист ехал сначала со скоростью 90 км/ч, а затем — со скоростью 30 км/ч. Какова средняя путевая скорость мотоциклиста на всем пути? Рассмотрите случаи, когда мотоциклист ехал со скоростью 90 км/ч: а) половину пути; б) половину времени.

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ. УСКОРЕНИЕ

Мгновенная скорость. Если скорость тела изменяется со временем, для описания движения нужно знать, чему равна скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Эта скорость называется мгновенной скоростью.

Можно также сказать, что мгновенная скорость — это средняя скорость за очень малый интервал времени. При движении с переменной скоростью средняя скорость, измеренная за различные интервалы времени, будет разной. Однако, если при измерении средней скорости брать все меньшие и меньшие интервалы времени, значение средней скорости будет стремиться к некоторому определенному значению. Это и есть мгновенная скорость в данный момент времени. В дальнейшем, говоря о скорости тела, мы будем иметь в виду его мгновенную скорость.

Ускорение. При неравномерном движении мгновенная скорость тела — величина переменная; она различна по модулю и (или) по направлению в разные моменты времени и в разных точках траектории. Все спидометры автомобилей и мотоциклов показывают только модуль мгновенной скорости.

Если мгновенная скорость неравномерного движения изменяется неодинаково за одинаковые промежутки времени, то рассчитать ее очень трудно. Такие сложные неравномерные движения нами не изучаются, поэтому рассмотрим только самое простое неравномерное движение — равноускоренное прямолинейное.

Прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные интервалы времени изменяется одинаково, называется равноускоренным прямолинейным движением.

Если скорость тела при движении изменяется, возникает вопрос: какова скорость изменения скорости? Эта величина, называемая ускорением, играет важнейшую роль во всей механике: ускорение тела определяется действующими на это тело силами.

Ускорением называется отношение изменения скорости тела к интервалу времени, за который это изменение произошло:

Единица измерения ускорения в СИ: . Если тело движется в одном направлении с ускорением 1 м/с 2 , его скорость изменяется каждую секунду на 1м/с.

Термин «ускорение» используется в физике, когда речь идет о любом изменении скорости,— в том числе и тогда, когда модуль скорости уменьшается или когда модуль скорости остается неизменным и скорость изменяется только по направлению.

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении. Из определения ускорения следует, что .

Таким образом, при прямолинейном равноускоренном движении проекция скорости линейно зависит от времени. Это означает, что графиком зависимости v _x ( t ) является отрезок прямой.

График скорости разгоняющегося автомобиля дан на рис. 1.

График скорости тормозящего автомобиля дан на рис. 2.

Вопросы для самопроверки

Чему равна мгновенная скорость камня, брошенного вертикально вверх, в верхней точке траектории?

О какой скорости — средней или мгновенной — идет речь в следующих случаях:

поезд прошел путь между станциями со скоростью 70 км/ч;

скорость движения молотка при ударе равна 5 м/с;

скоростемер на электровозе показывает 60 км/ч;

пуля вылетает из винтовки со скоростью 600 м/с?

Два поезда идут навстречу друг другу: один — ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

Контрольные задания №4

Тело движется равноускоренно. При этом v _Ox = 20 м/с, а_х = -4 м/с 2 . Сколько времени тело будет двигаться в том же направлении, что и в начальный момент? Начертите график v _x ( t ).

Чему равна проекция ускорения, если в моменты времени t ₁= 10 с и t ₂ = 30 с проекции скорости v _{1 x} = 30 м/с и v _{2 x} =10 м/с? Начертите график v _x ( t ).

Поезд через 10 с после начала движения прцобретает скорость 0,6 м/с. Через сколько времени от начала движения скорость поезда станет равной 3 м/с?

Для конспекта студента

■ Мгновенной скоростью называется скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории).

■ Ускорением тела называется отношение изменения скорости тела к интервалу времени, за который это изменение произошло:

■ Прямолинейным равноускоренным движением называется движение тела вдоль прямой с постоянным ускорением. При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела за любые равные интервалы времени изменяется на одну и ту же величину.

Уравнение скорости: .

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ
РАВНОУСКОРЕННОМ ДВИЖЕНИИ

1. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении.

Для решения основной задачи механики нужно найти закон движения, определяющий положение тела в любой момент времени, т. е. s = f ( t ). Для этого нужно уметь находить вектор перемещения, а для нахождения перемещения, в свою очередь, удобно воспользоваться графическим методом.

Сначала следует всмнить, что при равномерном движении проекция перемещения s _x численно равна площади фигуры, ограниченной графиком v _x ( t ) и осью Ot .

Это справедливо и для неравномерного движения, потому что время движения можно разбить на такие малые интервалы времени, в течение каждого из которых движение тела можно считать практически равномерным (рис. 1).

Воспользуемся этим, чтобы найти зависимость перемещения от времени при прямолинейном равноускоренном движении.

Если начальная скорость тела равна нулю, фигура, ограниченная графиком v _x ( t ) и осью Ot , — треугольник площадью a _x t 2 /2 (рис. 2).

Следовательно, при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости

Если начальная скорость тела не равна нулю, фигура, ограниченная графиком V _x ( t ) и осью Ot , — трапеция, состоящая из прямоугольника площадью v _Ox t и треугольника площадью a _x t 2 /2 (рис. 3).

Таким образом, при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью

2. Координата при прямолинейном равноускоренном движении. Поскольку х = х ₀ + s _x , получаем:

Средняя скорость при прямолинейном равноускоренном движении. Пользуясь выведенными выше формулами можно доказать, что

Это соотношение упрощает решение многих задач.

Соотношение между перемещением и скоростью. Для решения задач, в условии которых не задано время движения, полезны формулы, связывающие перемещение с начальной и конечной скоростями. Из формул

Если начальная скорость равна нулю, эта формула принимает вид:

Вопросы для самоконтроля

Когда модуль перемещения и пройденный путь совпадают?

Как связаны между собой проекции перемещения, модуль перемещения и пройденный путь при прямолинейном движении в одном направлении?

Как по графику скорости определить проекцию перемещения?

Контрольные задания №5

Уравнения движения различных тел, движущихся вдоль оси Ох, имеют вид (все величины измеряются в единицах СИ):

х = 5 + 3t – 6 t 2 ; в) х = -2 — 4t + 3 t 2 ;

x = 4 + 3t; г) x = 3-7t-2t 2 .

Какие из этих тел движутся равноускоренно? Чему равны при этом проекция начальной скорости и проекция ускорения а_х ? В каких случаях в начале движения тело движется в положительном направлении оси Ох ? В каких случаях скорость тела в начале движения увеличивается по модулю?

Автомобиль трогается с места и движется равноускоренно по прямому шоссе. За первую секунду автомобиль проходит 3 м. Какой путь пройдет автомобиль за первые 2 секунды? За первые 5 секунд?

Автомобиль начал движение с ускорением 0,5 м/с 2 в тот момент, когда мимо него равноускоренно проезжал трамвай со скоростью 18 км/ч. Какую скорость будет иметь автомобиль, когда догонит трамвай? Ускорение трамвая 0,3 м/с 2 .

Для конспекта студента

■ Проекция перемещения при движении без начальной скорости:

■ Проекция перемещения при движении с начальной скоростью:

■ Зависимость координаты от времени при движении с начальной скоростью:

■ Уравнение средней скорости:

■ Соотношение между перемещением и скоростью:

без начальной скорости: .

с начальной скоростью:

Контрольные задания №6

За первую секунду равноускоренного движения без начальной скорости тело прошло 5 м. Какое расстояние оно прошло за первые 3 с? За первые 10 с?

При прямолинейном равноускоренном движении за 10 с скорость тела уменьшилась с 20 м/с до 10 м/с. Каково перемещение тела за это время? Какова скорость через 5 с после начала наблюдения?

Тележка скатывается с наклонной плоскости равноускоренно. Пройдя расстояние 2 м, она приобретает скорость 1 м/с. Какое расстояние должна преодолеть тележка, чтобы приобрести скорость 2 м/с?

Пуля, летевшая со скоростью 400 м/с, пробила стену толщиной 20 см, в результате чего скорость пули уменьшилась до 100 м/с. Сколько времени двигалась пуля в стене?

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, БРОШЕННОГО ВЕРТИКАЛЬНО ВВЕРХ

1. Свободное падение. Ускорение свободного падения. Великий ученый древности Аристотель на основе наблюдений построил теорию, согласно которой чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает. Эта теория просуществовала две тысячи лет — ведь камень действительно падает быстрее, чем цветок!

Возьмем два тела, легкое и тяжелое, свяжем их вместе и бросим с высоты. Если легкое тело всегда падает медленнее, чем тяжелое, оно должно «притормаживать» падение тяжелого тела, и поэтому связка двух тел должна падать медленнее, чем одно тяжелое тело. Но ведь связку можно считать одним телом, еще более тяжелым, и, значит, связка должна падать быстрее, чем одно тяжелое тело!

Обнаружив это противоречие, Галилей решил проверить на опыте, как же в действительности будут падать шары разного веса: пусть ответ на этот вопрос даст сама природа. Он изготовил два шара и сбросил их с Пизанской башни — оба шара упали почти одновременно!

Падение тела в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, называют свободным падением.

Тот факт, что свободное падение тел — ускоренное движение, не вызывает сомнений. В этом легко убеждиться, наблюдая за движением падающего шарика и других тел. Однако на вопрос, является ли свободное падение равноускоренным движением, трудно ответить. Ответ на этот вопрос может дать эксперимент. Если, например, сделать ряд моментальных снимков падающего шарика через равные промежутки времени (стробоскопические фотографии), то по расстояниям между последовательными положениями шарика можно определить, что движение действительно является равноускоренным.

Значит .

Понятие свободного падения имеет широкий смысл: тело совершает свободное падение не только, когда его начальная скорость равна нулю. Если тело брошено вниз с начальной скоростью v ₀ , то оно будет при этом тоже свободно падать. Более того, свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость тела направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начинает падать вниз.

2. Зависимость скорости и координаты падающего тела от времени. Если совместить начало координат с начальным положением тела и направить ось Оу вниз, то графики v _y ( t ) и y ( t ) будут иметь следующий вид (рис. 1).

Таким образом, при свободном падении скорость тела увеличивается за каждую секунду примерно на 10 м/с (рис. 2).

3. Зависимость скорости и координаты тела, брошенного вертикально вверх, от времени. Далее следует рассмотреть случай, когда тело брошено вверх. Если совместить начало координат с начальным положением тела и направить ось у вертикально вверх, то проекции скорости и перемещения в начале движения будут положительными.

На рисунках 3, 4 приведены графики v _y ( t ) и y ( t ) для тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с.

4. Связь начальной скорости бросания и конечной скорости падения.

Далее можно сравнить уравнения для скоростей свободно падающего тела: v _y = v _Oy + gt и тела, брошенного вертикально вверх, v _y = v _Oy — gt .

Если начальная скорость свободно падающего тела равна нулю, то получим: v _y = gt . При достижении максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх, его конечная скорость равна нулю v _y = 0 . Тогда — 0 = v _Oy — gt . Откуда v _Oy = gt .

Сравнивая полученные выражения v _y = gt и v _Oy = gt , получим, что v _Oy = v _y , т. е. начальная скорость бросания равна конечной скорости падения.

Вопросы для самопроверки

Одинаковым ли будет время свободного падения различных тел с одной и той же высоты?

Чему равно ускорение тела, брошенного вертикально вверх, в верхней точке траектории?

Из одной точки падают без начальной скорости два тела с интервалом времени t секунд. Как движутся эти тела относительно друг друга в полете?

Контрольные задания №7

1. Тело свободно падает без начальной скорости. Какое расстояние оно • пролетает за первую секунду? За вторую секунду? За третью секунду?

Примите g = 10м/с 2 .

2. Камень падал с одной скалы 2 с, а с другой 6 с. Во сколько раз вторая скала выше первой?

Для конспекта студента

■ Свободным падением называется падение тела в условиях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь.

■ При свободном падении вблизи поверхности Земли все тела движутся с одинаковым ускорением, которое называется ускорением: свободного падения и обозначается g . Из опытов следует, что g = 9,8 м/с 2 .

■ Зависимость скорости от времени при движении с начальной скоростью:

.

РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

Особенности криволинейного движения. Внимание следует обратить на то, что криволинейные движения более распространены, чем прямолинейные. Любое криволинейное движение можно рассматривать как движение по дугам окружностей с различными радиусами. Изучение движения по окружности дает также ключ к рассмотрению произвольного криволинейного движения.

Далее перейдем непосредственно к рассмотрению равномерного движения по окружности, т. е. движения по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Основные характеристики равномерного движения по окружности. Период обращения Т — это время одного полного оборота.

Чтобы совершить один полный оборот, тело должно пройти путь 2π r (длина окружности). Следовательно,

Частота обращения «ύ» равна числу полных оборотов за единицу времени.

Единица измерения частоты [ ύ ]= .

Угловая скорость ώ =

где — угол поворота радиуса, проведенного к телу из центра окружности, по которой движется тело за время (рис. 1).

Угол измеряется в радианах (1 радиан (рад) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности; 1 рад = 57°), т. е. одному полному обороту соответствует угол 2π . Поскольку полный оборот тело совершает за время Т, получаем:

Единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с). Сравнивая формулу ώ = 2π/Т с формулой ύ = 1/Т , получаем связь между угловой скоростью и частотой: ώ = 2π r .

При криволинейном движении мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. А поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, то мгновенная скорость при движении по окружности в каждой точке траектории направлена перпендикулярно радиусу (рис. 2).

Ускорение при равномерном движении по окружности. При движении по окружности, как и при любом криволинейном движении, направление скорости изменяется со временем. А раз скорость тела изменяется — хотя бы только по направлению,— значит, тело движется с ускорением. При равномерном движении изменение скорости обусловлено только изменением направления скорости. Нетрудно доказать, что изменение скорости направлено перпендикулярно скорости — по радиусу к центру окружности.

Ускорение направлено так же, как , поэтому при равномерном движении по окружности ускорение в каждый момент времени направлено по радиусу к центру окружности. По этой причине ускорение тела при равномерном движении по окружности называют центростремительным ускорением.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами v ₁, v ₂ и (рис. 3), который подобен равнобедренному треугольнику, образованному двумя радиусами, проведенными из центра окружности в точки, где находилось тело в моменты времени t ₁, и t ₂, и перемещением за время . Из подобия этих треугольников следует, что

Контрольные вопросы №1

1. Как направлена мгновенная скорость при движении по окружности?

2. Как направлено ускорение при равномерном движении по окружности?

3. Можно ли равномерное движение по окружности считать равноускоренным движением?

При равномерном движении по прямой ускорение равно нулю. Можно ли равномерное движение по кривой считать движением без ускорения?

Два тела движутся по окружностям разных радиусов. Ускорение какого тела больше, если: а) скорости тел одинаковы; б) периоды обращения тел одинаковы?

Контрольные задания №9

1. Во сколько раз скорость конца минутной стрелки башенных часов больше скорости конца минутной стрелки наручных часов, если длина стрелки башенных часов 1,5 м, а длина стрелки наручных часов 1,5 см?

2. С каким ускорением движется автомобиль по кольцевой трассе, имеющей вид окружности радиусом 100 м, если скорость автомобиля 20 м/с? Во сколько раз это ускорение меньше ускорения свободного падения?

Для конспекта ученика

■ Равномерным движением по окружности называется движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

■ Основные характеристики равномерного движения по окружности: радиус окружности r , период обращения Т, частота обращения ύ, угловая скорость ώ. Соотношения между этими величинами:

■ Мгновенная скорость в данной точке траектории направлена по касательной к траектории в этой точке, т. е. перпендикулярно радиусу, проведенному из центра окружности в данную точку.

■ При равномерном движении по окружности ускорение в каждый момент времени направлено по радиусу к центру окружности. Модуль центростремительного ускорения можно найти по любой из формул:

Составить конспект по лекции.

Ответить на контрольные вопросы.

Решить контрольные задачи.

Предоставить выполненные задания на электронный адрес:

Срок выполнения задания до 21.10.2020 г.