Уравнения движения механической системы в независимых обобщенных координатах

Обобщенные координаты системы в теоретической механике

Содержание:

Обобщенные координаты системы:

Голономными называют связи, налагающие ограничения только на положение точек системы и, следовательно, выражающиеся конечными соотношениями между координатами этих точек

Голономные связи

Связи, с которыми мы встречались при решении задач по статике, ограничивали свободу перемещения тел и не зависели от времени. Мы назвали связью ограничения, стесняющие движение материальной точки или механической системы, осуществляемые другими материальными объектами. Под это определение подходят также и такие связи, которые ограничивают не только перемещения, но и скорости точек механической системы. Рассмотрим следующий пример.

Пример. 1-й случай.

Шар радиуса к может передвигаться (скользить и перекатываться по плоскости xOy); 2-й случай: шар может только перекатываться без скольжения по плоскости. В первом случае связь может быть выражена уравнением z_с=r, которое не содержит производных от координат по времени и накладывает ограничение только на положение точки C (центра шара). Во втором случае на шар наложена связь, заключающаяся в том, что скорость точки касания равна пулю, а следовательно, уравнение связи должно выражать условие, чтобы равнялись нулю производные по времени

В первом случае движение шара подчинено голономной связи, а во втором — неголономной. Вообще, голономными, или конечными, связями называют связи, накладывающие ограничения только на положение материальных точек системы. Они выражаются аналитически конечными соотношениями между координатами точек системы, причем в эти соотношения может явно входить и время. Обратим внимание на тот факт, что, продифференцировав по времени такое уравнение, мы получим уравнение связи, содержащее явно проекции скоростей точек. Но это уравнение явится лишь следствием того уравнения, из которого оно было получено путем дифференцирования. Оно будет автоматически выполняться при удовлетворении голономной связи.

Следовательно, если уравнение связи содержит проекции скоростей точек, то отсюда еще не следует делать вывод, что связь не является голономной. Нужно предварительно исследовать, возможно ли проинтегрировать это уравнение и получить из него уравнение, не содержащее проекций скоростей точек. Если это можно, то связь является голономной, в противном случае связь называют неголономной, или неинтегрируемой. Если среди связей, наложенных на систему, имеется хоть одна неголономная связь, то систему называют неголономной. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь голономные системы.

Обобщенными координатами системы называют независимые друг от друга величины, вполне и однозначно определяющие возможные положения системы в произвольно выбранное мгновение

Обобщенные координаты

Положение в пространстве свободной материальной точки определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Такая точка имеет три степени свободы. Для определения положения в мгновение t системы, состоящей из n свободных точек, необходимо 3 n координат. Если система не свободна, то связи, наложенные на систему, выражают некоторые зависимости между координатами ее точек, а поэтому число независимых друг от друга координат, определяющих положение в данное мгновение всех точек несвободной системы, меньше чем 3 n.

Пример:

Система состоит из двух точек А и В. Согласно связям, наложенным на эти точки другими материальными телами, точки А и В могут двигаться только в плоскости хОу и находиться на постоянном между собой расстоянии r. Связи голономные них уравнения

Из этого примера видно, что вместо декартовых координат за независимые можно выбирать другие, связанные с ними величины, даже и другой размерности (угол). Эти независимые параметры называют обобщенными координатами системы и обозначают буквой q. Так, в рассмотренном примере мы могли выбрать следующие обобщенные координаты: 1) q₁ = x_A, q₂ = y_A, q₃=x_B или 2) q₁ =х_B, q₂ = у_B, q₃=φ. Возможен, разумеется, и другой выбор трех обобщенных координат этой механической системы.

Следовательно, под обобщенными координатами системы мы понимаем независимые друг от друга величины, обычно имеющие размерность длины [q] =L 1 M 0 T 0 или угла [q] = L 0 M 0 T 0 и определяющие полностью и однозначно возможные положения системы в данное произвольно выбранное мгновение. Но встречаются случаи, когда обобщенные координаты имеют размерность площади или объема, или других геометрических или даже механических величин.

Декартовы координаты точек системы связаны с обобщенными координатами определенными уравнениями. Они являются функциями обобщенных координат и, возможно, времени. Так, если положение системы n точек определяется s обобщенными координатами (q_l, q₂, . q,), то эти уравнения в параметрической форме имеют вид:

(258)

Число степеней свободы голономной механической системы равно числу обобщенных координат

Если на систему наложены только голономные связи, то число обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. Заметим, что к неголономным системам это правило не относится. В прикладной механике большое значение имеют полносвязные системы, т. е. механические системы с одной степенью свободы. К числу таких систем относится большинство механизмов. Чтобы определить положение полносвязной системы, достаточно одной обобщенной координаты.

Примеры:

Тело с двумя неподвижными точками имеет одну степень свободы: оно может поворачиваться вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки. Для определения положения тела, занимаемого им в данное мгновение, нужна лишь одна обобщенная координата, например угол поворота φ.

Тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы и его положение определяют тремя обобщенными координатами, например тремя углами Эйлера.

Кривошипно-ползунный механизм (рис. 238)—система с одной степенью свободы. Чтобы задать положение всех точек механизма, нет надобности задавать декартовы координаты всех точек, достаточно одной обобщенной координаты, например угла φ или дуги A₀A. Одной обобщенной координатой и уравнениями связи положение механизма, занимаемое им в данное мгновение, определяется вполне и однозначно.

Регулятор Уатта имеет две степени свободы и для определения его положения нужно задать две независимые друг от друга величины, т. е. две обобщенные координаты, например угол (см. рис. 236) отклонения ручек от вертикали и угол поворота плоскости AOB вокруг оси Оу.

Обобщенные координаты, как и всякие координаты, характеризуют положение неподвижной системы или положение движущейся системы, занимаемое ею в данное мгновение. Чтобы охарактеризовать движение системы, надо выразить обобщенные координаты как непрерывные однозначные функции времени. Изменение каждой обобщенной координаты характеризует соответствующее изменение в положении системы. Так, в последнем из разобранных примеров (регулятор Уатта) изменение одной обобщенной координаты означает поворот системы вокруг вертикальной оси, а изменение другой обобщенной координаты выражает изменение наклона ручек к вертикальной оси.

Обобщенная скорость выражается первой производной от обобщенной координаты по времени

Обобщенная скорость

Для характеристики движения системы, определяемого обобщенной координатой q_i=q_l(t) не только в пространстве, но и во времени, возьмем первую производную от этой координаты по времени
(259)

Полученная величина является пространственно-временной характеристикой изменения одной из обобщенных координат. Ее называют обобщенной скоростью, соответствующей данной координате. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная скорость, поэтому число обобщенных скоростей в системе равно числу обобщенных координат.

Обобщенная координата обычно выражается длиной или углом, соответственно этому обобщенная скорость может иметь размерность либо скорости точки, либо угловой скорости тела.

Обобщенной силой называют скалярную величину, равную отношению суммы виртуальных работ всех сил системы при изменении только одной из обобщенных координат к вариации этой координаты

Обобщенная сила

Пусть положение механической системы в данное мгновение t определяется обобщенными координатами q₁, q₂, . q_s. Дадим одной из координат qi мысленно бесконечно малое изменение δqi, сохранив для всех остальных обобщенных координат то значение, которое они в данное мгновение имеют. Вследствие изменения одной из обобщенных координат материальные точки системы получат мысленные бесконечно малые перемещения, а приложенные к этим точкам силы произведут виртуальную работу:

(221)

Сумма работ всех реакций на данном виртуальном перемещении равна нулю (так как связи предполагаем идеальными), поэтому написанная сумма выражает работу всех активных сил системы. Из уравнений (258) найдем вариации декартовых координат точек системы, соответствующих приращению δq_i обобщенной координаты q_i при фиксированном (неизменном) значении других обобщенных координат:

Эти вариации подставим в предыдущее выражение:

Эту сумму виртуальных работ всех сил (или, что то же, всех активных сил), приложенных к системе, при изменении только одной из обобщенных координат q_i мы можем записать как произведение вариации bqi этой координаты на скалярную величину

(260)

называемую обобщенной силой, соответствующей координате q_i.

Если мы дадим воображаемое приращение какой-либо другой из обобщенных координат этой системы при фиксированном значении всех остальных обобщенных координат, то совершенно аналогично получим выражение обобщенной силы, соответствующей этой второй обобщенной координате. Таким образом, в системе столько же обобщенных сил, сколько в ней обобщенных координат.

Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.

Задача №1

Определить обобщенную силу в регуляторе Уатта (рис. 236 на стр. 424), соответствующую обобщенной координате а. Точечные грузы А и В имеют одинаковый вес P кГ, вес муфты C равен P₁ кГ, а стержни имеют одинаковую длину 1 мм.

Решение. Декартовы координаты точек приложения силы, как функции обобщенной координаты (параметра а), их вариации и виртуальные работы всех активных и инерционных сил определены при решении задачи № 188. Для вычисления обобщенной силы воспользуемся некоторыми полученными при решении задачи № 188 данными и составим сумму виртуальных работ только активных сил при вариации δα:

Разделив эту сумму виртуальных работ активных сил системы на δα, получим ответ.
Ответ. Q = —2l (P + P₁) sin α kΓ∙ мм.

Разность производной по времени от обобщенного импульса и частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной координате равна обобщенной силе:

Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах

Выразим в обобщенных координатах проекции скоростей точек системы на оси декартовых координат. Для этого продифференцируем по времени соотношения (258). Имеем:

Возьмем теперь частные производные этих проекций скоростей по какой-либо одной обобщенной скорости q_i:

(261)

Эти соотношения справедливы только для голономных систем, и мы воспользуемся ими для вывода дифференциальных уравнений движения таких систем в обобщенных координатах. Возьмем частные производные от (215′) кинетической энергии системы по обобщенной координате q_i и по обобщенной скорости q_i:

Производную от кинетической энергии по обобщенной скорости называемую обобщенным импульсом, мы представим в другом виде, для чего воспользуемся соотношениями (261):

Продифференцируем обобщенный импульс по времени:

Преобразуем первую сумму правой части этого равенства, приняв во внимание дифференциальные уравнения движения системы в форме (130): m_kx_{k =} X_k, m_ky_k = Y_k, m_kz_k = Z_k, вторую сумму, равную , перенесем влево:

В правой части имеем обобщенную силу системы, соответствующую координате q_i. Обозначая, согласно (260), правую часть этого равенства через Q_i, мы получим уравнения движения материальной системы в обобщенных координатах, называемые иначе уравнениями (второго рода) Лагранжа:

(262)

Случай существования силовой функции

Если к механической системе приложены только силы поля и существует силовая функция U, то, имея в виду равенства (238),

Или, так как U =— П, где П — потенциальная энергия (244),

Подставляя в уравнения Лагранжа вместо обобщенной силы Q ее выражение через потенциальную энергию, получим удобную форму уравнений Лагранжа для случая консервативной системы:

(263)

Иногда этому выражению придают еще более простой вид, пользуясь тем, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей и потому ; перенеся все члены в левую часть и прибавив , получим

(264)

называют функцией Лагранжа.

Задача №2

В планетарном механизме изображенном на рис. 146, а, определить угловое ускорение колеса l при следующих условиях.

Передаточное число = 12. К колесу l приложен постоянный момент сопротивления M₁, а к рукоятке IV—постоянный вращающий момент М. Колеса l и 1 l считать однородными дисками одинаковой толщины и из одного и того же материала. Массой рукоятки IV пренебречь. Механизм находится в горизонтальной плоскости.

Решение. Механизм имеет одну степень свободы, следовательно, его положение можно определить одной обобщенной координатой, а его движение—одним уравнением Лагранжа. В данном случае за обобщенную координату удобно выбрать угол φ₄ поворота рукоятки (φ₄ = q). Тогда обобщенная скорость системы равна угловой скорости рукоятки (q = ω₄). Выразим в обобщенной скорости кинетическую энергию системы, которая равна сумме кинетических энергий первого и второго колес.

Момент инерции первого колеса , его угловая скорость ω₁= 12q и

Радиус второго колеса (см. задачу № 90) r₂ = 5r₁, следовательно, масса второго колеса в 25 раз больше массы первого, а его момент инерции в 625 раз больше. Скорость его центра равна q∙6r₁, а его угловая скорость . Его кинетическую энергию определяем по формуле Кёнига:

Кинетическая энергия механизма

Чтобы подсчитать обобщенную силу, определим работу всех активных сил системы при вариации обобщенной координаты. Сообщим координате малое приращение δq, т. е. мысленно повернем рукоятку на угол δq₄. Тогда первое колесо повернется на угол 12δq и произойдет работа

Эта работа равна работе Qδq обобщенной силы, следовательно, обобщенная сила в этой задаче имеет размерность момента силы и равна

Составим уравнение Лагранжа (262). Частная производная от кинетической энергии системы по обобщенной скорости

После дифференцирования по времени q заменится ‘q. Частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате равна нулю. Следовательно,

Из этого уравнения непосредственно определяем ускорение ε = q рукоятки механизма при заданных моментах.

Ответ.

Задача №3

Решить задачу уравнением Лагранжа.

Решение. В этой задаче будем выражать L в м, T в сек, F в кГ. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату q выберем угол поворота φ1 первого вала. Тогда обобщенной скоростью q системы будет угловая скорость первого вала. Угловая скорость второго вала равна . Кинетическая энергия системы

Вычислим величины, входящие в уравнение Лагранжа (262):

Напишем уравнение движения системы:

откуда =3,57 ceκ -2 и по передаточному отношению , т. е. ε₂ = 5,36 ceκ -2 . Вращение равноускоренное, без начальной угловой скорости, следовательно, по (87):

Угловая скорость будет 120 об/мин, т. е. 4π сек -1 , откуда ; в мгновение второй вал будет повернут на угол . Чтобы определить соответствующее число оборотов вала, надо разделить угол поворота на 2л.
Ответ. Через 2,344 оборота.

Малые колебания системы

Движение, при котором точки системы перемещаются последовательно в ту и в другую сторону от некоторых средних своих положений, называют колебательным.

Во многих областях техники часто приходится рассматривать колебательные движения механических систем, т. е. такие движения, при которых точки системы перемещаются последовательно то в ту, то в другую сторону относительно их некоторого среднего положения. Сюда относят вибрации машин и их деталей, возникающие при различных условиях, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, а также автомобилей, судов, самолетов и пр.

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия.

Колеблющиеся механические системы обычно являются консервативными, т. е. их колебания происходят в потенциальном поле, поэтому уравнения Лагранжа удобно писать в форме (263) и (264). Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не полную потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же мы будем стараться так определить эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном положении, т. е. при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие йвляется устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (П = 0) согласно теореме Лежен Дирихле должна иметь минимум.

Рассмотрим несколько задач на малые колебания системы, причем для начала рассмотрим с позиций уравнений Лагранжа малые колебания физического маятника.

Задача №4

Определить малые колебания физического маятника без сопротивления на неподвижной оси (см. рис. 192 на стр. 334). Все данные по геометрии масс маятника считать заданными.

Решение. Задачу будем решать по (262). Направим оси декартовых координат как указано на чертеже (рис. 192). За обобщенную координату примем угол φ отклонения маятника от вертикали, т. е. будем отсчитывать обобщенную координату φ от положения устойчивого равновесия системы. Тогда обобщенная скорость (259)

Выразим кинетическую энергию через обобщенную координату

и вычислим производные, входящие в левую часть уравнения (262):

Для определения обобщенной силы подсчитаем виртуальную работу при изменении обобщенной координаты

И полученное выражение разделим на вариацию обобщенной координаты

Обобщенная сила имеет размерность момента силы, так как обобщенной координатой является угол.
После проделанных вычислений и внесения их в (262) уравнение Лагранжа принимает вид:

Это дифференциальное уравнение малых качаний физического маятника, выведенное другим способом, было проинтегрировано в § 45.

Ответ. Гармонические колебания с периодом

Задача №5

Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика, принимаемого за точку M массой m₁, укрепленного на конце невесомого стержня AM длины l. Точка А стержня находится в центре однородного диска массы m₂ и радиуса r. Диск может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Стержень и диск жестко скреплены между собой (рис. 239). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.

Рис. 239

Решение. Построим правую систему декартовых координат с началом в центре диска при положении устойчивого равновесия системы. Ось Oy направим вертикально вниз.

Определим связи, наложенные на систему. Диск может катиться по горизонтальному рельсу. Эта связь может быть выражена уравнением у_А = 0.Но качение диска происходит без скольжения. Такую связь можно выразить условием, чтобы скорость υ_x точки касания диска равнялась нулю. Хотя связь наложена на скорость, но для диска, катящегося в своей плоскости, она является голономной (в отличие от катящегося по плоскости шара, рассмотренного выше). В самом деле, приняв центр диска за полюс и разложив плоское движение диска на переносное поступательное вместе с полюсом и относительное вращательное вокруг полюса, получим для точки касания:

υ_А — ωr = 0 или

Интегрируя, получаем второе уравнение связи
x_A = rφ.
Следовательно, связь интегрируемая, т. е. голономная.

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу x_A центра диска или угол φ отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а величины x_A и φ являются зависимыми и связаны соотношением x_A = rφ. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем φ. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости φ кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика М, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи x_A = rφ:

x= rφ—l sin φ; y = l cosφ.

Продифференцировав по времени, найдем проекции скорости:

Определим квадрат полной скорости точки М:

υ 2 _M = (r 2 + l 2 -2rl cos φ) φ 2

и кинетическую энергию точки М:

Кинетическую энергию диска определим по формуле Кёнига, учитывая, что x_A = rφ:

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий точки M и диска:

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. § 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, в которой потенциальная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае:

П= m₁gl (l — cos φ) (при φ = 0 П = 0; при φ ≠ О П > 0)

Функция Лагранжа L=T — П:

Подсчитаем величины, входящие в уравнение (264):

Колебания малые, и мы полагаем sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 и пренебрегаем малыми величинами второго и высшего порядка, а также произведениями малых величин. Уравнение движения системы принимает вид:

Интегрируя, получим уравнение гармонических колебаний (см. §39). Конечно, частота этих колебаний не может зависеть только от масс, но зависит и от их распределения. Система представляет собой своеобразный физический маятник, и квадрат частоты свободных колебаний пропорционален статическому моменту веса и обратно пропорционален моменту инерции маятника относительно мгновенной оси.

Ответ.

Задача №6

Определить частоту свободный поперечных колебаний двухопорной балки, изображенной на рис. 240. На балке находится груз весом mg; расстояния от груза до опор балки равны а и b. Сечеиие и материал балки считать известными, весом балки пренебречь.

Рис. 240

Решение. Система имеет одну степень свободы. Построим декартовы координаты с началом в центре масс груза при равновесном положении системы и направим ось Oy вертикально вниз. За обобщенную координату системы примем ординату ус центра масс.

Выразим в обобщенной координате и обобщенной скорости кинетическую и потенциальную энергии системы. Массой балки пренебрегаем, и кинетическая энергия системы равна кинетической энергии груза при его поступательном движении:

Несколько сложнее определить потенциальную энергию, потому что система находится в потенциальном поле силы тяжести и в потенциальном поле упругости балки и полная потенциальная энергия П = П₁ + П₂. Потенциальная энергия системы в поле силы тяжести

Потенциальную энергию сил упругости найдем из разности двух частных ее значений: при прогибе (j+y) и при нулевом положении, при котором прогиб балки в месте расположения груза равен f:

Заметим, что при равновесном положении системы потенциальная энергия, согласно теореме Дирихле, должна иметь минимум, а потому ее производная

должна обратиться в нуль, если вместо у подставить нуль — его значение, соответствующее равновесному положению системы,

Следовательно, потенциальная энергия системы

Здесь с—коэффициент жесткости балки и, поскольку сечение и материал балки известны, может быть определен по формулам сопротивления материалов:

где E—модуль упругости материала, J_э—экваториальный момент поперечного сечения балки.
Определим теперь члены уравнения (263):

После подстановки имеем

Это уравнение выражает малые колебания системы. Разделив «коэффициент жесткости» с на «коэффициент инерции» т, найдем квадрат частоты колебании системы, и для получения ответа остается только извлечь квадратный корень.

Ответ.

Малые колебания бифилярного подвеса

Задача №7

К концам М₁ и М₂ тонкого однородного стержня (рис. 241, а) массы m и длины 2α подвязаны две невесомые нити одинаковой длины l. Верхние концы N₁ и N₂ нитей неподвижно закреплены на горизонтальной прямой на расстоянии 2α друг от друга. Стержень повернули на малый угол вокруг центральной вертикальной оси и отпустили без начальной скорости. Исследовать малые колебания.

Рис. 241

Решение. При заданном движении будет изменяться высота центра масс стержня, но он не может отклоняться в сторону. Положение системы определяется высотой центра масс, углом поворота стержня вокруг вертикальной оси и углом отклонения нитей от вертикали. Но эти параметры зависят друг от друга, система имеет одну степень свободы, положение ее определяется одной обобщенной координатой, а движение —одним уравнением Лагранжа. Это уравнение удобно записать в форме (263), так как система находится в потенциальном поле тяжести и единственной активной силой системы является вес стержня.

За обобщенную координату нельзя выбрать высоту центра масс, потому что обобщенная координата должна однозначно определять положение системы, а каждому положению центра масс соответствуют два положения системы. Угол поворота стержня вокруг вертикальной оси можно принять за обобщенную координату, но удобнее в качестве таковой выбрать угол наклона нитей к вертикали, так как через этот угол легко выразить потенциальную энергию системы. Построим прямоугольную систем) координат, как показано на рисунке. Пусть в произвольное мгновение t угол поворота стержня был α, а угол наклона нитей О (рис. 241, б). Спроецируем стержень на плоскость хОу (рис. 241, в). Равнобедренный треугольник M»OM₁ и прямоугольный треугольник N₁M’M имеют равные стороны М’М = M₁M»:

Эти два равенства позволяют выразить угол α в обобщенной координате :

Определим в обобщенной координате и положение центра масс:

z_C = l — l cos

Переходим теперь к вычислению входящих в (263) кинетической и потенциальной энергии системы.
Кинетическую энергию определим по формуле Кёнига, но чтобы выразить ее в обобщенных координате и скорости, продифференцируем по времени выражения, полученные для z_с и α:

Подставляя эти величины в (217) и учитывая, что стержень длиной 2a имеет момент инерции получим довольно сложное выражение:

При малых колебаниях можно положить cos 2 =l и sin 2 = 0:

Вычисляя потенциальную энергию П системы, так определим постоянную С, чтобы П обращалось в нуль при 0 = 0:

П = mgl (1 — cos ).

Как видно из этого равенства, при = 0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. § 49), означает устойчивое равновесие. Разложим cos в ряд. Тогда

Отбросив все члены выше второго порядка, получим приближенно

Теперь вычислим члены уравнения Лагранжа:

Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение его нам хорошо известно. Оно выражает малые колебания системы, период которых:

Заметим, что если к стержню присоединить тело с неизвестным моментом инерции и из опыта определить период τ₁ колебания бифилярного подвеса вместе с телом, то можно определить момент инерции тела.

Ответ. Малые колебания с периодом

Колебания системы с двумя степенями свободы

Малые колебания системы с двумя степенями свободы являются линейным наложением двух главных колебаний

Малые колебания системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия, описываемые изменением обобщенных координат, представляют собой линейные наложения двух так называемых главных, пли собственных, колебаний системы. В каждом из главных колебаний между амплитудами имеется постоянное соотношение, зависящее от параметров системы, но не зависящее от начальных данных. Каждому из главных колебаний соответствует своя собственная частота, в общем случае отличная от частоты другого собственного колебания системы, и фаза. Колебание системы с двумя или с большим числом степеней свободы, представляющее линейное наложение гармонических колебаний, обычно является сложным и может оказаться даже не периодическим. Поэтому выражения частота или период колебаний для системы, у которой число степеней свободы больше единицы, имеет смысл только по отношению к отдельным главным колебаниям системы. В системе с двумя степенями свободы нетрудно так подобрать начальные данные, чтобы какое-либо одно из двух главных колебаний отсутствовало, тогда можно наблюдать оставшееся главное колебание системы.

Решим задачу на малые колебания системы с двумя степенями свободы.

Двойной математический маятник

Задача №8

Две материальные точки M₁ массы m₁ и M₂ массы m₂ (рис. 242) связаны невесомой нерастяжимой нитью длины l₂, а точка M₁ связана, кроме того, такой же идеальной нитью длины l₁ с неподвижной точкой О. Определить собственные частоты малых колебаний системы в вертикальной плоскости xOy 2 .

Рис. 242

Решение. По условию, маятник движется в одной вертикальной плоскости; система имеет две степени свободы и движение описывается двумя уравнениями Лагранжа. Система находится в потенциальном поле тяжести и никаких активных сил, кроме сил тяжести, на систему не действует, поэтому уравнения Лагранжа напишем в виде (263).

Выберем за обобщенные координаты углы О и φ наклона нитей к вертикали и выразим через них декартовы координаты точек

Продифференцировав по времени, возведя в квадрат и складывая, найдем квадраты скоростей точек:

Теперь легко вычислить кинетическую энергию T системы:

Определяя потенциальную энергию П, выберем так произвольную постоянную С, чтобы при равновесии системы П равнялось нулю:

Пусть произвольная постоянная C означает потенциальную энергию системы при = φ=180 o , т. е. положим

Теперь потенциальная энергия системы при любых значениях обобщенных координат выражается равенством

При = φ = 0 величина П равна нулю, при остальных значениях П > 0, т. е. П является определенно положительной функцией обобщенных координат.

Подсчитаем члены уравнений (263) Лагранжа:

Подставляя эти величины в уравнения (263), получим следующие точные уравнения движения системы:

Ограничимся малыми колебаниями системы и заменим косинусы единицей, а синусы малых углов — углами. Пренебрежем членами, содержащими квадраты или произведение скоростей, и для упрощения записи обозначим m₂:m₁ = μ. Уравнения примут вид:

Второе уравнение позволяет упростить первое:

Частные решения этой системы уравнений мы будем искать в виде

т. е. в предположении, что обе обобщенные координаты изменяются гармонически, с одинаковыми частотами и фазами, но с разными амплитудами. Подставляя значения углов и их вторых производных в дифференциальные уравнения и сокращая на sin (kt + α), найдем

Эта система двух уравнений, линейных относительно B₁ и B₂, может иметь отличные от нуля решения, если определитель системы равен нулю:

В теории колебаний это уравнение называют вековым уравнением, или уравнением частот, так как оно позволяет определить частоты главных колебаний системы. При условиях нашей задачи это решение записано в ответе. Оба периода главных колебаний различны между собой и зависят от отношения μ масс точек и от длины l₁ и l₂ нитей. Один из периодов близок к периоду качаний математического маятника длины l₂, другой — к периоду маятника длины l₁. Изменяя длину одного из маятников, мы можем период соответствующего главного колебания сделать больше или меньше периода второго главного колебания, однако мы не смогли бы добиться, чтобы оба главных периода качания двойного маятника были бы в точности одинаковы. Этот парадокс был открыт Стоксом и объясняется тем, что написанное выше уравнение частот не имеет одинаковых корней, при которых возможны устойчивые колебания двойного маятника.

Ответ.

Задача №9

В условии задачи вместо жесткого соединения невесомого стержня МЛ с диском сделано шарнирное соединение в точке Л, остальные условия не изменены (рис. 243).

Рис. 243

Решение. В отличие от системы, рассмотренной в задаче № 195, здесь система имеет две степени свободы и движение ее может быть описано двумя уравнениями Лагранжа. За обобщенные координаты примем независимые величины φ и х_А. При подсчете кинетической энергии скорость точки А мы уже не можем определять как rφ, а должны писать х_А. Выражение потенциальной энергии остается прежним и функция Лагранжа имеет вид

Вычислим члены уравнений Лагранжа:

Напишем оба уравнения Лагранжа:

Мы ищем период малых колебаний системы, поэтому, допустив применяемые в подобных случаях упрощения, перепишем эти уравнения в таком виде:

Определяя из первого уравнения и подставляя во второе, получим

Множитель, стоящий перед обобщенной координатой, выражает частоту колебаний.
Ответ. Период малых колебаний маятника

Задача №10

Составить дифференциальные уравнения свободных вертикальных колебаний автомобиля, происходящих параллельно плоскости его симметрии, если масса приведенной в колебание системы pa⅞ιιa т, а момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, равен .

Решение. На рис. 244 вверху изображен автомобиль, а внизу его динамическая схема. Деформации кузова пренебрежимо малы по сравнению с осадкой опор, поэтому в динамической схеме мы считаем раму совершенно жесткой. Кроме того, мы полагаем, что горизонтальные колебания системы невозможны.

Рис. 244

Построим оси декартовых координат с началом в центре масс при равновесном положении системы, направив ось ординат по вертикали вниз. Система обладает двумя степенями свободы и за обобщенные координаты q_l и q₂ примем ординату центра масс и угол наклона рамы к горизонтальной плоскости.
Кинетическую энергию системы определим по формуле Кёнига:

Для определения потенциальной энергии заметим, что если рама автомобиля опустится на q₁ и при этом наклонится на q₂, то задняя опора сожмется на q₁+ αq₂, а передняя на q₁+ bq₂. Учитывая жесткости рессор и пиевматиков, обозначим через c₁ и c₂ приведенные жесткости задней и передней подвески автомобиля. Тогда потенциальную энергию системы определим аналогично тому, как это было сделано в примере § 49:

Подставляя найденные значения T и П в уравнения Лагранжа, получим ответ.

Рекомендую подробно изучить предмет:

Теоретическая механика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Сложение двух сил
Разложение силы на две составляющие
Определение равнодействующей сходящихся сил
Равновесие сходящихся сил
Количество движения
Момент количества движения
Мощность и работа силы
Потенциальная энергия

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Принципы возможных перемещений, обобщенные координатные системы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Лекция № 1.4
Учебная дисциплина: ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Раздел: Теоретическая механика
Тема: Принцип возможных перемещений. Обобщённые координаты системы. Уравнение Лагранжа 2-го рода.
1) Связи и их уравнения.
2) Принцип возможных перемещений.
3) Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода).

1. Связи и их уравнения.
Связями принято называть ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах. Если на перемещения системы не наложено никаких ограничений или связей, она называется свободной системой. При наличии одной или нескольких связей она становится несвободной системой.
Уравнения, которым из-за наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени), принято называть уравнениями связей.
В общем случае уравнение связи имеет вид:
Функция f предполагается дважды непрерывно дифференцируемой.
Например, если материальная точка может перемещаться только в некоторой плоскости, совпадающей с плоскостью Оху декартовой системы координат, то уравнением связи будет z=0.

Предположим, точка перемещается по сфере, радиус которой изменяется во времени:
R =f (t).Если центр сферы совпадает с началом координат, а х, у, z — координаты движущейся точки, то уравнение связи

В зависимости от вида функции (1) связи подразделяют на:

1) геометрические и дифференциальные;
2) голономные и неголономные;
3) стационарные и нестационарные;
4) удерживающие и неудерживающие.
К геометрическим связям относят такие связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы (и, может быть, время).

Дифференциальными связями считают связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат и первые производные от этих координат по времени (и, может быть, время). Примеры дифференциальных связей: связи конька при движении его по льду, связи колеса при качении его без скольжения по некоторой поверхности.
Геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы, называются голономными связями.

Неголономными связями принято называть дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.
В качестве примера рассмотрим качение диска по наклонной плоскости без скольжения

Положение диска определяется координатой хс центра С диска и углом поворота
При качении выполняется соотношение
или
,
т. е. получить зависимость между координатами, определяющими положение диска. Таким образом, рассматриваемая связь — голономная.
Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными связями, а в противном случае — нестационарными связями
Конструктивно связи осуществляют в виде поверхностей, стержней, нитей, шарниров, направляющих и др.

2. Принцип возможных перемещений.
Возможные перемещения. В статике действие связей учитывают их реакциями. Однако вместо реакций можно рассматривать перемещения, допускаемые связями. Тогда и в уравнениях равновесия (движения) механической системы не будет неизвестных реакций связей.
Когда материальная, точка Р под действием приложенных сил перемещается по поверхности, движущейся в системе координат Oxyz, поверхность, уравнение которой
, (2.2)
является для точки Р удерживающей, нестационарной и голономной связью.

Элементарное действительное
и возможные
перемещения точки Р
Предположим, что в момент времени t точка занимает положение Р(х, у, z), определяемое радиус-вектором , а за время dt точка вместе с поверхностью переместится в положение , при этом радиус-вектор изменится на

Перемещение точки из одного положения в другое, бесконечно близкое к первому, выражаемое дифференциалом радиус-вектора точки, представляет собой элементарное перемещение точки:
Вектор
действительное перемещение точки, направлен по касательной к траектории точки, так как
=
Если в некоторый момент времени t сообщить точке воображаемое малое перемещение, допускаемое ее связями, то радиус-вектор
точки Р получит малое приращение
называемое изохронной вариацией радиус-вектора точки. Это название отражает то, что изменение радиус-вектора происходит изохронно t.
Любое допускаемое наложенными связями элементарное перемещение материальной точки из положения, занимаемого ею в некоторый момент времени, выражаемое изохронной вариацией радиус-вектора этой точки, называется возможным или виртуальным перемещением точки:
Возможные перемещения
точки представляют собой воображаемые малые перемещения, которые она могла бы совершать из данного положения без нарушения наложенных связей при отсутствии действующих на точку сил при остановленном времени.

Возможное, или виртуальное, перемещение механической системы — это любая совокупность возможных перемещений точек данной системы, допускаемая всеми наложенными на нее связями.

Возможные перемещения системы или твердого тела должны удовлетворять двум условиям:

1) быть малыми, чтобы конфигурация системы и ее положение в пространстве оставались неизменными;
2) связи, наложенные на систему, не должны нарушаться при ее возможных перемещениях.
Например, возможное перемещение рычага АВ — поворот его на элементарный угол
относительно точки О. При таком повороте точки А и В перемещаются по дугам
окружностей
Эти перемещения с точностью до величины первого порядка малости можно заменить возможными перемещениями
в виде прямолинейных отрезков на касательных к траекториям точек

Любая механическая система может иметь множество возможных перемещений, среди которых можно выделить некоторое число перемещений, не зависящих одно от другого.
Так, если для рычага АВ за независимое возможное перемещение принять вектор
то возможное перемещение точки С, например, можно выразить через
следующим образом:
Модули возможных перемещений точек рычага пропорциональны расстояниям от них до оси поворота.
Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы.
Число степеней свободы механической системы с геометрическими связями равно числу независимых координат, описывающих положение этой системы.
Число степеней свободы механической системы.

Некоторые примеры.
1).Свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Независимыми являются три возможных перемещения точки вдоль трех координатных осей; положение точки определяется тремя независимыми координатами, например х, у, z.
2).Материальная точка при движении по поверхности обладает двумя степенями свободы. Ее положение на поверхности определяется двумя независимыми координатами.
3).Свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Оно может перемещаться вдоль координатных осей и поворачиваться относительно этих осей.
Обобщенные координаты. Рассмотрим механическую систему из п материальных точек
на которые наложено l голономных связей
Положение этой системы в пространстве может быть задано 3п декартовыми координатами, которые к тому же должны удовлетворять l уравнениям связей. Следовательно, число независимых координат
s = 3п — l.
Независимые между собой параметры, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы, называются обобщенными координатами и обозначаются

Принцип возможных перемещений. Исследуем общие условия равновесия механической системы. Под равновесием понимается такое состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое относительно рассматриваемой системы отсчета. Равновесие является частным случаем движения механической системы, когда скорости всех ее точек равны нулю.
В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы суммарная элементарная работа всех действующих на нее активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю:
Это уравнение называется общим уравнением статики.
Когда система из п материальных точек
находится в равновесии при действии активных сил
и реакций
идеальных удерживающих стационарных связей, для любой точки
можно записать уравнение равновесия:

Определив работу заданных сил на возможном перемещении
всех точек
и просуммировав выражения
почленно, найдем для всей системы:
в координатной форме:
Общее уравнение статики в обобщенных координатах записывается в виде
где Q, — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате
s — число степеней свободы системы.

3. Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода).
Предположим, что механическая система из п материальных точек имеет S степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор
любой точки
этой системы является функцией обобщенных координат
и времени t:
Обобщенные координаты системы являются функциями времени.
Поэтому радиус-вектор
является сложной функцией времени и вектор скорости точки
определяется по правилу дифференцирования сложной функции:
или

Производные от обобщенных координат по времени
называются обобщенными скоростями.
Частная производная от
по какой-либо обобщенной скорости
равна коэффициенту при
в правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от
по координате
Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле:
Вектор скорости точки
в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях
обобщенных скоростей и времени.

Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:
Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате
и обобщенной скорости
дифференцируя выражение как сложную функцию:
Преобразуем последнее выражение на основании равенства

Продифференцируем это выражение по времени:
Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства, учитывая, что для несвободной материальной точки
1. С помощью равенства, определяющего обобщенную силу, находим:
2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

Частная производная
является функцией тех же переменных, от которых зависит
радиус-вектор точки
Дифференцируем
как сложную функцию времени:
Найдем частную производную
дифференцируя по
выражение (1):
Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (3.6) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными связями, для которых

или
Систему S дифференциальных уравнений (3.9) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы
Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем S уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Ростовский государственный университет

П. Г. Иваночкин, Т. Я. Кожевникова, А. П. Сычев

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Методические указания к выполнению

расчетно-графической работы Д7 по теоретической механике

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы Д-7 по теоретической механике /П. Г. Иваночкин, Т. Я. Кожевникова, А. П. Сычев; Ростовский госуниверситет путей сообщения. Ростов-на-Дону, 2000, 19 с.

Кратко излагается теоретический материал, приводятся примеры решения типовых задач. Даны варианты к расчетно-графической работе Д7.

Одобрены к изданию кафедрой теоретической механики РГУПС и предназначены студентам механических специальностей.

Ил. 2 Библиогр.: 4 назв.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. А. И. Задорожный (РГУ); канд. техн. наук, доц. В. Г. Вильданов (РГУПС)

Иваночкин Павел Григорьевич

Сычев Александр Павлович

Методические указания к выполнению

Расчетно-графических работ Д7 по теоретической механике

Подписано в печать______2000г. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л 0,93.

Уч.-изд. л. 0,88. Тираж ____. Изд. № 000. Заказ № ____.

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография АСУ РГУПС. Лицензия ПДЛ №65-10 от 08.08.99г.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского стрелкового полка народного ополчения,2

Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2000

1. Общие указания

2. Задание Д7. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

3. Условие задачи Д7

4. Указания к решению задачи

5. Примеры решения типовых задач

6. Данные к вариантам задания Д7

7. Схемы к вариантам задания Д7

В первой части методических указаний содержатся краткие сведения из теории и примеры решения задания Д7, входящего в курсовую работу по теоретической механике.

В приложении I студент выбирает свой вариант по номеру рисунка согласно цифре, под которой его фамилия стоит в учебном журнале. Исходные данные берутся из таблицы (приложение 2). Номер строки в ней для каждой группы назначает преподаватель.

Оформление отчета

Расчетно-графическая работа оформляется в такой последовательности:

— условие задачи с рисунком;

На отдельном листе нужно полностью переписать условие задачи и выполнить относящийся к ней рисунок. Он должен быть выполнен четко, аккуратно, карандашом. В работе надо оставлять поля для замечаний консультанта.

Решение каждой задачи следует сопровождать пояснениями, то есть надо указывать, какие теоремы, формулы или уравнения применяются для решения. Чертежи, выполняемые в процессе решения задачи, должны соответствовать конфигурации системы в рассматриваемый момент времени, на них должны изображаться все векторы (силы, ускорения). Формулы сначала надо написать в общем виде (буквенном), а затем подставлять числовые значения, рядом указывать единицы измерения. В конце расчета дается сводная таблица полученных результатов.

Порядок приема и сдачи индивидуального задания

I. Срок сдачи индивидуального задания указывается консультантом (руководителем практических занятий).

II. При защите расчетно-графической работы студент должен пояснить ход ее выполнения, ответить на все поставленные вопросы и в отдельных случаях решить предложенные ему примеры.

III. Работа, небрежно выполненная и содержащая орфографические ошибки, не принимается.

Задание не засчитывается, если указанные требования не выполнены!

Задание Д7. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Краткие сведения из теории к заданию

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему уравнений динамики в обобщенных координатах. Использование их является универсальным методом получения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение любой механической системы

Обобщенными координатами системы называется совокупность независимых параметров, которые при наименьшем числе однозначно определяют положение механической системы.

В последующем обобщенные координаты обозначаются q1, q1,…, qN или qj(j=1,2,…,N). Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями . Число N независимых обобщенных координат голономной системы равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где Т — кинетическая энергия системы;

Qj — обобщенная сила, соответствующая j-той обобщенной координате.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех объектов, образующих систему.

Кинетическая энергия твердого тела определяется по формулам:

— при поступательном движении

Vс – скорость центра масс тела;

Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

w — угловая скорость вращения;

— при плоскопараллельном движении

Jzc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости движения.

Величина называется j-той обобщенной силой.

Если вычислить сумму элементарных работ активных сил, действующих на точки системы на возможном перемещении системы, то соответствующая формула может быть представлена в виде

поэтому часто обобщенные системы определяют как коэффициенты, стоящие в выражении суммы элементарных работ активных сил при соответствующих обобщенных возможных перемещениях.

Для определения обобщенной силы, соответствующей j-той обобщенной координате, необходимо этой координате сообщить приращение , оставляя все остальные обобщенные координаты без изменений; вычислить сумму элементарных работ всех сил, действующих на систему, на этом перемещении и полученную работу разделить на приращение обобщенной координаты

При вычислении работы сил используются следующие формулы:

— работа сил тяжести

h – изменение высоты между начальным и конечным положениями

— работа силы трения

— работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

a — угол между направлением силы и направлением перемещения

— работа сил, приложенных к вращающемуся телу

Mz(F) – момент силы относительно оси вращения;

j — угол поворота тела

Методика составления уравнений Лагранжа второго рода

Составление уравнений Лагранжа второго рода производится в следующем порядке:

1) определяется число степеней свободы заданной механической системы;

2) выбираются независимые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы;

3) вычисляется кинетическая энергия Т рассматриваемой системы, которая выражается через обобщенные скорости;

4) находятся частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е.

затем вычисляются их производные по времени

5) определяются частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

6) находятся обобщенные силы Q1, Q2,…QN соответствующие выбранным обобщенным координатам;

7) полученные в п. п. 4-6 результаты подставляются в уравнения Лагранжа.

Условие задачи Д-7

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р1 и Р2 с радиусами R1=R, r1=0,4R и R2=R, r2=0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов или сплошных однородных цилиндрических катков 3, 4, 5, веса которых Р3, Р4, Р5 соответственно. Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы и невесомые блоки. Участки нити параллельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения. Система движения в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, кроме того, на одно из тел действует постоянная сила F, а на шкивы 1 или 2 при их вращении действуют постоянные моменты сил сопротивления М1 и М2.

Определить величину, указанную в таблице в столбце «Найти», где e1 и e2 — угловые ускорения шкивов 1 и 2, аС3, аС4, аС5 — ускорения грузов или центров масс соответствующих катков. (Если необходимо определить e1 или e2 принять R=0,25м).

Указания к решению задачи

Для исследования движения системы нужно составить уравнение Лагранжа 2-го рода. Во всех вариантах система имеет одну степень свободы, и еe положение определяется одной обобщенной координатой q. Уравнение Лагранжа — это дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно обобщенной координаты.

(1)

Если нужно найти ускорение a3C или a4C грузов 3,4 или ускорение a5C центра масс С катка 5, то за обобщенную координату целесообразно принять перемещение х центра масс этих тел, тогда — обобщенная скорость и уравнение примет вид:

(2)

Если же нужно определить угловое ускорение e1 или e2 одного из шкивов, то за обобщенную координату нужно принять угол поворота шкива, т. е. и уравнение будет иметь вид:

(3)

Для составления уравнения (2) или (3) нужно вычислить кинетическую энергию Т системы, выразив её через обобщенную скорость ( или ) и обобщенную координату q (x или j). Затем нужно найти обобщенную силу Qx или Qj, для определения которой нужно сообщить системе возможное (малое) перемещение ( или ) и вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении. Элементарные перемещения всех тел нужно выразить через dx или dj , тогда получим: или , т. е. коэффициенты при dx или dj в выражении dА и будут обобщенными силами.

Примечание: в варианте №21 шкивы 1, 2 и в варианте №25 шкив 2 считать однородными цилиндрами.

Примеры решения типовых задач

Дано: Р1=12Р, Р2=8Р, Р3=2Р, Р4=12Р, Р5=6Р, F=3P, M=3PR

(Р-в Н, R-в м.), R1=0,3R, r1=0,2R, R2=0,2R, r2=0,1R.

1. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату возьмем перемещение груза 4 (q=x).

Предположим, груз 4 опускается. Составим уравнение Лагранжа 2го рода:

(1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы:

(2)

Шкивы 1 и 2 вращаются вокруг неподвижной оси, грузы 3 и 4 движутся поступательно, а каток 5 движется плоскопараллельно.

(3)

(4)

3. Скорости n3 и nс, угловые скорости w1, w2 и w5 выразим через обобщенную скорость

(5)

Подставляя значения (4) и (5) в равенства (3), а затем в (2), получим:

Найдем частные производные от Т по х и :

(7)

4. Определим обобщенную силу Qх. На чертеже покажем силы, совершающие при движении системы работу, т. е. силы тяжести , и момент пары силы М(сила работы не совершает, т. к. груз 3 движется по горизонтали).

Сообщим системе возможное перемещение dх груза 4 в направлении его движения и покажем перемещения остальных тел: груза 3-dх3, центра масс С катка 5-dхс, а для шкивов углы поворота dj1 и dj2. Вычислим сумму элементарных работ сил тяжести , , силы и момента пары сил М на этих перемещениях.

Коэффициент при dх в выражении dА будет обобщенной силой Qх.

5. Найденные величины (7) и (8) подставим в уравнение (1).

Отсюда находим:

Ответ:

Дано: Р1=2Р, Р2=0, Р3=3Р, Р4=0, Р5=4Р, F=12Р, М1=0,3РR, М2=0

R1=R, R2=R, r1=0,4R, r2=0,8R, R=0,25м, a=60°, b=30°

Найти: e2 – угловое ускорение второго шкива

1. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату возьмем угол поворота шкива 2 (q=j). Предположим, что шкив вращается против часовой стрелки. Составим уравнение Лагранжа 2го рода:

(1)

2. Определим кинетическую энергию Т системы

(2)

Грузы 3 и 4 движутся поступательно, следовательно

Шкивы 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, следовательно

Каток 5 движется плоскопараллельно

3. Скорости V3, V4, VС, угловые скорости w1, w5 выразим через обобщенную скорость

Из рисунка видно, что

(точка Р касания катка и наклонной плоскости является мгновенным центром скоростей катка)

Подставим найденные выражения в формулу кинетической энергии системы

4. Определим обобщенную силу Qj. На чертеже покажем силы, совершающие при движении системы работу, т. е. силы тяжести , , и моменты пары сил М1 и М2 (силы и приложенные к осям вращения шкивов работы не совершают).

Сообщим системе возможное перемещение соответствующее повороту шкива 2 на угол против часовой стрелки и покажем перемещения остальных тел: груза 3 — , груза 4 — , центра масс С кат-ка 5 — , а для шкива 1 – угол поворота .