Уравнения движения моделей в механике

Уравнения движения моделей в механике

1.2. Кинематика материальной точки

Приводятся абстрактные понятия, отражающие реальные свойства тел. Описываются важнейшие системы координат. Излагаются сведения о векторах. Дается определение основных физических величин кинематики точки.

1.2.1. Понятие механики. Модели в механике

Механика (от греч. mechanike — орудие, сооружение) — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Механика подразделяется: на статику, кинематику и динамику. Кинематика (от греч. kinema — движение) — раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих на них сил.

Динамика (от греч. dynamis — сила) изучает движения тел в связи с теми причинами, которые обусловливают это движение.

Статика (от греч. statike — равновесие) изучает условия равновесия тел. Поскольку равновесие есть частный случай движения, законы статики являются естественным следствием законов динамики и в данном курсе не изучаются.

Механика Галилея и Ньютона называется классической, т.к. она рассматривает движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света в вакууме. Движение тел со скоростями, близкими к скорости света, рассматривает релятивистская механика, другое её название — специальная теория относительности. Рассмотрением движения элементарных частиц занимается квантовая механика.

Для описания движения тел в зависимости от условий задачи используют различные физические модели. Чаще других используют понятия абсолютно твердого тела и материальной точки.

Движение тел происходит под действием сил. Под действием внешних сил тела могут деформироваться, т.е. изменять свои размеры и форму.

Тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи, называют абсолютно твердым телом (хотя абсолютно твердых тел в природе не существует).

Тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Моделирование динамических систем: введение

Трудно переоценить значение компьютерного моделирования в современном мире. Давным давно канули в Лету времена, когда траектории выведения спутников на околоземную орбиту вычислялись толпой девушек-расчетчиц с «Феликсами» наперевес (была такая вычислительная машина). Сегодня скромных размеров ящик около вашего рабочего стола решает все мыслимые и немыслимые задачи. Но есть одно «но».

Состояние инженерного образования, не знаю, как там в столицах, а здесь, на периферии, выглядит в контексте данного вопроса удручающе. Винить тут стоит подход к преподаванию в вузах таких дисциплин как «Численные методы решения инженерных задач на ЭВМ», «Математическое моделирование в %нужное впишите сами%» и прочих. Эта беда инженерного образования вытекает из того факта, что в курсах, подобным перечисленным, порой напрочь отрублены междисциплинарные связи. У обучаемого не складывается в голове цепочка: фундаментальная теория -> практическое применение -> инструмент решения задачи.

У меня давно зрела мысль написать цикл, в котором будет разобрано по полочкам всё то, что мы называем современным математическим моделированием. Но сделать это просто и доступно для тех, кто только начинает познавать эту необъятную дисциплину современной науки. Что из этого выйдет, неизвестно, но тех кому стало интересно я приглашаю под кат.

1. Математические начала натуральной философии

Да, начнем мы с механики. Наука доньютоновской эпохи, в современном смысле, была неполноценна. В ней отсутствовал четкая, универсальная методика научного исследования. Но это не значит, что науки не существовало. Был накоплен огромный пласт экспериментальных данных из разных сфер человеческой деятельности. Ученые решали сложнейшие задачи, зачастую применяя методы, гениальность которых поражает до сих пор. Но гениальные открытия носили эпизодический характер. Пока не появился человек, написавший труд, давший в руки ученым четкий математический аппарат, ставший на столетия вперед основным инструментом научного познания.

Именно «Начала. » Ньютона, заложившие основы дифференциального исчисления с практическим выходом в сторону механики сделали последнюю первой в истории настоящей научной теорией. Законами механики, где-то успешно, где-то не очень, стали пытаться объяснять все явления, происходящие в природе, от оптики до электричества, от термодинамики до строения вещества. Время расставила точки над «i», на смену механистическим принципам пришли другие теории, да и сама механика изрядно эволюционировала. Но вместе с тем, механика, как никакая другая дисциплина наглядно и подробно иллюстрирует всё то, о чём мы будем говорить ниже. Большинство примеров данного цикла будет так или иначе связано с моделированием механических систем, по крайней мере в первых его статьях.

Прежде чем мы начнем, должен дать несколько поясняющих замечаний:

1. Читатель таки должен быть знаком с основным содержанием курса математики, понимать что такое векторные величины. Без этого ну никак. Буду стараться снабжать текст ссылками для подробного изучения узких мест, но в подробности вдаваться не буду
2. В качестве инструмента для выполнения численных расчетов будем опираться на пакет GNU Octave. Почему — две причины. Он бесплатен, является аналогом Matlab и содержит всё необходимое для наших целей. Вторая причина — я сам хочу с ним познакомится, так что пусть это будет моей прихотью )
3. Автор ждет замечаний к материалу, излагаемых в любой форме, будь то комментарии, письма, прочее. Это поможет сделать материал лучше.

2. Количественные параметры, описывающие движение

Механика — это наука, изучающая движение материальных тел. Под механическим движением понимают перемещение тела в пространстве с течением времени. Это определение должно навести вас на следующие вопросы:

1. Что понимают под телом?
2. Как определяют его положение в пространстве?

Под телом, в научно-философском смысле принято понимать любой материальный объект, но этого расплывчатого определения явно недостаточно. Поэтому механика оперируют следующими абстрактными понятиями:

1. Материальная точка (или просто «точка»)
2. Абсолютно твердое тело (или просто «твердое тело»)

Под точкой принято понимать тело, размерами которого пренебрегают в конкретных условиях движения. Чтобы было понятно, посмотрим с позиции этого определения на нашу планету, движущуюся вокруг Солнца

Земля имеет диаметр порядка 13000 километров. Солнце — почти полтора миллиона километров. Ничего себе точки! Но вот расстояние между ними 150 млн. километров, а путь проходимый Землей за год по орбите около миллиарда километров. Как видим, в таких масштабах пространства Землю и Солнце можно действительно считать точками.

А если мы хотим изучать вращение Земли вокруг своей оси?

Тогда каждая точка Земли движется по своей собственной траектории относительно оси вращения и пренебрегать её размерами никак нельзя! Здесь Землю стоит рассматривать уже как совокупность связанных точек или твердое тело.

Таким образом, механика предоставляет в наше распоряжение не само тело, а две его простые модели, используя которые можно решить большинство практических задач с нужной на практике степенью точности.

Нет смысла говорить о твердом теле, не разобравшись с тем, как описывается движение точки. Очевидно, для того чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо выбрать начало отсчета, например другую точку. Определившись с началом отсчета нужно выбрать те параметры, количественное значение которых даст возможность оценить положение в пространстве интересующей нас движущейся точки. В зависимости от того, какие параметры выбраны, различаю три способа задания движения точки

2.1. Векторный способ задания движения

Все очень просто — из начала координат O к точке M проводят вектор. Длина и направление этого вектора позволяют нам судить о том, где расположена точка.

Точка будет двигаться в пространстве, вектор будет менять свою длину и направление, а его конец чертить в пространстве воображаемую кривую, которая называется траекторией точки. Сам вектор называют радиус-вектором точки. Если мы знаем математический закон, формулу, по которой можем вычислить этот вектор для любого момента времени, то мы знаем закон движения точки

Эта запись говорит нам о том, что радиус-вектор является функцией времени.

2.2. Координатный способ задания движения точки

Мы может провести из начала отсчета три взаимно перпендикулярных оси x, y, и z. Тогда положение точки будет определятся тройкой чисел — координатами в декартовой системе.

В этом случае закон движения точки это три функции времени

и теперь уже они являются законом движения.

2.3. Естественный (траекторный) способ задания движения точки

Мы можем вообще не использовать векторов и осей. Начало отчета выберем на траектории точки, и положение точки оценивать по длине дуги, которую она прошла по траектории

В этом случае нам придется определится с тем, в каком направлении вдоль кривой координата s отсчитывается в положительном направлении и тогда функция

так же является законом движения. Этот способ удобен тогда, когда мы точно знаем форму траектории точки.

3. Скорость и ускорение

Скорость точки — это первая производная радиус вектора точки по времени

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки.

Что, со многих точек зрения, является самым правильным и полным определением. Если движение точки задается координатным способом, то вектор скорости определяется своими проекциями на оси координат, вычисляемые как производные от соответствующих координат

Последнее обозначение производной — точкой над функцией, такое древнее как и сами «Начала. » и восходит к Ньютону. Именно он предложил это обозначение. Потом укоренился привычный школьникам и студентам штрих, как обозначение производной по произвольному параметру, а точка осталась как обозначение производной взятой именно по времени.

Ускорение точки — это первая производная от вектора скорости точки, или вторая производная от радиус-вектора точки

Тут двумя точками над функциями обозначена вторая производная по времени.

Таким образом, зная закон движения точки мы с легкостью можем определить её скорость и ускорение простым вычислением производной.

4. Аксиомы динамики

В школе рассказывают о законах Ньютона. При этом часто допускают фундаментальную ошибку — забывают сказать, что эти законы сформулированы и справедливы исключительно для материальной точки. И совершенно не работают для твердого тела (тише, тише, не надо гневных возгласов, я всё объясню).

В такой научной дисциплине, как теоретическая механика, законы Ньютона принято называть аксиомами, и дополненные принципом независимости действия сил, они образуют систему аксиом динамики.

Точка движется в пространстве равномерно и прямолинейно, если векторная сумма приложенных к ней сил равна нулю.

Вектор ускорения точки, умноженный на её массу равен действующей на точку силе

Две точки взаимодействуют с силами равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль одной прямой

Аксиома 4 (Принцип независимости действия сил)

Если на точку действует несколько сил, то ускорение, сообщаемое точки этими силами равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых точке каждой силой в отдельности

Отсюда вытекает, что при действии на точку нескольких сил справедливо уравнение

которое в механике называю гордым и страшным именем — дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме.

Именно это уравнение служит отправной точкой для математического моделирования в механике. Решая именно это уравнение мы начнем осваивать основы математического моделирования как самостоятельной научной отрасли. Посмотрите на него внимательно, покопайтесь памяти, откройте учебники. Мы ещё не раз вспомним о нем.

Теперь объясню, что я имел в виду, говоря что законы Ньютона справедливы только для материальной точки. Это действительно так, представьте себе твердое тело, движущееся в пространстве. Черт возьми, выйдите на улицу, поднимите с земли палку побольше и швырните её подальше. Видите? Каждая точка палки движется по своей траектории. А значит у каждой точки палки своё собственное ускорение. К какой из этих точек применим второй закон Ньютона? Он применим к каждой точке палки, но не к палке в целом. Понятия «ускорение палки», «траектория палки» бессмысленны. Имеют смысл ускорение и траектория конкретной точки палки, например её центра масс.

Именно поэтому, когда описывают движение твердого тела, то используют теоремы динамики для твердого тела: теорему о движении центра масс, теорему об изменении момента количества движения и теорему об изменении кинетической энергии. Да, эти теоремы выведены опираясь на вышеперечисленные аксиомы (законы Ньютона). Но непосредственно эти законы не применимы к описанию движения твердого тела. Только для точки.

5. Дифференциальные уравнения движения точки

Итак, второй закон Ньютона и принцип независимости действия сил дают нам в руки серьезный математический аппарат в виде уравнения, связывающего между собой ускорение точки и действующие на эту точку силы. Если мы заменим ускорение, по определению данному выше, второй производной по времени от радиус-вектора точки, то увидим такое выражение

Вроде бы просто, но на самом деле это чрезвычайно круто и важно. Посмотрите — слева у нас, стоит закон движения (да, продифференцированный дважды). А справа — сумма сил. Таким образом, это уравнение связывает между собой силы приложенные к точке и закон движения. А значит зная закон движения, можно вычислить силу, его вызывающую. Или наоборот, зная силы, приложенные к точке, найти закон движения.

В подавляющем большинстве случаев это уравнение не используют непосредственно, а раскладывают его на три уравнения в проекциях на оси координат

6. Задачи динамики точки

По известному закону движения точки определить действующую на точку силу

Пусть мы знаем закон движения точки, заданный в виде зависимости радиус-вектора от времени

Тогда, достаточно два раза взять производную по времени от этой функции, умножить результат на массу, и мы получим ту силу, которая вызывает движение точки по данному закону

Отмечу, что полученная сила по факту есть равнодействующая всех сил, приложенных к точке, то есть информация о силовых факторах определяющих движение является неполной. Но, однако этот принцип позволил Ньютону открыть закон всемирного тяготения. В наши дни эта задача получила обобщение на произвольные динамические системы, совершенно не связанные с механикой и известна в теории управления как метод обратных задач динамики.

По известным силам, приложенным к точке, определить закон её движения

Силы, приложенные к точке можно сложить, получив вектор равнодействующей. Причем эта равнодействующая в общем случае будет зависеть от времени, положения точки в пространстве и её скорости

Мы получили уравнение, содержащее неизвестную функцию а так же две её производные. Такое уравнение в математике называют дифференциальным. Его решение в конечном счете сводится к интегрированию — операции обратной нахождению производной. Поскольку уравнение содержит вторую производную неизвестной функции, оно является уравнением второго порядка, а значит брать интеграл придется дважды.

Операция поиска интеграла в порядки сложнее операции поиска производной. И в подавляющем большинстве случаев результат нельзя выразить через элементарные математические функции. Как говорил наш преподаватель математики в университете: «Если вы видите быка, то можете представить себе какие котлеты из него получаться. Но видя котлеты, вам никогда не удастся реконструировать по ним быка. ». По моему эта байка как нельзя лучше отражает смысл и сложность обратных операций.

Невозможность получения аналитического решения многих задач привела к появлению численных методов, бурный рост которых произошел в компьютерную эпоху. В тот день когда дифференциальное уравнение движения было впервые решено на ЭВМ, стал днём рождения новой отрасли знаний — математического моделирования.

Заключение

Не нужно упрекать меня за перепечатку учебника по механике. Данный текст является авторским и преследует целью обзор теоретических основ, без которых говорить о моделировании как практической области нет ни малейшего смысла. В следующий раз мы будет заниматься практикой, но начнем как это положено с азов.

Введение в моделирование динамики механических систем

Введение

В отличие, например, от прочностных расчетов методом конечных элементов, которые давно вошли в обычную практику инженеров-исследователей, динамические расчеты с помощью специализированного программного обеспечения до сих пор в силу многих причин не стали непременным атрибутом инженерного анализа. Сложившееся положение дел усугубляется отсутствием специалистов, которым просто неоткуда взяться: в технических вузах практически нет специализированных курсов, соответственно на предприятиях нет сложившихся традиций и опыта использования подобного программного обеспечения. Самостоятельному изучению препятствует дефицит специализированных материалов, круг которых в настоящее время ограничен руководствами пользователя к соответствующему программному обеспечению.

В настоящей статье обсуждаются предпосылки, основные принципы и понятия, связанные с компьютерным моделированием динамики механических систем; ее можно рассматривать как своего рода введение в предмет.

Для чего нужно компьютерное моделирование

В настоящее время общепринято мнение о том, что изучение динамики механической системы может быть выполнено путем комбинации физических экспериментов и компьютерного моделирования. Если есть доступный экспериментальный образец механической системы, то можно поставить ряд физических экспериментов и определить интересующие характеристики этого объекта. Измеряемые динамические характеристики обычно включают линейные и угловые перемещения, скорости и ускорения, усилия между элементами конструкции, а также между механизмом и внешними по отношению к нему объектами (фундаментом машины, автомобильным мостом, железнодорожными путями и т.д.).

Для определения различных динамических показателей на разных режимах работы механической системы обычно требуется поставить большое число физических экспериментов, а также оснастить испытательную площадку сложным и обычно дорогим измерительным и регистрирующим оборудованием. Объем работ по подготовке механизма к испытаниям, по установке и настройке измерительного оборудования, обработке и изучению полученных результатов значителен, а стоимость таких работ высока. Вместе с тем при проведении физических экспериментов не всегда возможно измерение всех интересующих динамических показателей — приходится преодолевать проблемы, связанные с погрешностями измерительных приборов, повторяемостью и воспроизводимостью результатов. Кроме того, испытания машин на предельных или нештатных режимах, как правило, либо очень дорогостоящи в силу дороговизны образцов или оборудования, которые разрушаются, либо опасны, как эксперимент, показанный на рис. 1а.

a

b

Рис. 1. Проведение некоторых натурных экспериментов с автопоездом связано с опасностью его переворота и требует оснащения аутригерами: а — натурный эксперимент; б — компьютерное моделирование (ил. взята из изд.: Winkler C.B., Blower D., Ervin R.D., Chalsani R.M. Rollover of Heavy Commercial Vehicles: SAE Research Report. Warrendale: Society of Automotive Engineers, Inc.)

Компьютерное моделирование — привлекательная замена физическим экспериментам, поскольку не требует изготовления экспериментального образца; с помощью компьютерного моделирования может быть поставлено любое число численных экспериментов и получены любые интересующие исследователя динамические показатели. Компьютерные модели могут быть использованы для выявления и устранения проблем еще до производства первого образца, что особенно важно для штучных и мелкосерийных производств.

В сравнении с натурными экспериментами компьютерное моделирование — очень полезный инструмент, который обеспечивает всесторонний, рентабельный и безопасный анализ динамики механических систем. Это дает возможность с минимальными затратами подвергать тщательному анализу, в том числе, совершенно новые идеи и решения.

Сложность динамического анализа заключается в невозможности точного аналитического исследования даже простых механических систем, поскольку динамика, как правило, описывается системами дифференциальных или дифференциально-алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных, решение которых аналитически получить невозможно. Однако само составление уравнений движения механических систем с большим числом степеней свободы может оказаться очень непростой процедурой. Это связано с ростом сложности выражений для кинематических величин, определяющих положение, скорости и ускорения тел, входящих в систему, при увеличении длины кинематических цепей. Кроме того, постоянный рост требований к качеству проектируемых технических систем приводит к необходимости построения усложненных динамических моделей. С одной стороны, это влечет за собой увеличение числа степеней свободы, а следовательно, приводит к упомянутым выше проблемам. С другой стороны, уточняются и усложняются математические модели сил взаимодействия тел, входящих в систему. Примерами могут служить силы взаимодействия железнодорожного колеса с рельсом и автомобильного колеса с дорогой. Наконец, наблюдается тенденция к сокращению сроков, необходимых для создания новой техники. В силу описанных здесь причин возможности аналитических методов исследования динамики механических систем резко ограничены и в современных условиях для решения таких задач применяется специализированное программное обеспечение.

Анализ динамики в проектировании механических систем

Типовой анализ механических систем в машиностроении включает, как правило, анализ динамики, прочности и долговечности. В идеале процесс проектирования идет итерационно и начинается с эскизного проекта, который определяет основные геометрические, инерционные и прочие параметры системы. Далее строится ее динамическая модель, с помощью которой, например, выполняется параметрическая оптимизация и определяются динамические показатели системы, которые в ряде отраслей могут быть ограничены различными нормами и стандартами. Кроме того, с помощью динамической модели определяются усилия взаимодействия между элементами конструкции в шарнирах, сочленениях, опорах, силовых (пружинах, рессорах, демпферах) и крепежных элементах на штатных и экстремальных режимах работы. Определенные здесь усилия являются входными данными для дальнейшего анализа деталей механической системы на прочность и долговечность. Если по результатам анализа прочности и долговечности заметно меняются геометрические или инерционные параметры системы, выполняется повторный анализ динамики, который уточняет величины усилий при новых значениях параметров, а затем повторяются остальные виды анализа.

Вместе с тем не стоит рассматривать динамический анализ только как инструмент, позволяющий определять нагрузки для дальнейшего прочностного анализа. Во многих случаях, например для транспортных средств, он имеет выраженное самостоятельное значение.

Методика моделирования

Рассмотрим общие принципы работы инженеров-исследователей с программным обеспечением для моделирования динамики механических систем. Как и в любой другой области моделирования, после постановки задачи при построении модели исследователь переходит от реального объекта к его идеализированной расчетной схеме. Искусство исследователя заключается в умении построить не самую сложную, но адекватную расчетную схему, которая позволила бы решить поставленную задачу наиболее эффективно.

В основе моделирования динамики механических систем лежит их представление системой связанных абсолютно твердых или упругих тел. Наиболее универсальным способом описания положения и возможных движений пары тел, одним из которых может быть неподвижная система координат, является использование понятия шарнира. Современное коммерческое программное обеспечение дает возможность ввести в модель любые шарниры, встречающиеся на практике.

Особое значение имеет описание силовых элементов, определяющих взаимодействия пар тел. От полноты базы встроенных силовых элементов зависит применимость той или иной программы в каждом конкретном случае. Вместе с тем отметим, что модели таких типовых сил, как пружина или демпфер, есть в любой программе, представленной на рынке. Принципиальные для пользователя отличия начинаются в проблемно-ориентированных моделях сил, таких, например, как силы взаимодействия железнодорожного колеса и рельса, автомобильного колеса и дороги, гусеницы и грунта и т.д. Отметим также, что практически во всех программах есть возможность описания пользователем собственных математических моделей сил на специализированном встроенном или обычном алгоритмическом языке программирования и включение таких сил в построенные модели механических систем.

После описания модели явно или неявно для пользователя происходит этап автоматического синтеза уравнений движения механических систем с помощью специальных алгоритмов. Программная реализация таких алгоритмов может быть выполнена как в символьной, так и в численно-итерационной форме. Символьный синтез уравнений движения предполагает вывод уравнений на одном из языков программирования (обычно поддерживаются Fortran, C и Pascal). Далее эти синтезированные файлы должны быть откомпилированы внешним компилятором, что на выходе дает исполняемые файлы, готовые к использованию. Численно-итерационный метод предполагает формирование уравнений движения численно на каждом шаге численного метода интегрирования уравнений движения. Формирование уравнений движения в символьной форме позволяет эти уравнения оптимизировать с точки зрения количества арифметических операций 1 , что обеспечивает заметные преимущества по быстродействию процесса моделирования, а численно итерационные алгоритмы дают возможность проще организовывать моделирование систем с переменной структурой.

Целью компьютерного моделирования технической системы является анализ ее свойств с использованием построенной модели. Основной инструмент такого анализа — численное интегрирование нелинейных уравнений движения. Отметим основные требования к методам, используемым в коммерческом программном обеспечении. Во-первых, это возможность интегрировать с автоматическим выбором шага и контролем точности решения. Во-вторых, способность эффективно решать так называемые жесткие уравнения, то есть уравнения, в которых наряду с медленными есть очень быстро протекающие процессы; классические численные методы для таких систем практически не подходят 2 .

По окончании численного моделирования в качестве результатов для дальнейшего анализа доступны следующие величины:

• кинематические характеристики (траектории, координаты, скорости, ускорения любой точки любого тела, углы поворотов, угловые скорости и угловые ускорения тел, характеристики относительного движения тел);
• силы реакций в шарнирах;
• активные силы (например, силы в пружине, гасителе колебаний, листовой рессоре, гидроцилиндре);
• напряжения и деформации для упругих тел.

Рис. 2. Гибридная модель подвески грузовика (а) и результаты расчета долговечности рамы тележки локомотива (б) в ПК «Универсальный механизм»

Программный комплекс «Универсальный механизм»

В настоящее время на рынке программного обеспечения данное направление представлено довольно большим числом универсальных программ, например MSC.ADAMS, LMS.DADS, SYMPACK, а также программ, ориентированных на конкретные объекты 3 . Например, программы MEDYNA, NUCARS и Vampire ориентированы на моделирование динамики рельсовых экипажей. Все программы данного типа автоматизируют процесс формирования уравнений движения конкретной механической системы на основе описания инерционных, геометрических и кинематических параметров, моделей силовых взаимодействий, выбранных или заданных пользователем. Для дальнейшего исследования динамики объекта используются численные методы анализа уравнений движения, например численное интегрирование.

В России заметное распространение получил программный комплекс «Универсальный механизм» (УМ) 4 , разработанный в лаборатории вычислительной механики Брянского государственного технического университета. В настоящее время комплекс включает мощное универсальное ядро, отвечающее всем современным требованиям, и ряд специализированных модулей для моделирования динамики автомобилей (рис. 2а), железнодорожных экипажей, гусеничных машин, модули оптимизации, расчета долговечности (рис. 2б) и пр. Кроме того, программный комплекс имеет интерфейсы с другими программными продуктами. Например, модуль моделирования упругих тел поддерживает импорт данных из ANSYS и MSC.NASTRAN, модуль импорта 3D-моделей из CAD-программ сегодня поддерживает SolidWorks, КОМПАС, Autodesk Inventor и Pro/ENGINEER, модуль UM Control обеспечивает импорт моделей из Matlab/Simulink.

Далее рассмотрим несколько примеров использования УМ в реальной практике производственного предприятия.

Опыт использования УМ на Электростальском заводе тяжелого машиностроения (ЭЗТМ)

Широкая номенклатура новой техники, над которой в последние годы приходится работать специалистам предприятия, требует широкого внедрения средств автоматизации проектирования, в том числе программного обеспечения для инженерного анализа. Специфика некоторых проектируемых машин такова, что без предварительного анализа их динамики не обойтись. Речь идет, в частности, об инерционных грохотах (рис. 3а) и щековых дробилках (рис. 3б).

ab

Рис. 3. Динамические модели проекта ЭЗТМ, импортированные из КОМПАС-3D: а — грохота; б — дробилки

Рассмотрим механизм грохота. Его назначение — при помощи сеток с ячейками разного размера разделять поступающую на него породу по фракциям и обеспечивать направленное движение частиц так, чтобы сепарированные потоки стекали с его противоположной стороны. Вращение дебалансов, установленных на валу вибратора, заставляет раму грохота вместе с неподвижно закрепленными на ней сетками совершать вынужденные колебания. Отношение амплитуд вертикального и продольного компонентов колебаний обеспечивает баланс между сепарированием и продольным перемещением фракций породы по сеткам грохота.

Проведенное сравнение показало, что результаты компьютерного моделирования в программном комплексе «Универсальный механизм» количественно и качественно практически полностью совпадают с результатами стендовых испытаний, относительная ошибка не превышает 5-10%. Созданная параметризованная динамическая модель грохота использовалась для проверки различных конструктивных решений, а также для определения оптимальных значений масс дебалансов и жесткостей рессорных комплектов.

Исторический экскурс

Динамика систем тел как отдельная дисциплина базируется на принципах классической механики. Материальная точка, как наиболее простой объект исследования, удовлетворяет уравнениям Ньютона, которые были опубликованы в 1686 году в его работе «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica». Понятие твердого тела было введено Эйлером в 1775 году в его труде «Nova methodus motum corporum rigidarum determinandi». Для учета действия связей и шарниров Эйлер использовал принцип замены действия связей их силами реакции. Полученные уравнения известны в механике как уравнения Ньютона — Эйлера.

Механическая система впервые была рассмотрена в 1743 году Даламбером в его «Traite de Dynamique», где он провел различия между активными силами и силами реакции и ввел принцип, ныне носящий его имя. В 1788 году в работе «Mecanique Analytique» Лагранж провел анализ связанных механических систем, применив вариационные принципы к кинетической и потенциальной энергии механической системы, принимая во внимание кинематические связи между телами системы и выбранные обобщенные координаты, и получил в результате так называемые уравнения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения Лагранжа второго рода — минимальный набор дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих динамику механической системы.

Несмотря на очевидные успехи, вплоть до 60-х годов прошлого века сложность решаемых задач была ограничена объективными причинами: нелинейные эффекты различной природы и неэффективные численные методы делали решение более или менее сложных задач чрезвычайно затруднительной процедурой, требующей большого объема ручного труда. Высокие требования на сложность моделей, в первую очередь для космической отрасли, и бурное развитие вычислительной техники привели к появлению нового раздела механики — динамики систем тел, в котором принципы классической механики были дополнены и расширены с точки зрения применения компьютерных алгоритмов синтеза и решения уравнений движения механических систем.

Одни из первых алгоритмов (формализмов) компьютерного синтеза уравнений движения были предложены в 1965 году Хукером и Маргулисом и в 1967-м Роберсоном и Швертассеком. Кроме этих численных формализмов, развивались также методы символьного вывода уравнений движения. Один из первых таких методов был опубликован Шиленым и Кройцером в 1977 году. Первые законченные коммерческие программные продукты для моделирования динамики систем тел появились в 80-х годах прошлого столетия.

Опыт использования УМ на ФГУП «ПО Уралвагонзавод»

В последнее время все сильнее обостряется конкурентная борьба на рынке железнодорожного подвижного состава. Производитель, который предложит отвечающий требованиям заказчика товар в минимальные сроки, займет на нем лидирующее положение. Существенно сократить период разработки изделия можно с помощью программ компьютерного моделирования режимов эксплуатационной нагруженности железнодорожного подвижного состава.

Если многие вагоностроительные предприятия уже давно приобрели и внедрили в практику конечно-элементные программные комплексы (ANSYS, NASTRAN и т.д.) и самостоятельно выполняют все необходимые расчеты, то динамический анализ пока остается весьма специфической областью.

Первый шаг в решении этой проблемы на ФГУП «ПО Уралвагонзавод» был сделан в 2002 году, когда учеными БГТУ и УрГУПС при содействии специалистов предприятия была создана математическая модель самой массовой грузовой тележки модели 18-100 (рис. 4).

Рис. 4. Тележка модели 18-100

Именно эта модель легла в основу унифицированной математической модели трехэлементной тележки в составе модели грузового вагона с возможностью использования ее для моделирования тележек типа 18-100, а также тележек, содержащих скользуны постоянного контакта, линейное и билинейное рессорное подвешивание, буксовые адаптеры, износостойкие полимерные элементы в клиновой системе, упругие связи, обеспечивающие жесткость тележки в плане. Параметризация компьютерной модели позволяет варьировать параметры модели, в том числе моделировать динамику вагонов с учетом износа различных элементов тележки.

На 2008 год запланированы полевые испытания, по результатам которых будут проводиться уточнение и идентификация параметров расчетной схемы динамической модели трехэлементной тележки модели 18-578. Создание такой математической модели в дальнейшем позволит специалистам ФГУП «ПО Уралвагонзавод» оценить динамику железнодорожного подвижного состава еще на стадии проектирования с последующим выходом на динамическую нагруженность и оценку его долговечности и ресурса.

Авторы выражают благодарность зам. гл. конструктора, начальнику КБ ЭЗТМ Н.А.Павлову и инженеру Е.В.Потапову за предоставленные материалы.

1 Например, вынести за скобки общий множитель, привести подобные члены, исключить умножение на единицу и ноль.

2 Строгое определение понятия жесткости и подробное рассмотрение особенностей различных численных методов можно найти, например, в кн.: Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1989.