Уравнения движения оболочки к л в усилиях

Уравнения движения оболочек

Уравнения движения оболочек

Уравнения движения получаются в соответствии с принципом Даламбера добавлением к уравнениям равновесия инерционных членов. Для соотношений теории оболочек Кирхгоффа-Лява эти уравнения в проекциях на оси ξ, η и z имеют вид

В третьем уравнении перерезывающие силы выражаются через моменты из двух уравнений равновесия моментов общей системы.

Начальные условия обычно принимаются нулевыми – для перемещений и их скоростей.

Граничные условия записываются точно так же, как в статике.

Эти уравнения получены были достаточно давно, в начале прошлого века. Реализация задач с помощью этих уравнений, в том числе численными методами, дала результаты, на первый взгляд, неожиданные. Так, скорость распространения упругих возмущений по оболочке оказалась бесконечной – любое возмущение сразу сказывается по всей оболочке независимо от места приложения нагрузки.

Причина этого кроется в следующем. Исходные уравнения теории упругости, на которых основаны соотношения теории оболочек, являются гиперболическими, т.е. хорошо (адекватно) описывающими волновые процессы. Анализ уравнений классической теории оболочек показывает, что они являются параболическими, т.е. «по пути» преобразований и упрощений, связанных с адаптацией соотношений теории упругости к специфическим тонкостенным объектам, изменился и тип системы дифференциальных уравнений.

Само это изменение, очевидно, связано с гипотезами, на которых основана теория оболочек. Так, отсутствие поворота нормали к недеформированной срединной поверхности относительно этой поверхности в ее деформированном состоянии означает запрет на поперечные сдвиги. Это равносильно тому, что мы сделали модуль сдвига бесконечно большим.

Рекомендуемые файлы

Собственно, при последовательном подходе отсутствие поперечных сдвигов должно приводить к отсутствию соответствующих напряжений (а они по статической гипотезе тоже равны нулю или «пренебрежимо малы»). Но тогда и перерезывающие силы должны быть нулевыми, однако мы эти силы вводим и определяем их из уравнений равновесия моментов. Ненулевые значения этих сил можно получить при нулевых значениях поперечных сдвигов только при бесконечном модуле сдвига.

Если учесть, что скорость любого возмущения в упругой среде определяется упругими постоянными, то понятно, что кинематическая гипотеза теории оболочек и приводит к такому положению.

Выход из этого положения был найден с помощью построения так называемой неклассической теории оболочек (типа Тимошенко). Эта теория основана на следующих допущениях:

— поперечные сдвиги по толщине оболочки допускаются и не равны нулю в общем случае;

5.3. Казачество — лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

— учитывается инерция вращения элемента оболочки вокруг осей ξ, η.

Второе допущение имеет целью сделать все уравнения равновесия после добавки в них инерционных слагаемых по принципу Даламбера динамическими уравнениями.

В итоге структура уравнений движения:

Здесь φ и ψ – углы поворота нормалей вокруг осей ξ, η соответственно. Если то сдвиги отсутствуют (повороты нормали совпадают с поворотами срединной поверхности), и получатся соотношения классической теории оболочек.

Число уравнений движения возросло до пяти, и основных параметров, определяющих положение произвольной точки оболочки, стало пять – три перемещения и два поворота нормали. Соответственно для этих параметров формулируются 10 начальных условий, поскольку каждое из уравнений движения по времени имеет второй порядок.

Меняется и число граничных условий в соответствии с тем, что система дифференциальных уравнений имеет 10-й порядок. Поскольку и положение точки определяется пятью параметрами, то в каждой точке контура необходимо поставить пять условий, а не четыре, как в классической теории.

Часть 6. Колебания тонкостенных элементов ГТД

Часть 6. Колебания тонкостенных элементов ГТД

Лекция 6.1. Колебания оболочек. Основные расчётные соотношения

Колебания элементов конструкции двигателя, выполненных в виде цилиндрических оболочек. Причины, вызывающие колебания. Задачи динамического расчета. Основные расчетные соотношения

Ряд узлов газотурбинного двигателя, в частности, кожухи жаровых труб камер сгорания, реактивные сопла, форсажные камеры и некоторые элементы силового корпуса могут рассматриваться как тонкостенные оболочки.

Нагрузками, возбуждаюшими колебания этих узлов являются газодинамические силы пульсации газового потока, нагрузки, передаваемые с опор от вращения неуравновешенного ротора, нестационарное обтекание набегающим потоком воздуха динамические нагрузки, передаваемые на двигатель через узлы его крепления к летательному аппарату при посадке и пробеге и др.

Величина и характер изменения этих нагрузок во времени не всегда поддаётся описанию, но спектральный состав достаточно хорошо изучен. В связи с этим целесообразно задачу динамического расчёта таких узлов ставить и решать как задачу расчёта частот их собственных колебаний с целью отстройки от опасных резонансных режимов.

Большая часть тонкостенных конструкций узлов ГТД выполняется в виде цилиндрических оболочек. Поэтому ниже будут рассматриваться оболочки этой конфигурации. Следует, кроме того, заметить, что основные свойства спектра частот оболочек вращения с криволинейной образующей имеют большое качественное сходство с особенностями спектра частот цилиндрических оболочек.

6.1.1. Основные расчётные соотношения

Рассмотрим тонкостенную круговую цилиндрическую оболочку, при деформациях которой выполняются следующие условия:

1. Произвольный элемент оболочки, нормальный к её срединной поверхности до деформации, остаётся нормальным к деформированной срединной поверхности и сохраняет свою длину;

2. Напряжения, нормальные к площадкам, параллельным срединной поверхности, считаются пренебрежимо малыми по сравнению с остальными напряжениями;

3. Материал оболочки работает в области линейной упругости;

4. Силы внутреннего трения при колебаниях не учитываются.

Первые три допущения позволяют решать задачу колебаний оболочки в линейной постановке с малой погрешностью порядка в сравнении с единицей. Здесь толщина оболочки, а радиус её срединной поверхности (рис.6.1,а).

Последнее допущение, упрощая решение задачи, не вносит заметной погрешности в определение нижней части спектра собственных частот.

Положение произвольной точки срединной поверхности оболочки определяется цилиндрическими координатами (), где расстояние от начального сечения до точки по образующей, угловая координата, отсчитываемая от начального радиуса.

Области изменения значений координат ограничены пределами , , гдедлина оболочки.

Перемещения произвольной точки срединной поверхности рассматриваются в декартовой системе координат, связанной с недеформированной срединной поверхностью таким образом, что ось направлена по образующей, ось по касательной к направляющему кругу, а ось по радиусу оболочки. Обозначим компоненты перемещений по этим осям соответственно и .

Уравнения, описывающие колебания

Рис.6.1.Системы координат оболочки, выводятся из условий динамического

и равновесие элемента оболочки равновесия её элемента (рис.6.1,б).

Условия равенства нулю главных векторов сил и моментов запишутся в виде:

Рис.6.2. Равновесие элемента оболочки

В этих уравнениях нормальное усилие в сечении ;

нормальное усилие в сечении ;

изгибающий момент, крутящий момент и

перерезывающая сила в сечении ;

изгибающий момент, крутящий момент и

перерезывающая сила в сечении ;

и компоненты распределённой внешней нагрузки.

В соответствии с принципом Даламбера к внешней нагрузке добавлены компоненты распределённых сил инерции с обратными знаками:

,

где массовая плотность материала оболочки.

Из последних двух уравнений находим:

.

Подставляя эти соотношения в первые три уравнения, получим:

(6.1)

Компоненты деформаций выражаются через перемещения по формулам (рис.6.3).

(6.2)

Здесь и относительные деформации кручения в направле-нии осей и ; относительный сдвиг, т. е. изменение угла между

Рис. 6.3. Деформации элемента оболочки осями и ;

и компоненты изменения

кривизны срединной поверхности;

относительная деформация.

Напряжения и деформации для двухосного напряжённого состояния связаны законом Гука:

.

Отсюда погонные усилия, действующие на элемент оболочки:

.

При изгибе оболочки удлинение какого–либо волокна, отстоящего от срединной поверхности на расстоянии за счёт изменения кривизны равно:

. (6.3)

Отсюда изгибающий момент:

.

.

В результате подстановки выражений для сил и моментов с учётом формул для деформаций (6.2) в уравнения (6.1) получим:

(6.4)

Система дифференциальных уравнений в частных производных (6.4) является системой уравнений движения тонкой круговой цилиндрической оболочки. В её записи использовано обозначение оператора Лапласа:

.

Любая задача динамики круговой цилиндрической оболочки сводится к необходимости решения этой системы с соответствующими краевыми условиями. Пусть эти условия отражают свободное опирание краёв оболочки, т. е. при .

С учётом выражений (6.2) и (6.3) эти условия записываются в виде :

; : ;

; . (6.5)

Для замкнутой круговой цилиндрической оболочки к этим условиям следует добавить требование периодичности решений по углу :

; ; . (6.6)

Начальные условия для перемещений и первых их производных по времени должны соответствовать физическому смыслу задачи.

При известных внешних динамических нагрузках , , решение системы уравнений движения (6.4) с учётом условий опирания (6.5), периодичности (6.6) и начальных условий даёт описание картины вынужденных колебаний оболочки.

Собственные колебания оболочки происходят без воздействия внешних нагрузок лишь в результате начальных отклонений от положения равновесия. Поэтому система уравнений, описывающая свободные колебания оболочки, не содержит членов и :

. (6.7)

Лекция 6.2. Колебания оболочек

Порядок решения задачи о собственных колебаниях оболочек

Задача о собственных колебаниях круговой цилиндрической оболочки допускает решение в виде разложения в ряд по гармоническим функциям. В силу ортогональности базовых функций можно представить решение системы уравнений (6.7) для каждого из перемещений при собственных колебаниях оболочки в виде одного члена такого ряда:

(6.8)

Легко понять, что выражения (6.8) удовлетворяют граничным условиям (6.5) и условиям замкнутости (6.6).

Для отыскания неизвестных амплитудных значений и выполним следующие операции:

а. Подставим выражения (5.8) в исходную систему уравнений (6.7). В результате получим:

(6.9)

где ;

б. Умножим первое уравнение (6.9) на , второе – на и третье – на ;

с. Проинтегрируем каждое из полученных в результате этих операций уравнений по в пределах от до, по от до и по от до .

Поскольку определённые интегралы от квадратов гармонических функций:

и

представляют собой не равные нулю числа, можно левые и правые части полученных после интегрирования уравнений на эти числа разделить и получить тем самым, систему однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов и :

(6.10)

Условием существования ненулевых решений системы уравнений (6.10) является равенство нулю определителя этой системы:

.

Здесь введено обозначение:

. (6.11)

Раскрывая определитель, получим:

(6.12)

Корни этого уравнения соответствуют таким значениям квадратов частот колебаний , при которых оболочка имеет отличные от нуля амплитудные значения и компонент перемещений и , или иначе – квадратам частот собственных колебаний оболочки.

Для каждого сочетания (для каждой пары) чисел уравнение (6.12) имеет три вещественных положительных корня, которые соответствуют квадратам частот трёх основных видов колебаний. Поскольку числа и могут принимать любые целые значения от единицы до бесконечности, то для каждого из трёх видов колебаний существует бесконечное число собственных частот и форм колебаний.

Лекция 6.3. Виды и формы собственных колебаний оболочек. Особенности спектра частот собственных колебаний

Энергетический подход к анализу динамических характеристик конструкции. Особенности спектра частот собственных колебаний оболочек

Для анализа особенностей спектра частот и форм собственных колебаний цилиндрической оболочки следует ещё раз вернуться к смыслу тех преобразований, которыми сопровождался вывод частотного уравнения (6.12).

Обратим внимание на то, что система уравнений (6.7) является не чем иным, как условием равенства нулю суммы распределённых сил упругости и инерции при свободных колебаниях оболочки. Это непосредственно вытекает из смысла исходной системы уравнений (6.1).

В процессе преобразований системы ( стр. 129) силовые факторы умножались на компоненты перемещений оболочки (операция б), затем полученные произведения интегрировались по поверхности оболочки и на периоде её собственных колебаний (операция с). Эта последовательность, как известно, приводит к получению выражений для энергии.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что полученная в результате система уравнений (6.10) является условием равенства нулю суммы потенциальной и кинетической энергии оболочки на периоде её колебаний. Условие существования нетривиальных решений этой системы, которое используется в качестве частотного уравнения (6.12), по существу несёт в себе этот же смысл.

Частотное уравнение, как это установлено выше, имеет три действительных положительных корня, которые соответствуют при каждой заданной паре чисел значениям квадратов частот одного из трёх видов собственных колебаний.

Энергетический анализ частотного уравнения позволяет эти три вида трактовать как преимущественно радиальные или изгибные (с наибольшей долей энергии, внесённой радиальными перемещениями), преимущественно тангенсиальные (с наибольшей долей энергии, внесённой окружными перемещениями) и соответственно преимущественно продольными колебаниями.

Если корни частотного уравнения или соответствующие им квадраты частот (6.11):

расположить в порядке возрастания:

,

то при той же паре чисел наименьшее значение квадрата частоты будет соответствовать преимущественно радиальным (изгибным) колебаниям, второе по величине значение тангенсиальным и третье продольным колебаниям.

Частоты колебаний определяются числами , которые могут принимать любые целые значения. Из выражений (6.8) для перемещений оболочки следует, что значение определяет число полуволн, образующихся при колебаниях оболочки по её длине, а число волн в окружном направлении (рис.6.4).

Числа и принято называть волновыми числами, определяемые ими формы перемещений при свободных колебаниях оболочки – собственными формами, а соответствующие этим формам частоты – частотами собственных колебаний или собственными частотами.

Рис.6.4. Формы собственных колебаний оболочки

Для дальнейшего анализа особенностей спектра частот и форм собственных колебаний перепишем частотное уравнение (6.12) в виде:

, (6.13)

(6.14)

На графике (рис.6.5) показан характер изменения по линейного, квадратного и кубического членов левой части уравнения (6.13) всех четырёх частей суммы, входящих в выражение .

Первый корень частотного уравнения (6.23) равен значению в точке пересечения кривойс осью абсцисс. С учётом того, что при небольших значениях точки пересечения всех трёх кривых близки друг к другу, можно приблизительно определить как:

. Заметим, что

Рис.6.5. Кривые изменения членов близость собственных частот, опреде-

левой части частотного уравнения ляемых значениями квадратных кор-

ней из , будет ещё большей.

Отсюда с учётом выражений для, и в формулах (6.14) следует, что квадрат частоты радиальных колебаний оболочки равен:

. (6.15)

На рис. (6.6) приведена рассчитанная по формуле (6.15) и полученная экспериментально диаграмма изменения частоты собственных радиальных колебаний оболочки с одной полуволной по длине в зависимости от числа волн по окружности. Частота колебаний обозначена буквой , т. к. она здесь измеряется в герцах.

Характерной особенностью этой диаграммы является то, что минимальная частота не соответствует самой простой форме колебаний и наблюдается при . Это объясняется следующим.

Уравнение для частот собствен-ных колебаний получено, как показано выше, из энергетических соотноше-ний. Вследствие этого можно утверждать, что как и в известной формуле Рэлея, квадрат частоты при нормированном начальном отклоне-нии из–за независимости его от начального отклонения равен

максимальному значению потенци-

Рис.6.6. Частотная диаграмма альной энергии за один период колеба —

Потенциальная энергия оболочки суммируется из потенциальной энергии изгиба и потенциальной энергии растяжения её срединной поверхности . Таким образом, квадрат частоты равен сумме:

С ростом числа волн по окружности оболочки формы её колебаний сопровождаются всё большей кривизной деформированной срединной поверхности и, как следствие, ростом энергии изгиба оболочки. Энергия же растяжения с ростом числа волн падает. Совокупный эффект уменьшения энергии растяжения и возрастания энергии изгиба приводит к наличию минимума полной потенциальной энергии, а, следовательно, квадрата частоты и самой собственной частоты при каком–то числе волн по окружности.

Изложенные здесь результаты получены , а формула для квадрата частоты (6.15) носит название формулы Бреславского.

Им была решена и более сложная задача о собственных колебаниях оболочки с учётом избыточного внутреннего давления. В этом случае квадрат частоты может быть определен из несколько упрощённой формулы:

, (6.16)

где избыточное давление.

Проанализируем характер изменения частоты собственных колебаний оболочки при изменении её относительных размеров и избыточного давления.

Влияние относительного удлинения – отношения длины оболочки к радиусу срединной поверхности можно проследить на основе зависимости от величины .

Из формулы (6.15) видно, что с увеличением удлинения за счёт снижения величины квадрат собственной частоты уменьшается. Этот вывод подтверждается и сопоставлением экспериментальных частотных диаграмм для оболочек разной длины при неизменных остальных параметрах (рис.6.7).

Влияние относительной толщины – отношения толщины к радиусу оболочки сказывается на величине , входящей в формулу для . Характер изменения частоты колебаний в зависимости от нелегко проанализировать по формуле (6.15), которую следовало бы для этой цели несколько преобразовать. Не делая этого, примем без доказательства, что с ростом относительной толщины оболочки частота её собственных колебаний уменьшается.

Рост избыточного внутреннего давления и осевой растягивающей силы, как это слдует из формулы (6.16), приводит к увеличению частоты собственных колебаний. Это явление может быть использовано для отстройки тонкостенных конструкций типа сосудов давления от опасных резонансных режи —

Рис.6.7. Частотная диаграмма мов. Так, в частности, можно с помощью

оболочек разной длины

наддува тонкостенных оболочек при транспортировке повысить их частоту и тем самым вывести её за пределы частот возбуждения, возникающих при движении по неровной дороге.

Частота собственных колебаний оболочки, как и любой другой упругой системы, растёт с увеличением жёсткости и падает с ростом массовой плотности материала.

Первые работы, в которых определены основные гипотезы, использующиеся в современной теории пластин и оболочек, принадлежат Кирхгофу. В своём знаменитом Мемуаре, опубликованном в 1850 г., он сформулировал гипотезу прямых нормалей при нерастяжимой срединной поверхности.

Теория изогнутых пластин и оболочек была рассмотрена впервые в 1874 г. с точки зрения общих уравнений теории упругости Ароном ( H. Aron), удерживавшим в уравнениях члены, зависящие лишь от растяжения срединной поверхности.

Рэлей, рассматривая в 1882г. колебания оболочки, приходит к выводу о том, что энергия деформации растяжения оболочки пропорциональна её толщине, а энергия изгиба – кубу толщины. На этом основании он посчитал целесообразным при изучении колебаний оболочки пренебречь растяжением её срединной поверхности.

Ляв (A. E.H Love, 1863 – 1940) продолжил исследования Рэлея и, рассмотрев колебания оболочки отдельно без изгиба и без удлинения срединной поверхности, оценил характер поправок к полученным ранее результатам. Он, в частности, указал, что допущение Рэлея относительно изгибных колебаний не удовлетворяет в точности граничным условиям.

Современная теория оболочек разработана В. З Власовым, опубликовавшим свою книгу “Общая теория оболочек” в 1940 г. Большой вклад в теорию оболочек внесли , и .

Классические результаты в исследовании колебаний оболочек получены в 1952 г. .

Уравнения равновесия и движения тонких оболочек и пластин и их численная реализация Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ельмуратов С.К.

Приведен вывод уравнений равновесия и движения теории оболочек в векторной форме относительно срединной поверхности оболочки. На основе новой численной схемы метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета пластин и оболочек на устойчивость и колебания.Қабықшаның ортаңгы қабатына қатысты векторлық нұсқада қабықшалар теориясының тең салмағы мен қозғалысын теңестіру қорытындысы келтірілген. Жаңа сандық нобай қисық желгілі торкөздер әдістемесінің негізінде пластин мен қабықшалардық төзімділік пен тербеліске есебінің алгоритмі жасалған.The result of equation of balance and coverings movement theory by vectorial form with regard to middle surface of covering was given. It was given on the basis of new numerical scheme the methods of curvilinear net the algorithm of plates and coverings calculation for steadiness and oscillation.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ельмуратов С.К.

Текст научной работы на тему «Уравнения равновесия и движения тонких оболочек и пластин и их численная реализация»

! УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ Щ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Кабык,шаныц ортангы к,абатына кртысты векторлык, нусцада цабыцшалар теориясыныц тец салмагы мен цозгалысын meqecmipy кррытындыеы келтхршен. Жаца сандыц нобай — крсыц желгш торквздер odicme.\teciHin нег1зшде пластин мен к,абыкшалардьщ тез1мд1л1к пен §§|| тербел1’ске есебтщ алгоритм1 жасалган.

Приведен вывод уравнений равновесия и движения теории оболочек в векторной форме относительно срединной поверхности оболочки. На основе новой численной схемы -метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета пластин и оболочек на устойчивость и колебания.

The result of equation of balance and coverings movement theory by vectorial form with regard to middle surface of covering was given. It was given on the basis of new numerical scheme — the methods of curvilinear net the algorithm of plates and coverings calculation for steadiness and oscillation.

Рассмотрим оболочку двоякой кривизны, которая находится под воздействием внешних нагрузок. Проведем сечения в направлении осей х1 и х2, нормально к срединной поверхности оболочки (рисунок 1).

Для площадки размером -¿а = yja.a^ запишем условие равенства нулю главного вектора всех сил. приложенных к рассматриваемому элементу пологой оболочки в ее срединной поверхности [ 1 ].

где Np = N д е — ковариантный вектор внутренних усилий с компонентами

= п — векторы основного тона локального базиса системы коорди-

нат х1,х2′, (е3 =[ё1,е2]/у/а);

д — вектор внешней нагрузки. [,] — знак векторного произведения векторов. Векторы усилий являются составляющими для заданной срединной поверхности контравариантного тензора с векторными компонентами

Л^1 = ЛГ11е, +М12ё2+£)1ё3 й2 = ЛГ21е, + Ы22ё2+02ё3

Принимая, что х1 и х2 всегда ортогональны, то есть ёх • е2 =0 или иначе | • ¡е^сова = 0 , получим

Л^1 шЫие2+01е3 К2 =Л^22е2 +£>%

У Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

можно преобразовать к разностному виду учитывая, что Й’ = е — (1 = 1,2; ] = 1,2.3)- векторы вну тренних усилий (рисунок 1)

Выполним усреднение геометрических характеристик д и нагрузки в узлах. Проектируя конечно-разностное выражение векторного уравнения равновесия элемента оболочки с центром в узле (1, ]) на векторы взаимного локального базиса в узле (1, ^ получим систему трех скалярных уравнений равновесия

1»2,3) коэффициенты преобразования векторных компонент при переходе из локального базиса точки / ± 0,5; ] ± 0,5 в локальный базис точки г,

Аналогично получаем дискретные выражения для компонент тензоров деформаций.

Полученные соотношения для тензоров деформаций и усилий необходимо дополнить граничными условиями. В методе криволинейных сеток формирование уравнений производится путем последовательной подстановки в уравнение равновесия векторных компонент напряжений и смещений. Граничные условия в этом случае удовлетворяются последовательным исключением их нулевых компонент. Отпадает необходимость введения дополнительных законтурных точек, как это делается в методе конечных разностей. Рассмотрим контурный элемент оболочки размером йх! йх1. Разделим его на ячейки относительно текущего узла (I, (рисунок 2). На кажду ю ячейку конту рного элемента действует определенная часть внутренних усилий и внешней нагрузки.

Рисунок 2 — Векторы усилий и объемных сил на контуре оболочки

По граням элемента действуют силы

Если какая-либо ячейка отсутствует, соответственно исключаются и силы, а в уравнениях равновесия и движения компоненты у силий вводятся с соответствующими коэффициентами. Каждой ячейке соответствуют определенные разностные выражения, объединяя которые мы получаем разрешающее соотношение в рассматриваемом узле. Уравнения по конту ру области для самых различных граничных условий формируются достаточно просто и наглядно. Например, свободный край по оси х1 при j=const имеет вид, приведенный на рисунке 3,а.

л/2 = дг1 _ п- N1 = Nx = ft- V — V = О

Для случая свободного утла оболочки когда точка i,j является утловой на внешней кромке имеем (рисунок 3,6)

Л/т1 = jV2 =0- V =V =V =0

i+0,5;jf+0,5 »+0,5;./’+0,5 ‘ V1 v2 u

Аналогично записываются граничные условия для других случаев опирания оболочки.

Рисунок 3 — Варианты граничных условий

Уравнения равновесия и движения оболочки вместе с граничными условиями образу ют замкнутую систему уравнений теории оболочек.

На основе изложенного метода криволинейных сеток разработан алгоритм расчета оболочек и пластин на устойчивость и динамику при продольно-попе-речном загружении исследуемого объекта. При разработке алгоритма расчета конструкций вводимые данные подразделялись на исходные данные для решаемой задачи и на данные о режиме счета и выдачи результатов. Это необходимо для ускорения процесса ввода исходных данных, а также для выбора наиболее оптимального пути решения задач.

На начальном этапе решались тестовые задачи. Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях прямоугольных пластин с учетом произвольно расположенных сосредоточенных масс при различных граничных условиях. Для сравнения решена задача о вынужденных колебаниях шарнирно опертой квадратной пластины, точное решение которой приведено в работе [2]. Вибрационная нагрузка приложена в центре пластины. Решение получено в двойных тригонометрических рядах. На рису нке 4 точные значения прогибов XV отмечены точками. Решение этой задачи методом криволинейных сеток показало, что. начиная с 6 конечноразностных делений, погрешность не превышает 3%. Далее исследовалось влияние Р0 на значение наибольшего прогиба XV. Величина Р0 менялась от 0 до 20 кН с шагом 5 кН. На рисунке 4 приведен график этой зависимости в виде кривой 1. Для сравнения эти же задачи решались автором методом конечных разностей на основе уравнений движения и совместности приведенных в работе [3]. Задачи решались при числе шагов сетки 5=6 и 5=8. Расхождение с точным решением составило 8%. Как видно из сравнения, метод криволинейных сеток дает более точные результаты.

В работе [4] исследуется сходимость метода криволинейных сеток в задачах устойчивости оболочек. На основе решенных задач авторы делают заключение. что метод криволинейных сеток может успешно применяться для расчета тонкостенных оболочек.

50.0 45.0 40.0 35.0

25.0 20.С 15.0 10.0 5.0

О 5.0 10.0 15.0 20.0 Рисунок 4 — График влияния сосредоточенной массы на наибольший прогиб

Таким образом, анализ решенных задач позволяет сделать вывод о том. что метод криволинейных сеток может быть успешно применен для исследования устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций.

1. Жадрасинов Н.Т. Нелинейная деформация составных оболочек. -Алма-ты: Еылым. 1998,- 174 с.

2. Киселева И В. Колебания опертой по контуру прямоутольной ортотропной пластинки с учетом сосредоточенной массы в месте приложения вибрационной нагрузки. М.:МАДИ, 1957,-вып. 21.-С 147-152

3. Ельмуратов С.К. Устойчивость и динамика неоднородных пластин и пологих оболочек переменной жесткости. //Вестник 111 У, №1, серия «Физика и математика»‘. — Павлодар, 2005. — С 17-28.

4. Гоцуляк Е.А., Ермишев В Н., Жадрасинов Н.Т. Сходимость метода криволинейных сеток в задачах теории оболочек. //Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: 1981,-вып. 39.-С.80-84.