Уравнения движения описывающие колебания таких различных систем

Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы (Ерюткин Е.С.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема данного урока: «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы». Вначале дадим определение нового вида движения, который мы начинаем изучать, – колебательного движения. Рассмотрим в качестве примера колебания пружинного маятника и определим понятие свободных колебаний. Также изучим, что такое колебательные системы, и обсудим условия, необходимые для существования колебаний.

Конспект по физике на тему «Механические колебания» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Механические колебания математического и пружинного маятника. Величины, характеризующие колебания. Графическое представление колебательного движения .

Механические колебания – движения, которые точно или приблизительно точно повторяются через определенные интервалы времени. Для колебаний характерно, что колеблющееся тело попеременно смещается то в одну, то в другую сторону относительно некоторой точки или линии – положения равновесия .

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют:

Колебательная система – система тел, способная совершать свободные колебания.

Одно из основных общих свойств всех колебательных систем заключается в возникновении силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия.

Рассмотрим примеры колебательных систем :

Маятник – твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.

1) Математический маятник – материальная точка, подвешенная на длинной прочной нерастяжимой невесомой нити. . → модель.

В устойчивом положении равновесия силы, действующие на тело, взаимно уравновешены: сила тяжести уравновешена силой натяжения нити маятника .

Если отклонить шарик от положения равновесия, то равнодействующая сил тяжести и натяжения нити будет направлена к положению равновесия и под ее действием шарик начнет двигаться с ускорением.

В момент, когда шарик достигнет положения равновесия сумма всех сил, действующих на него, станет равной нулю. Следовательно, и ускорение шарика, согласно II закону Ньютона станет равным нулю. Но к этому моменту скорость шарика уже достигнет некоторого значения. Согласно закону инерции, любое тело обладает свойством сохранять свою скорость, если на него не действуют силы или равнодействующая сил равна нулю. Поэтому, не останавливаясь в положении равновесия, шарик по инерции будет двигаться.

После прохождения положения равновесия, равнодействующая сил, а значит и ускорение, будет направлена противоположно скорости. Следовательно, шарик будет двигаться замедленно, до тех пор, пока не остановится. После этого шарик начнет ускоренное движение в противоположную сторону.

Проскакивая по инерции положение равновесия, шарик продолжит свое движение, после чего весь колебательный процесс повторяется сначала.

При колебаниях математического маятника шарик всегда движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l . Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется углом отклонение нити от вертикали. Будем считать α положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево.

Для того чтобы вывести уравнение движения математического маятника, воспользуемся II законом Ньютона:

OX:

Проекция силы тяжести на ось ОХ и будет силой, возвращающей маятник в положение равновесия. Причем эта сила всегда имеет знак, противоположный знаку угла: при отклонении маятника вправо , проекция силы тяжести на ось ОХ направлена влево ; при отклонении маятника влево , проекция силы тяжести на ось ОХ направлена вправо .

Из прямоугольного треугольника: , тогда:

Т.к. , то введем обозначение , тогда:

— уравнение колебаний математического маятника .

2) Пружинный маятник – материальная точка, подвешенная на упругой невесомой пружине. . → модель.

В устойчивом положении равновесия силы, действующие на тело, взаимно уравновешены: сила тяжести уравновешена силой упругости пружины .

Если сместить грузик вниз так, чтобы длина пружины увеличилась на x , то на тело начнет действовать дополнительная сила упругости, которая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению пружины. Будем называть эту силу – квазиупругая сила – геометрическая сумма силы тяжести и силы упругости, действующих на пружинный маятник. Эта сила направлена вверх и под ее воздействием тело будет двигаться с ускорением, направленным вверх, постепенно увеличивая скорость. Квазиупругая сила будет при этом уменьшаться.

Дойдя до положения устойчивого равновесия, квазиупругая сила станет равной нулю, и ускорение, согласно II закону Ньютона, также станет равным нулю. Однако тело не остановится, а будет продолжать двигаться вверх по инерции.

После прохождения положения равновесия, пружина начинает сжиматься, и в результате вновь появляется квазиупругая сила, направленная уже вниз и тормозящая движение груза. Согласно II закону Ньютона, тело продолжит движение вверх с ускорением, направленным вниз, то есть замедленно. Следовательно, квазиупругая сила стремится вернуть тело в положение равновесия. Скорость убывает до тех пор, пока в самой верхней точке не обратится в ноль. При этом сжатие пружины, а, следовательно, и квазиупругая сила, увеличиваются.

После этого тело с ускорением начнет двигаться вниз. С уменьшением х модуль квазиупругой силы убывает и в положении равновесия вновь становится равным нулю. Но тело уже успевает к этому моменту набрать скорость и продолжает двигаться вниз по инерции. Это движение приводит к дальнейшему растяжению пружины. Движение груза тормозиться до полной остановки в крайнем нижнем положении, после чего весь процесс повторяется сначала.

Воспользуемся II законом Ньютона для движения пружинного маятника под действием квазиупругой силы:

OX: . Согласно закону Гука:

Уравнение движения не содержит силы тяжести. Дело в том, что сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза.

Т.к. , то введем обозначение , тогда:

— уравнение колебаний пружинного маятника .

Вывод : уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и математический маятник, одинаковы. Следовательно, движения этих колебательных систем происходят одинаковым образом. Смещения груза на пружине и шарика маятника от положения равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это квазиупругая сила, во втором – составляющая силы тяжести.

Величины, характеризующие колебательное движение:

1) Амплитуда (х₀) – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями.

При колебаниях движение тела периодически повторяется. Колеблющееся тело совершает одно полное колебание, если проходит путь, равный четырем амплитудам.

2) Период ( T ) – минимальный промежуток времени, через который движение тела полностью повторяется.

t – время колебаний; N – число полных колебаний.

3) Частота (ν) – число колебаний в единицу времени.

Си: [ ν ] → 1/с = 1Гц.

4) Циклическая (круговая) частота (ω₀) – число колебаний за 2π секунд.

Си: [ ] → 1 рад/с

Эту частоту называют:

Собственная частота (ω₀) – частота свободных колебаний.

Согласно уравнению колебаний математического маятника, эта величина равна:

Период колебаний математического маятника зависит :

1) От длины маятника .

Чем больше длина маятника, тем медленнее происходят его колебания. Маятник 1 колеблется медленнее маятника 2.

2) От ускорения свободного падения .

Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так часы с маятником в виде груз на стержне отстанут за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой в сутки почти на 7с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (500м).

Период колебаний математического маятника не зависит:

1) От массы маятника .

Маятники 1 и 2 будут совершать одинаковое число колебаний в единицу времени.

1) От амплитуды колебаний (при малых углах отклонения) .

Это свойство независимости периода колебаний от амплитуды называют изохронность .

Пусть амплитуда колебаний увеличилась в 2 раза → сила, возвращающая тело в положение равновесия увеличилась в 2 раза → ускорение, вызванное этой силой, увеличилось в 2 раза → приобретенная скорость станет больше в два раза → за то же время тело пройдет вдвое больший путь к положению равновесия, что и при колебаниях вдвое меньшей амплитуды.

Согласно уравнению колебаний пружинного маятника, собственная частота равна:

Период колебаний пружинного маятника зависит :

1) От массы маятника .

Чем больше масса маятника, тем медленнее он изменяет свою скорость под действием силы, тем медленнее происходят его колебания. Маятник 1 колеблется медленнее маятника 2.

2) От жесткости пружины .

Более жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, т.е. быстрее меняет его скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. Маятник 1 колеблется медленнее маятника 2.

Период колебаний математического маятника не зависит:

1) От амплитуды колебаний (при упругих деформациях) .

5) Фаза колебаний (φ) – физическая величина, однозначно определяющая положение колебательной системы в любой момент времени.

Си: [ ] → 1 рад

Проведем вспомогательную окружность радиуса x ₀ . Спроецируем начальное положение тела, и положение тела в момент времени t на эту окружность.

Фаза характеризует смещение от положения равновесия (ПР) (или от начального положения) и равна углу между двумя положениями тела на вспомогательной окружности Фаза отсчитывается против часовой стрелки.

;

Начальная фаза колебаний (φ₀) – фаза колебаний в начальный момент времени ( t =0).

Пусть маятники колеблются с одинаковой частотой и одинаковыми амплитудами. Различают следующие случаи:

В любой момент времени скорости маятников направлены в противоположные стороны → колебания происходят в противоположных фазах.

В любой момент времени скорости маятников направлены в одну сторону → колебания происходят в одинаковых фазах.

В некоторый момент времени направления скоростей маятников совпадают. Через какое-то время скорости направлены в разные стороны → колебания происходят с разностью фаз.

Основная задача механики заключается в нахождении положения тела в любой момент времени. Следовательно, необходимо получить зависимость х=х( t ) для математического и пружинного маятников. Для этого необходимо решить уравнение колебаний. Однако математическое решение этих уравнение – задача сложная и требует знаний высшей математики.

Для нахождения зависимости координаты от времени обратимся к вспомогательной окружности. Для математического маятника из прямоугольного треугольника:

Для пружинного маятника из прямоугольного треугольника:

Полученную зависимость можно доказать экспериментально. Для этого массивный сосуд с маленьким отверстием снизу подвешивают на нити. Под сосудом находится длинная бумажная лента. В сосуд насыпают песок и приводят в колебательное движение. Если ленту перемещать с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний, то на ней останется волнообразная дорожка песка, каждая точка которой соответствует положению колеблющегося груза в тот момент, когда он проходил над ней. Полученная кривая называется синусоидой. Аналогичная кривая получается для груза, подвешенного на пружине.

Гармонические колебания – периодические изменения физической величины в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

Гармонические колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению.

Таким образом, решением уравнения колебания пружинного и математического маятников является функция:

либо

где — фаза колебаний.

Данную зависимость можно представить графически. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Наибольшие отклонения груза от положения равновесия в обе стороны одинаковы по модулю и равны х₀. Маятник начал движение из крайней точки с координатой х = х₀. За время, равное периоду, маятник совершил полное колебание, т.е., миновав положение равновесия, дошел до противоположной крайней точки с координатой – х₀, на мгновенье задержался в ней, изменил направление скорости на противоположное, затем пошел в обратном направлении и, вторично пройдя через положение равновесия, вернулся в то же самое место, откуда начал движение. Затем колебания повторяются.

При колебательном движении маятников скорость и ускорение меняются со временем (т.е. движение не является равноускоренным), так как меняется величина и направление силы, возвращающей тело в положение равновесия. Рассмотрим характер этого изменения для математического маятника. В начальный момент времени маятник отклонили от положения равновесия.

Механические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.

Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.

Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.

Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.

Какими бывают колебания?

Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:

• Внутренние силы — это силы, которые возникают между телами внутри системы. Примером внутренних сил служат силы тяготения между телами солнечной системы.
• Внешние силы — силы, которые действуют на тела системы со стороны тел, которые в эту систему не входят. Примером внешней силы может стать сила ветра, под действием которой шарик, подвешенный к опоре за нить, отклоняется в сторону порыва ветра.

Свободные колебания

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.

Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.

Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:

1. После выведения из равновесия в колебательной системе появляются силы, направленные в сторону положения равновесия. Эти силы стремятся возвратить систему в положение равновесия.
2. Трение между телами колебательной системы относительно мало. В противном случае колебания либо сразу затухнут, либо не начнутся совсем.

Примеры свободных колебаний:

• колебания шарика на дне сферической чаши;
• движение качелей после однократного толчка;
• колебания груза на пружине после ее растяжения;
• колебания струны после ее отклонения.

Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.

В колебательную систему математического маятника входят:

• нить;
• тело, привязанное к нити;
• Земля, в поле тяжести которой находится привязанное к нити тело.

В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Примерами вынужденных колебаний служат:

• движение поршня в цилиндре;
• раскачивание ветки дерева на ветру;
• движение иглы швейной машинки;
• движение качелей под действием постоянных толчков.

Затухающие и незатухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.

Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.

Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.

Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.

Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости

Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.

Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:

m a x = F x у п р

Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:

F x у п р = − k x

где k — жесткость пружины.

Тогда уравнение движения шарики принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Так как масса шарики и жесткость пружины для данной колебательной системы постоянны, отношение k m . . — постоянная величина. Отсюда делаем вывод, что проекция a x ускорения тела прямо пропорциональна его координате x, взятой с противоположным знаком.

Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?

Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:

∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣

где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:

y m a x = v 2 m a x − v 2 0 2 g . .

Начальная скорость равна нулю. Отсюда:

y m a x = v 2 m a x 2 g . .

m g = k v 2 m a x 2 g . .

Максимальная скорость равна:

v m a x = g √ 2 m k . . = 10 √ 2 · 0 , 1 40 . . ≈ 0 , 71 ( м с . . )

Уравнение движения математического маятника

Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:

• сила тяжести, направленная вниз;
• сила упругости, направленная вдоль нити.

При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.

Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:

→ F т = → F τ + → F n

Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.

Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:

→ F τ = − → F т sin . α = − m g sin . α

Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через a τ . Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника. Согласно II закону Ньютона:

m a τ = − m g sin . α

Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:

При малом отклонении нити маятника от вертикали можно считать, что sin . α ≈ α (при условии, что угол измерен в радианах). Тогда:

Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.

При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):

Так как ускорение свободного падения и длина нити для данной колебательной системы постоянны, то отношение g l . . — тоже постоянная величина.

Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.

Пример №2. Определить длину нити, если шарик, подвешенный к ней, отклонится на 1 см. При этом нить образовала с вертикалью угол, равный 1,5 о .

При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:

Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:

1 , 5 ° = 3 , 14 · 1 , 5 180 . . ≈ 0 , 026 ( р а д )

Тогда длина нити равна:

l = s α . . = 0 , 01 0 , 026 . . ≈ 0 , 385 ( м ) = 38 , 5 ( с м )

Основные характеристики колебательного движения

Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — x_max. Единиц измерения — метр (м).

Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).

Частота — количество колебаний, совершенных в единицу времени. Обозначается как ν («ню»). Единица измерения — 1/секунда, или секунда –1 , или герц (1/с, или с –1 , или Гц).

Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:

Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:

Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:

Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.

Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.

Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:

Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:

ν = N t . . = s 4 A t . . = 1 4 · 0 , 1 · 2 . . = 1 , 25 ( Г ц )

В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.

Каков период колебаний шарика?

Алгоритм решения

Решение

Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:

T = 2 ( t 2 − t 1 ) = 2 ( 3 − 1 ) = 4 ( с )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.

Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:

Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.

Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.

В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.

Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.

Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.

Алгоритм решения

1. Проверить истинность каждого утверждения.
2. Выбрать 2 верных утверждения.

Решение

Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.

Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.

Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.

Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.

Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить