Уравнения движения точки в плоскости ху

Точка В движется и плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К1; траектории точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями x = f1(t), у…

Точка В движется и плоскости ху (рис. К 1.0 – К 1.9, табл. К1; траектории точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями x = f1(t), у = f2(t), где x и у выражены в сантиметрах, t – в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с определить скорость и ускорение точки; а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Зависимость x = f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f2(t)дана в табл. К1 (для рис. 0 – 2 в столбце 2, для рис. 3 – 6 в столбце 3, для рис. 7 – 9 в столбце 4). Как и в задачах С1 – С2, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра; а номер условия в табл. К1 – по последней.

Точка Вдвижется в плоскости xy (Табл. 1, 2). Закон движения точки задан уравнениями: x=f

Главная > Документ

Точка В движется в плоскости xy (Табл. К1.1, К1.2). Закон движения точки задан уравнениями: x=f 1 ( t ), y=f 2 ( t ), где x и y выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t 1 =1c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f 1 ( t ) указана в табл. К1.1, а зависимость y=f 2 (t) дана в табл. К1.2 (для вар.0 — 2 в столбце 2, для вар.3 — 6 в столбце 3, для вар.7 — 9 в столбце 4). Номер варианта в табл. К1.1 выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1.2 — по последней.

Указания . Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение

КИНЕМАТИКА

Точка В движется в плоскости ху(рис. К1.0 – К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х = f₂ (t),y = f₂ (t), где хи увыражены в сантиметрах, t– в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t₁ =1сопределить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁ (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y = f₂ (t) дана в табл.К1 (для рис. 0-2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7-9 в столбце 4).

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовыхкоординатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорение точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

cos2a = 1 – 2sin 2 a =2cos 2 α –1,

sin2a = 2sina× cos a

Рис. К1.0-9

Пример К1.Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

;

(х,у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁ = 1с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время t.

Таблица К1

№ условия	У = f2 (t)
Рис. 0 – 2	Рис. 3 — 6	Рис. 7 — 9
	2t 3

Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

следовательно,

Откуда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (парабола, рис.К1):

2. Скорость точки найдем по ее

проекциям на координатные оси:

(3) Рис. К1.10

3. Аналогично найдем ускорение точки:

(4)

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство

Получаем

(5)

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив сюда эти числа, найдем сразу, что при t₁ =1c, a_1t =0,66см/c 2 .

5. Нормальное ускорение точки Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1t , получим, что при t₁ = 1с , a_1n = 0,58 см/c 2 .

6. Радиус кривизны траектории r =u 2 /a_n . Подставляя сюда числовые значения u₁ и a_1n , найдем, что при t₁ = 1c r₁ = 3,05см.

Плоский механизм состоит из: колёс 1, 2 и 3, планки 4 и груза 5. Диски и груз соединены между собой нерастяжимыми нитями. Диски, касающиеся планки, при движении механизма не проскальзывают.

Схемы механизмов показаны на рис. К2.0-9, необходимые для расчёта данные помещены в таблице К2.

Дано	Найти
№ условия	уравнение движения груза						скорости	ускорения
см	см	см	см	см	с
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, ,
	,	, , ,
	,	, ,
	,	, ,

По заданному направлению поступательного движения груза 5 определить в заданной момент времени угловые скорости и ускорения тел и линейные скорости и ускорения точек, указанных в таблице К2.

Указания. Студенту при решении задач следует учесть следующее. 1. Что скорости точек контакта тел, находящихся в зацеплении, равны между собой. 2. Два вращающихся тела связаны нерастяжимой ременной передачей, и скорости точек ремня равны скоростям соприкасающихся с ним точек тел. 3. Тело 1 представляет собой ступенчатое колесо с радиусами : — большой ступени, — малой ступени

Рис. К2.0-9

Пример К2.Груз 5 подвешен на нерастяжимой нити, намотанной на большую ступень колеса 1. Движение груза задано уравнением: . Колеса 1 и 3 связаны нерастяжимой ременной передачей, как показано на рис. К2.10. Между колесом 2 и малой ступенью колеса 1 зажатая рейка 4, которая движется в горизонтальных направляющих. Радиусы колёс: см, см, см..

Рис. К2.10

Определить скорости точек и Е , , ускорения точки Е и рейки 4 , , а также угловую скорость колеса 1 и угловое ускорение колеса 2 в момент времени = 2 с. Решение Обозначим точки контакта взаимодействующих тел через K, L, M, D, E. Груз 5 опускаясь приводит во вращательное движение колесо 1. Скорость точки K контакта колеса и нити равна скорости груза, т. е. . Вектор скорости направлен в сторону увеличения координаты , вектор — по касательной к окружности радиуса . Искомая угловая скорость колеса 1 — .

Чтобы определить скорость точки колеса 3 , отметим, что , а . Векторы и направлены по касательным к окружностям радиусов и соответственно.

Зубчатая рейка 4 связана с колесом 2 и 1, как показано на рисунке К2.10, и движется в направляющих поступательно. Линейные скорости точек , ободов колес и точек планки равны между собой, т.е. . Но , следовательно, . Вектор направлен вдоль направляющих в сторону движения планки.

Ускорение планки . Если положительно, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости , если отрицательна, то вектор направлен в сторону, обратную направлению .

Тогда, угловая скорость колеса 2 , а угловое ускорение колеса . Скорость точки равна скорости точки , т. е. . Вектор направлен по касательной к окружности радиуса . Линейное ускорение модуль ускорения

Таким образом .

Вектор направлен по касательной к окружности радиуса , вектор — по радиусу к центру окружности , вектор — по диагонали параллелограмма, построенного на векторах , .

Подставляя в найденные аналитические выражения заданное значения параметра с, получим : =5рад /с ; =15см/с ; =15см/с 2 ; =3рад/с 2 ; =15см/с ; =47,1см/с 2 ; =15см/с 2 ; =45см/с 2 .

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунов В и Е(рис.К3.0.–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис К3.8-9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно : l₁ =0,4м, l₂ = 1,2 м, l₃ =1,4м, l₄ = 0,6м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл.К3.1 (для рис. К3.0 –4) или в табл.К3.2 (для рис.К3.5–9). Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. К2.8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. К2.9 – против часовой стрелки).

Рис. К3.0-9

Таблица К3.1 (к рис. К3.0-К3.4)

Таблица К3.2 (к рис. К3.5-К3.9)

Указания. Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a. Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость — от точки В к в (на рис. К3.5 –.9).

Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К3. Механизм (рис.К3.10) состоит из двух стержней 1,2,3,4 и ползуна В,соединенных друг с другом и неподвижными опорами О₂ и О₂шарнирами.

Дано: a = 60 0 , b =150 0 , g = 90 0 , j = 30 0 , q = 30 0 , AD = DB, l₁= 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, w₂ = 2 рад/c (направление w₁ – против хода часовой стрелки). Определить: V_В, V_Е, ω₂.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис.К2.11); на этом рисунке изображаем все векторы скоростей.

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню 3. Чтобы найти , надо знать скорость, какой – либо другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить ; численно

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Рис. К2.10 Рис. К2.11

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃ D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3) 7

Чтобы вычислить C₃ D и C₃ B, заметим, что ∆ АС₃ В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С₃В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС₃ D является равносторонним и С₃ В = С₃ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С₂ стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К2.11 видно, что С₂ED = C₂DE =30 0 , откуда С₂Е = C₂D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и С₂D = l₂ / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

. (6)

Ответ: V_B = 0,46 м /c; V_Е = 0,46 м / с; ω₂ = 0,67 рад / c.

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит и ползуну B, движущемуся вдоль направляющих поступательно.

Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню 2. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня 3; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня 3 вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃ D, соединяющему точки D и С₃, и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции

. (3)

Чтобы вычислить C₃ D и C₃ B, заметим, что ∆ АС₃ В – прямоугольный, так что острые углы в нем равны 30 0 и 60 0 , и что С₃В = АB sin 30 0 = 0,5 AB =BD.

Тогда ∆ ВС₃ D является равносторонним и С₃ В = С₃ D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС С₂ стержня 2. По направлению вектора определяем направление поворота стержня 2 вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что С₂ED = C₂DE =30 0 , откуда С₂Е = C₂D.

Составив теперь пропорцию, найдем, что

(5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и С₂D = l₂ / (2cos30 0 ) = 0, 69 м, то

. (6) Ответ: V_B = 0,46 м /c; V_Е = 0,46 м / с; ω₂ = 0,67 рад / c.