Уравнения движения центра масс самолета

Уравнения движения центра масс самолета

Самолет движется в воздухе по действием аэродинамической силы , силы тяги двигателей и силы тяжести . С аэродинамической силой и ее проекциями на оси различных систем координат мы познакомились при изучении основ аэродинамики. Сила тяги создается силовой установкой самолета. Вектор обычно располагается в базовой плоскости самолета и образует некоторый угол с осью 0X связанной системы координат, но для простоты мы будем полагать, что этот угол равен нулю, а сам вектор приложен в центре масс.

Полет самолета можно условно разбить на несколько этапов: взлет, набор высоты, горизонтальный полет, снижение и посадка. Самолет также может совершать вираж и другие маневры. На некоторых этапах полета движение самолета может быть как установившимся, так и неустановившимся. При установившемся движении самолет летит с постоянной скоростью, при неизменных углах атаки, крена и скольжения. Ниже мы будем рассматривать только установившееся движение на этапах горизонтального полета, набора высоты и снижения.

Установившийся горизонтальный полет – это прямолинейный полет с постоянной скоростью на постоянной высоте (см. рис. 39). Уравнения движения центра масс самолета запишутся в этом случае следующим образом:

(48)

Поскольку угол атаки a мал (при этом cos a » 1, а sin a » 0), то можно записать:

(49)

Рис. 39. Схема сил, действующих на самолет в установившемся

Если первое из этих равенств не будет выполняться, то скорость самолета будет либо увеличиваться, либо уменьшаться, т.е. не будет выполняться условие установившегося движения. Если же подъемная сила не равна силе тяжести, то самолет будет либо подниматься, либо снижаться, а это значит, что не будет выполняться условие горизонтального полета. Из этого равенства, зная формулу подъемной силы (35), можно получить величину скорости, необходимую для выполнения горизонтального полета V_г.п.

Учитывая, что G = mg (где m – масса самолета, а g – ускорение свободного падения), можно записать:

, (50)

(51)

Из этой формулы видно, что скорость горизонтального полета зависит от массы самолета, плотности воздуха r (которая зависит от высоты полета), площади крыла S_кр и коэффициента подъемной силы C_ya. Поскольку C_ya напрямую зависит от угла атаки a, то каждому значению скорости горизонтального полета будет соответствовать единственное значение угла атаки. Поэтому для обеспечения установившегося горизонтального полета с требуемой скоростью летчик задает определенную тягу двигателей и величину угла атаки.

Установившийся набор высоты – прямолинейное движение самолета вверх с постоянной скоростью. Схема сил, действующих на самолет при установившемся наборе высоты с углом наклона траектории q, показана на рис. 40.

Рис. 40. Схема сил, действующих на самолет при установившемся

наборе высоты (угол атаки принят малым и не показан)

В этом случае уравнения движения примут вид:

(52)

Необходимо отметить, что при наборе высоты тяга двигателей P уравновешивает не только силу лобового сопротивления X_a, как в горизонтальном полете, но и составляющую силы тяжести Gsinq. Подъемная сила Y_a при этом требуется меньшая, поскольку Gcosq

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА. МАСС САМОЛЕТА

Уравнение движения центра масс в векторной форме

Положение и движение самолета в полете определяют относительно поверхности Земли. Поэтому за основную систему отсчета, принимают геоцентрическую неинерциальную систему ко­ординат, связанную с Землей и совершающую вместе с ней суточное

вращение с угловой скоростью со3 (земная система отсчета).

Движение центра масс самолета описывается динамическим

уравнением (1.7), которое после подстановки FBIi = RA + mgr примет вид

m^^P + RA + mgr + F’ + F*, (1.32)

где 1/к — вектор скорости движения центра масс самолета относи-

тельно Земли и gr — вектор гравитационного ускорения.

Переносную и кориолисову силы инерции, связанные с враще­нием Земли, определяют известными из теоретической механики выражениями

Fe — — mWe == — m[iо3 х (со3 X r)]

KK = — m#K = — 2m(to3 x VK), . (1.33)

где r —- радиус-вектор, проведенный из начала геоцентрической си­стемы отсчета 0° в центр масс самолета; We и И7К — переносное и кориолисово ускорения центра масс, обусловленные вращением выбранной геоцентрической системы отсчета относительно инер­циальной. ‘ . .

Поскольку в справочных таблицах обычно приводятся значения ускорения свободного падения с учетом переносной силы инерции в зависимости от высоты, то в правой части уравнения (1.32) можно

геометрическую сумму сил гравитационного притяжеция. mgr и переносной силы инерции F1 заменить силой тяжести G:

G = mgt + Fe — mg. (1-34)

В (1.34) g—вектор результирующего ускорения свободного паде­ния и центробежной силы,.

Векторное уравнение (1,32) с учетом (1.34) запишем в виде

Как было указано в § 1.1, при практическом применении вектор­ное уравнение движения проектируется на оси прямоугольной си­стемы координат. Выбор систёмы координат для составления-диф­ференциальных уравнений движения центра масс самолета опреде­ляется задачей исследования. При исследовании траекторий обычно применяют траекторные оси. В то же время задачи устойчивости и управляемости удобнее рассматривать в связанной системе коор­динат.

Уравнения движения центра масс в траекторией системе координат

Наиболее простую и удобную форму система динамиче­ских уравнений движения центра масс самолета (поступательного движения) примет, если векторное уравнение (1.35) спроектировать на оси траекторной системы координат.

Применяя формулы (1.9) для проектирования левой части урав­нения (1.35) и учитывая, что 1/*„ = VI:, Vm = Vzi: =0, получим

Ь Р*к‘> тыг^Ук — Р!,к г Уi; b G,;K — F(1.36) — тыугУК — РZK “Ь

где (оун, согк — проекции на траекторные оси вектора угловой ско-

рости (о„ вращения траекторной системы координат относительно Земли; в правой части приведены проекции соответствующих сил на траекторные оси.

Для написания этих уравнений в развернутом виде необходимо

найти проекции угловой скорости сок, а также проекции кориоли-

совой силы инерции FK на траекторные оси. Проекции внешних сил и тяги на эти оси были определены в § 1.6.

Угловую скорость со„ можно представить в виде суммы переносной

угловой скорости сокр нормальной системы 0XgYgZg в системе от-

счета O^X^YqZq и угловой скорости сок& вращения скоростной си­стемы относительно нормальной:

сон = соКр -|- coKg. (1.37)

Переносная угловая скорость сокр, в свою очередь, может быть представлена суммой угловых скоростей:

где К — угловая скорость поворота меридиональной плоскости,

содержащей центр масс О, вокруг оси вращения Земли; ф — угловая скорость поворота радиуса-вектора центра масс в меридиональной плоскости вокруг оси, лежащей в плоскости экватора (см. рис. 1.4).

Угловая скорость coKg также может быть представлена в виде

суммы угловой скорости Фг вокруг ОСИ OYg и угловой скорости 0 вокруг оси OZg (см. рис. 1.5):

Используя табл. I (см. приложение) направляющих косинусов, находим проекции вектора сок на оси OY„ и OZK траекторной системы

co^j, = Я (sin ер cos 0 — cos ф sin Y sin 0) ф sin Y sin 0 + !F cos 0;

согк = Я, cos ф sin V — ф cos V

которые после подстановки выражений (1.21) в результате неслож­ных преобразований будут иметь вид

gj,(K = ¥ cos 0 V sin 4r cos20 tg ф/(/?з — f Я);

co2K = 0 — И cos Q/(R3 + Я). (1.41)

Найдем теперь проекции кориолисовой силы инерции на траек — торные оси. Вектор кориолисовой силы инерции определяется из­вестной из механики формулой

— mwK = — 2т(и3 х Кк) (1-42)

и перпендикулярен (03 и Ук.

Проекции кориолисовой силы инерции на оси траекторной системы выражаются формулами

Кк = 0; FyK = 2ma>aVR cos ф cos

F*к = 2mcoaVK (sin ф cos 0 — cos ф sin ‘P sin 0).

Подставляя в (1.36) выражения для проекций угловых скоростей, определенные формулами (1.41), проекции тяги, аэродинамической силы, силы тяжести (см. формулы (1.27) и (1.28), а также (1.30)) и проекции кориолисовой силы инерции, выраженные формулами (1.43), получим систему динамических уравнений движения центра масс самолета относительно сферической вращающейся Земли в про­екциях на оси траекторной системы координат (при отсутствии ветра ук = V, ¥ = фи):

mV — Р cos (а + ф,) cos р — Ха — mg sin 0; (1.44)

— Zu sin y„ — mg cos 0 — j0$mu>3V cos ф sin ‘P — f mV^cos 0/(/?3 Я);

— mV cos 0 *P = P [sin (а + Ф/ ) sin ya — cos (a ф^ зіп p cos yj -|-

-j — Ya sin yu + Za cos ya -1- 2/ж.>зV (sin ф cos 0 — cos ф cos lP sin 0) —

— mV2 cos2 0 sin Y tg ф/(/?8 + Я). (1.46)

Эти уравнения называют уравнениями поступательного движения.

Приведем некоторые оценки величин членов правых частей уравнений (1.44) … (1.46), связанных с суточным вращением Земли и кривизной ее поверхности. Кориолисова сила, связанная с вра­щением Земли, пропорциональна скорости полета. При скоростях полета свыше 2000 … 3000 м/с кориолисово ускорение составит 2 … 3 % от ускорения свободного падения. Центростремительное
ускорение, обусловленное кривизной Земли, пропорционально ква­драту скорости полета и при скорости 1000 м/с достигает около 1,6 % от ускорения свободного падения. При расчете траекторий самолетов, летающих со скоростями до 1000 м/с, кориолисову силу инерции и силу инерции, связанную с кривизной поверхности Земли, обычно не учитывают.

В динамические уравнения движения центра масс входит масса самолета, заметно меняющаяся у некоторых типов самолетов в про­цессе полета. Э общем случае характер изменения массы самолета из-за выгорания топлива зависит от скорости, высоты полета и режима работы двигателя:

Перегрузка. Уравнения движения центра масс в безразмерной форме

При исследовании многих задач динамики полета исполь­зуется понятие перегрузки. Перегрузкой называется отношение суммы векторов тяги и полной аэродинамической силы к величине силы тяжести

• —^ . P + RA . ■mg » title=»УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА. МАСС САМОЛЕТА» align=»left» width=»58″ height=»45 src=»http://ooobskspetsavia.ru/2015/11/06/uravneniya-dvizheniya-centra-mass-samoleta/style=»margin-left:-70px; margin-right:70px»/>(1.48)

. Вектор перегрузки характеризует маневренность самолета, по­скольку он учитывает величину и направление сил, изменяя кото­рые, можно управлять полетом.

Проектируя вектор перегрузки на оси координат, получим составляющие перегрузки по осям. Проекции перегрузки на оси скоростной системы координат равны:

^ cos ( sin(a 4-фр) +FJ; ‘ (1.49)

«;« = -^[—Р COS (a — f фя) sin р + ZJ

и называются соответственно тангенциальной, нормальной’скорост­ной и боковой перегрузками.

Проекции вектора перегрузки на оси траекторной системы координат составят (при отсутствии ветра):

пхк = і cos (« + Фи)cos Р — *a] = пха

п1т = Р fsln (« + COS Уа + cos (о — f Фя) Stalin уа1 +

В (1.49) и (1.50) аэродинамические силы определены в скорост­ной системе осей координат. .

‘ Разделив левые и правые части уравнений (1.44) … (1.46) на О = mg, получим динамические уравнения движения центра масс в перегрузках

-jr ё = tlya COS Yu — «za Sin Yu — COS 0 |-

f — cos ф sin ¥ (/?з + //)’. (1.51)

——— — і = nya sin Yu — «70 cos Ya H — — C0B к (simp cos 0 —

— cos ф cos ¥ sin 0) — Vі cosE0 sin ¥ tg

‘При рассмотрении частных случаев движения самолета выра­жения для проекций перегрузки значительно упрощаются.

Для]) полета без скольжения (ft == О, Za = 0) с малыми углами атаки, когда можно принять sin (a + фР) « а + фР, cos (os + + Фр) » 1, формулы (1.49) и (1.50) примут вид

Р-Ха. .. Р(а + Фр) + Ко. ха

и, без ветра, » ‘ 1 ‘ ■

«зса» пу* =.■«№COS Yu’.. «Лі = «j/аSin Yu — (15 )

В проекциях на связанные оси вектор перегрузки может быть представлен составляющими пх, пу и nz, которые называются продольной, нормальной и поперечной перегрузкой соответственно. Используя таблицу направляющих косинусов, получим

Пх = пха COS a COS Р + пиа sin о — nzu cos os Sin Р; 4

пу — — пха sin a cos Р -)- пуа cos a + пга sin a sin P; (1-54) «г = nxa Si» P + «га cos P-

§ 1.8. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Исследование движения самолета относительно центра масс (вращательного,- илн углового) удобно выполнять, если ис­пользовать динамические уравнения в проекциях на оси связанной системы координат 0XYZ. При изучении углового движения само-

лета так же, как и при определении траекторий центра масс, при­меняют в качестве системы отсчета неинерциальную систему, свя­занную с Землей.

Проектируя векторное уравнение (1.8) на оси связанной системы координат и применяя формулы (1.9) для вычисления проекций производных по времени от вектора кинетического момента самолета, получим систему скалярных уравнений движения самолета относи­тельно центра масс (вращательного, или углового движения)

-j — агКх ьзхКг = Мру’, (1.55)

-rff — •+ ЫхКу — Ь)1/Кх = Мрг,

где К. х, К у, Кг — проекции вектора кинетического момента са­молета на связанные оси координат; (ох, ыу, (oz — проекции век­тора угловой скорости самолета относительно Земли на те же оси; MRx, MRu, MRz — проекции результирующего момента аэроди­намических сил и тяги относительно центра масс на те же оси. Сле­дует иметь в виду, что момент массовых сил (сил тяжести, центро­бежных и кориолисовых сил инерции) вокруг центра масс самолета равен нулю.

Угловая скорость самолета относительно Земли является сум­мой векторов угловой скорости самолета относительно нормальной

системы координат и угловой скорости (о«р вращения нормальной системы координат относительно Земли вследствие кривизны по­верхности Земли, Для реальных условий полета самолета последняя

составляющая ы„р мала и ею можно пренебречь.

Проекции кинетического момента К на произвольные подвижньЙ! оси записываются в теоретической механике^как /’V-;

Кх JХ^Х ‘ /xytoy /хг(0г)

где /ж, Jy, Jz осевые, а 7*„, Jxz, uJyZ — центробежные моменты инерции, которые определяются формулами:

Jx = J (уг + z[5]) dm Jy — J (Xі — f z-) dm)

Jz = j (Xі + Уъ) dm; Jay = jxy dm

Jxi = j xz dm) Jyz = j t/z dm.

Моменты инерции самолетов с заметно изменяющейся в полете массой являются функциями времени.

Поскольку основная плоскость OXY связанной системы коорди­нат является плоскостью симметрии самолета, то в связанных осях центробежные моменты инерции, содержащие координаты г, равны нулю: Jxz — Juz — — 0.

С учетом этого упрощения, используя выражения (1.56), урав­нения (1.55), запишем в виде

Jх^х ^ху®у і г ^ у) ^ ху^х^у == рх)

Jу®У ^ху®х (/ж ‘ *^г) ®жВ)г Jx^z == ^Ry’i

Jг Ь (^у ^х) ^[>х^[)у Jxy (Щ* Wp) = Аі рг.

Подробнее выражения для проекций результирующего момента MRx, MRy и MRz будут рассмотрены во второй части книги при анализе углового движения самолета.

Курсовая работа: Расчёт закона управления продольным движением самолета

РАСЧЁТ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЁТА

1. Математическое описание продольного движения самолета

1.1 Общие сведения

1.2 Уравнения продольного движения самолета

1.3 Силы и моменты при продольном движении

1.4 Линеаризованные уравнения движения

1.5 Математическая модель привода стабилизатора

1.6 Математические модели датчиков угловой скорости и перегрузки

1.7 Математическая модель датчика положения штурвала

2. Техническое задание на разработку алгоритма ручного управления продольным движением самолета

2.1 Общие положения

2.2 Требования к статическим характеристикам

2.3 Требования к динамическим характеристикам

2.4 Требования к разбросам параметров

2.5 Дополнительные требования

3. План выполнения курсовой работы

3.1 Этап анализа

3.2 Этап синтеза

4. Рекомендации к выбору желаемых собственных значений

Целью курсовой работы является закрепление материала первой части курса ТАУ [1] и освоение модальной методики расчета алгоритмов управления на примере синтеза закона управления продольным движением самолета. Методические указания содержат вывод математических моделей продольного движения самолета, электрогидравлического привода руля высоты, датчиков положения штурвала, угловой скорости тангажа, перегрузки, а также приводятся числовые данные для гипотетического самолета.

Одним из наиболее ответственных и трудных моментов при реализации методики модального синтеза является выбор желаемых собственных значений. Поэтому приведены рекомендации по их выбору.

1.1 Общие сведения

Полет самолета осуществляется под влиянием сил и моментов, действующих на него. Отклоняя органы управления, летчик может регулировать величину и направление сил и моментов, тем самым, изменяя параметры движения самолета в желаемую сторону. Для прямолинейного и равномерного полета необходимо, чтобы все силы и моменты были уравновешены. Так, например, в прямолинейном горизонтальном полете с постоянной скоростью подъемная сила равна силе тяжести самолета, а тяга двигателя – силе лобового сопротивления. При этом обязательно должно соблюдаться и равновесие моментов. В противном случае самолет начинает вращаться.

Равновесие, созданное летчиком, может быть нарушено воздействием какого-либо возмущающего фактора, например, турбулентностью атмосферы или порывами ветра. Поэтому когда режим полета установлен, требуется обеспечить устойчивость движения.

Другой важнейшей характеристикой самолета является управляемость. Под управляемостью самолета понимают его способность реагировать на перемещение рычагов управления (органов управления). О хорошо управляемом самолете летчики говорят, что он хорошо «ходит за ручкой». Это означает, что для выполнения требуемых маневров летчику необходимо совершить простые по характеру отклонения рычагов и прилагать к ним небольшие по величине, но четко ощутимые усилия, на которые самолет отвечает соответствующими изменениями положения в пространстве без излишнего запаздывания. Управляемость – важнейшая характеристика самолета, определяющая возможность полета. На неуправляемом самолете летать невозможно.

Летчику одинаково трудно управлять самолетом, когда требуется прикладывать большие усилия к рычагам управления и выполнять большие перемещения штурвала, а также когда отклонения штурвала и усилия, потребные для их отклонения, слишком малы. В первом случае летчик быстро утомляется при совершении маневров. О таком самолете говорят, что он «тяжел в управлении». Во втором случае самолет реагирует на малое, иногда даже непроизвольное перемещение ручки, требуя от летчика большого внимания, точного и плавного управления. О таком самолете говорят что он «строг в управлении» [2].

На основе летной практики и теоретических исследований установлено, какими должны быть характеристики устойчивости и управляемости, чтобы удовлетворить требованиям удобного и безопасного пилотирования. Один из вариантов формулирования этих требований представлен в техническом задании на курсовую работу.

1.2 Уравнения продольного движения самолета

Обычно полёт самолёта рассматривают как движение в пространстве абсолютно жёсткого тела. При составлении уравнений движения используют законы механики, позволяющие в самом общем виде записать уравнения движения центра масс самолёта и его вращательного движения вокруг центра масс.

Исходные уравнения движения вначале записывают в векторной форме

,

,

m – масса самолета;

– равнодействующая всех сил;

– главный момент внешних сил самолёта, вектор суммарного вращающего момента;

– вектор угловой скорости системы координат;

– момент количества движения самолёта;

Знак «» обозначает векторное произведение. Далее переходят к обычной скалярной записи уравнений, проектируя векторные уравнения на некоторую систему координатных осей.

Получаемые общие уравнения оказываются настолько сложными, что, по существу, исключают возможность проведения наглядного анализа. Поэтому в аэродинамике летательных аппаратов вводятся различные упрощающие приёмы и предположения. Очень часто оказывается целесообразным разделить полное движение самолёта на продольное и боковое. Продольным называется движение с нулевым креном, когда вектор силы тяжести и вектор скорости самолёта лежат в его плоскости симметрии. Далее будем рассматривать только продольное движение самолёта (рис. 1).

Это рассмотрение будем вести с использованием связанной ОXYZ и полусвязанной ОX_e Y_e Z_e систем координат. За начало координат обеих систем принимается точка, в которой расположен центр тяжести самолета. Ось ОX связанной системы координат проводится параллельно хорде крыла и называется продольной осью самолета. Нормальная ось ОY перпендикулярна оси ОX и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ перпендикулярна к осям ОX и ОY, а следовательно, и к плоскости симметрии самолета. Она называется поперечной осью самолета. Ось ОX_e полусвязанной системы координат лежит в плоскости симметрии самолета и направлена по проекции на неё вектора скорости. Ось ОY_e перпендикулярна оси ОX_e и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ_e перпендикулярна к осям ОX_e и ОY_e .

Остальные обозначения, принятые на рис. 1: – угол атаки, – угол тангажа, – угол наклона траектории, – вектор воздушной скорости, – подъемная сила, – сила тяги двигателей, – сила лобового сопротивления, – сила тяжести, – угол отклонения рулей высоты, – момент тангажа, вращающий самолёт вокруг оси ОZ.

Запишем уравнение продольного движения центра масс самолёта

, (1)

где – суммарный вектор внешних сил. Представим вектор скорости с использованием его модуля V и угла его поворота относительно горизонта:

.

Тогда производная вектора скорости по времени запишется в виде:

. (2)

С учётом этого уравнения продольного движения центра масс самолёта в полусвязанной системе координат (в проекциях на оси ОX_e и ОY_e ) примут вид:

; (3)

. (4)

Уравнение вращения самолёта вокруг связанной оси OZ имеет вид:

, (5)

где J_z – момент инерции самолета относительно оси OZ, M_z – суммарный вращающий момент относительно оси OZ.

Полученные уравнения полностью описывают продольное движение самолета. В курсовой работе рассматривается только угловое движение самолёта, поэтому далее будем учитывать только уравнения (4) и (5).

В соответствии с рис. 1, имеем:

, (6)

– (7)

угловая скорость вращения самолёта вокруг поперечной оси OZ (угловая скорость тангажа).

При оценке качества управляемости самолета большое значение имеет перегрузка. Она определяется как отношение действующей на самолёт суммарной силы (без учёта веса) к силе веса самолёта. В продольном движении самолёта используют понятие «нормальная перегрузка». По ГОСТ 20058–80 она определяется как отношение проекции главного вектора системы сил, действующих на самолёт, без учёта инерционных и гравитационных сил, на ось OY связанной системы координат к произведению массы самолёта на ускорение свободного падения:

. (8)

Переходные процессы по перегрузке и угловой скорости тангажа определяют оценку летчиком качества управляемости продольного движения самолета.

1.3 Силы и моменты при продольном движении

Силы и моменты, действующие на самолёт, – это сложные нелинейные функции, зависящие от режима полёта и положения управляющих органов. Так, подъёмная сила Y и сила лобового сопротивления Q записываются в виде:

; (9)

. (10)

Суммарный момент есть функция скорости V и высоты H полёта, угла атаки и скорости его изменения , угловой скорости изменения угла тангажа (скорости вращения самолёта вокруг связанной поперечной оси OZ) и угла отклонения руля высоты :

. (11)

с_x , c_y , – задаваемые табличным путём функции,

– плотность атмосферы,

S – сечение Миделя (площадь характерного сечения самолёта).

Эти зависимости определяются специалистами по аэродинамике расчётным путём и уточняются с помощью продувок в аэродинамических трубах и путём натурного эксперимента.

1.4 Линеаризованные уравнения движения

Уравнения динамики продольного движения самолета существенно упрощаются при рассмотрении малых отклонений от горизонтального полета самолета с постоянной скоростью. Проведём линеаризацию уравнений углового продольного движения самолёта. Будем полагать, что за время переходных процессов по углам и угловым скоростям тяга двигателей P, модуль скорости V и высота полёта H остаются неизменными. Из выражений (5) и (11) получим:

(12)

Из выражений (3) и (9) получим:

(13)

Момент или сила с верхним индексом означают здесь соответствующую частную производную. Обозначим:

; (14)

Оказывается, что параметры и являются чрезвычайно информативными с точки зрения оценки режима полёта и качества угловых процессов самолёта. Пренебрежём, как это часто делается для маневренных самолётов, слагаемым в правой части уравнения (13). С учётом равенства (6) получим уравнение для производной приращения угла атаки:

(15)

Уравнения (12) и (15) являются линейными дифференциальными уравнениями углового движения самолета в отклонениях.

Рассмотрим подробнее выражение (8) для нормальной перегрузки. При неизменном во времени модуле скорости V можно полагать, что сила тяги P примерно равна силе лобового сопротивления Q. Тогда

(16)

Теперь перейдём к приращениям:

(17)

Тогда, полагая и пренебрегая величиной , с учётом (14) для углов, измеряемых не в радианах, а в градусах, получим:

. (18)

В предыдущих выражениях g – ускорение свободного падения, m – масса самолета. При численных расчетах полагаем м/с 2 .

Из (13) и (14), пренебрегая величиной , получим формулу для приращения ускорения самолёта по оси подъёмной силы:

. (19)

Учитывая (16), получим связь между приращениями нормальной перегрузки и ускорением

. (20)

Таким образом, о величине приращения нормальной перегрузки можно судить по показаниям датчика нормального ускорения (акселерометра).

Примем в качестве переменных состояния приращения угла атаки и угловой скорости тангажа. Заменив в правой части уравнения (12) выражением (15), получим следующие уравнения состояния:

, (21)

, (22)

где угловые величины выражены в градусах, а скорость – м/с.

В таблице приведены числовые данные для коэффициентов линеаризованных уравнений самолета для различных высот и скоростей полета. Вместо воздушной скорости полета V в таблице данных используется относительная скорость

, (23)

где величину M называют числом Маха, – скорость звука на данной высоте.

1.5 Математическая модель привода стабилизатора

Схема электрогидравлического привода руля высоты представлена на рис. 2. Привод представляет собой следящую систему, входной величиной которой является электрический управляющий сигнал, а выходной – перемещение рабочего органа, связанного со стабилизатором (рулём высоты).

На сравнивающее устройство 2 подаются управляющий сигнал 1 и сигнал обратной связи 3, полученный с датчика обратной связи 16. Сигнал рассогласования 4 подаётся на вход электромеханического преобразователя 5. Собственно гидравлический усилитель, составляющий основу привода, является двухкаскадным. Питание первого каскада усиления осуществляется через редуктор 6. Заслонка 7, укрытая защитным колпачком 8, жёстко связана с якорем электромеханического преобразователя. При перемещении заслонки изменяются гидравлические сопротивления сопел 9, через которые непрерывно течёт рабочая жидкость под воздействием небольшого управляющего давления P_у . Переменные сопротивления сопел и постоянные гидравлические сопротивления дросселей 10 образуют гидравлический мост, диагональ которого составляет нагрузка – золотник 11. Поэтому при отклонении заслонки от среднего положения в областях А и Б золотника 11 образуется перепад давлений, создающий движущую силу. Пружины 12 выполняют роль жёсткой механической отрицательной обратной связи. Поршни золотника при постоянном положении заслонки 7 будут перемещаться до тех пор, пока сила пружины не уравновесит движущую силу. Таким образом, перемещение штока золотника пропорционально сигналу рассогласования 4. Смещение штока золотника совместно с закреплёнными на нём поршеньками приоткрывает соответствующий канал для передачи давления источника рабочей жидкости Р_б на соответствующую сторону поршня силового цилиндра 13. Стрелками на рисунке показана подача рабочей жидкости высокого давления. В результате шток 14 силового цилиндра перемещается и через кинематическую передачу поворачивает руль высоты 15.

Рис. 2. Схема привода

Структурная схема электрогидравлического привода представлена на рис. 3.

Для пояснения способа получения структурной схемы обратимся к рис. 4, на котором изображено простейшее гидравлическое устройство. В камеру гидравлического устройства поступает жидкость, расход которой регулируется клапаном. (Под расходом жидкости понимается изменение её объема в единицу времени).

Рис. 3. Структурная схема электрогидравлического привода.

На рис. 3 приняты следующие обозначения: 1 – сравнивающее устройство; 2 – золотник; 3 – силовой механизм.

Рис. 4. Гидравлическое устройство

Если полагать, что расход жидкости пропорционален перемещению клапана r, то изменение объема жидкости в рабочей камере также пропорционально величине r. Поэтому скорость перемещения поршня пропорциональна величине r, т.е.

, (24)

где k – коэффициент пропорциональности.

Передаточная функция от величины r к x равна, очевидно, .

Нелинейные звенья вводятся для учета сил трения поршня о стенки рабочей камеры золотника и рабочего механизма (начальный участок нелинейной характеристики) и для учета ограничений величин максимальных расходов жидкости (конечный участок нелинейных характеристик).

Для расчетов предлагаются следующие величины числовых данных: , , , угол наклона нелинейных характеристик равен 45 0.

Максимальные углы отклонения стабилизатора составляют ±30 0 и достигаются в установившемся режиме при величине входного напряжения ±30 В.

1.6 Математические модели датчиков угловой скорости и перегрузки

Приборы, предназначенные для получения сигналов, пропорциональных угловой скорости самолёта, так называемые датчики угловых скоростей (ДУС), обычно выполняются в виде гироскопа с двумя степенями свободы. С помощью указанных приборов вводится производная в закон регулирования. При этом гироскопические измерители угловой скорости обычно располагают на самолёте таким образом, что оси гироскопа оказываются параллельными соответствующим осям самолёта.

На рис. 5 приведена схема прибора (демпфирующего гироскопа), предназначенного для измерения угловой скорости тангажа.

Рис. 5. Упрощенная схема демпфирующего гироскопа: 1 – двухстепенной гироскоп; 2 – пружина; 3 – демпфер; 4 – потенциометрический датчик.

Ротор гироскопа вращается вокруг оси с большой угловой скоростью . в этом случае ротор гироскопа обладает большим кинетическим моментом , где – момент инерции ротора гироскопа относительно оси . Пусть J_x – момент инерции гироскопа вместе с рамкой относительно оси Ox. Тогда уравнение моментов относительно оси Ox имеет следующий вид:

*) , (25)

где первое слагаемое в правой части равенства представляет собой гироскопический момент, М_п – момент пружины, М_д – момент демпфера. Проектируя это уравнение на ось Ox и полагая, что

, (26)

, (27)

где – жесткость пружины, f – коэффициент демпфирования, получим

. (28)

Полагая величину малой, пренебрегая величиной по сравнению с , поскольку величина скорости вращения гироскопа велика, и введя обозначения

, , , (29)

получим дифференциальное уравнение второго порядка

. (30)

Поскольку электрический сигнал с выхода потенциометрического датчика пропорционален углу , то окончательно получим следующее выражение передаточной функции демпфирующего гироскопа:

. (31)

Значения параметров передаточной функции , с, .

Для измерения нормальной перегрузки используем осевой акселерометр. Схема осевого акселерометра представлена на рис. 6.

Рис. 6. Схема осевого акселерометра

Акселерометр, иначе называемый датчиком линейных ускорений (ДЛУ), во избежание зависимостей его показаний от угловых скоростей самолёта, устанавливается в центр тяжести самолёта. Его принципиальную схему можно представить в виде винтовой пружины k , один конец которой скреплен с корпусом прибора, а другой с массой , имеющей возможность перемещаться в направляющих, параллельных оси пружины. Эти направляющие определяют ось чувствительности прибора.

Если самолёт, несущий ДЛУ, движется с ускорением, причём по оси чувствительности ДЛУ направлена составляющая этого ускорения, то сумма сил, действующих на массу , равна

, (32)

.*) (33)

Здесь — жёсткость пружины, — коэффициент успокоительного демпфера. Изменение положения подвижной массы акселерометра фиксируется потенциометрическим или индукционным линейным датчиком. Таким образом, передаточная функция акселерометра, определяемая как отношение изображений по Лапласу электрического выходного сигнала акселерометра к нормальному ускорению самолёта при нулевых начальных условиях, записывается следующим образом:

. (34)

Значения параметров передаточной функции осевого акселерометра с, , В/ед.

1.7 Математическая модель датчика положения штурвала

Схема включения датчика положения штурвала летчика представлена на рис. 7. На схеме обозначены:

2 – загрузочные пружины;

3 – потенциометрический датчик положения ручки.

Управлять самолетом, не ощущая усилий на ручке, ориентируясь только по ее положению, чрезвычайно трудно. Поэтому искусственно создают имитирующее усилие на штурвале управления с помощью загрузочных пружин.

Сигнал с выхода потенциометрического датчика пропорционален отклонению штурвала летчика. Для численных расчетов полагаем величину коэффициента пропорциональности между перемещением штурвала и выходным напряжением датчика равной 0,1 В/мм. Максимальные величины отклонения штурвала составляют ± 100 мм.

Рис. 7. Упрощенная схема штурвала летчика

2.1 Общие положения

Требуется разработать алгоритм ручного управления продольным движением самолета для одного из режимов полета в соответствии с заданным номером варианта. Исходные данные для проектирования представлены в таблице 1.

2.2 Требования к статическим характеристикам

Расход штурвала летчика на единицу перегрузки должен быть не менее 40 мм и не более 60 мм.

2.3 Требования к динамическим характеристикам

При ступенчатом отклонении штурвала время регулирования по нормальной перегрузке не должно превышать 1,5 сек. при величине перерегулирования не более 10%. Переходный процесс по угловой скорости тангажа по времени регулирования не нормируется, но перерегулирование при ступенчатом отклонении штурвала не должно превышать 100%.

2.4 Требования к разбросам параметров

Динамические и статические характеристики системы управления должны удовлетворять сформулированным выше требованиям при неопределенности эффективности стабилизатора в пределах ±20%.

2.5 Дополнительные требования

Допускаются автоколебания по перегрузке с амплитудой не более 0,02.

Целью работы является расчет алгоритма управления продольным движением самолета, обеспечивающего выполнение требований к характеристикам системы управления, сформулированным в техническом задании. Функциональная схема проектируемой системы представлена на рис. 8.

Рис. 8. Функциональная схема проектируемой системы управления.

В качестве инструмента расчётов рекомендуется использовать пакет MATLAB [6], [7]. Предлагается следующий план выполнения работы.

3.1 Этап анализа

3.1.1. Записать полную систему дифференциальных уравнений неизменяемой части системы с учётом динамики датчика угловых ускорений и акселерометра. Записать упрощенную полную систему дифференциальных уравнений неизменяемой части системы (разомкнутой системы) без учёта нелинейностей рулевого привода. Рассчитать собственные числа разомкнутой системы и установить принадлежность соответствующих собственных чисел собственно самолёту, рулевому приводу, каждому из датчиков.

3.1.2. Рассчитать передаточные функции разомкнутой системы от управления u на входе привода до угла атаки , а также до сигналов перегрузки , и угловой скорости тангажа . Определить полюсы и нули всех передаточных функций.

3.1.3. Рассчитать логарифмические частотные характеристики, соответствующие п. 3.1.2 с учётом и без учёта динамики датчиков и рулевого привода.

3.1.4. Построить переходные характеристики, соответствующие п. 3.1.3, выбирая величину входного ступенчатого воздействия на входе привода такой, чтобы в установившемся режиме n_{y уст.} =1 Оценить временные характеристики (перерегулирование, время регулирования, время нарастания). Провести сопоставительный анализ результатов выполнения п.п. 3.1.1 – 3.1.4.

3.1.5. Выбрать расчетную модель объекта управления, проводя, если это возможно, упрощения динамики самолета с приводами и датчиками. Выбрать желаемые собственные значения матриц динамики замкнутой непрерывной системы, учитывая заданные требования к временным характеристикам и необходимость использования по возможности небольших величин коэффициентов обратных связей.

3.2 Этап синтеза

3.2.1. Рассчитать обратную связь по полному вектору состояния и коэффициент передачи по внешнему управлению от датчика положения штурвала самолета.

3.2.2. Рассчитать переходные функции в линейной системе с обратной связью по полному вектору состояния, выбирая в качестве ступенчатого воздействия по координате V_p величину, соответствующую в установившемся режиме единичной перегрузке.

3.2.3. Выбрать параметры наблюдателя полного порядка.

3.2.4. Рассчитать переходные функции линейной системы с наблюдателем.

3.2.5. Синтезировать наблюдатель минимального порядка (аналогично п.п. 3.2.3 – 3.2.4).

3.2.6. Рассчитать переходные процессы в полной нелинейной системе с учетом всех нелинейностей рулевого привода и динамики датчиков.

3.2.7. Провести анализ возможности возникновения автоколебаний и определить их параметры методом гармонической линеаризации, учитывая только нелинейность золотника привода (с учетом динамики датчиков).

Если автоколебания превышают допустимый по техническому заданию уровень, то выработать рекомендации для уменьшения амплитуды автоколебаний.

3.2.8. В соответствии с правилами оформления студенческих работ [5] оформить пояснительную записку и подготовить 5‑минутный доклад для защиты работы в комиссии.

Одними из существенных достоинств методики модального синтеза являются простые связи между назначаемыми собственными значениями и векторами, и свойствами синтезируемой системы, позволяющие эффективно рассчитывать алгоритмы управления. Однако выбор желаемых собственных значений и векторов является наиболее трудным и ответственным моментом методики. Трудность выбора желаемых собственных значений и векторов обусловлена, как правило, противоречивостью и многообразием требований, предъявляемых к свойствам синтезируемой системы, а также необходимостью прибегать к численным расчетам.

Выбор желаемых значений и векторов представляет собой неформальную исследовательскую задачу, решением которой является обоснованный выбор совокупности этих значений.

В рамках курсовой работы предлагается рассчитать систему со скалярным (единственным) управлением. Известно, что при замыкании системы обратными связями по переменным состояния, передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем имеют одинаковые (с точностью до постоянного множителя) числители, и, следовательно, одинаковые нули передаточных функций.

Введение наблюдателя в состав алгоритмов управления приводит к тому, что передаточные функции замкнутых систем не меняются по сравнению с аналогичными передаточными функциями систем с полным вектором обратной связи. Фактически это достигается тем, что желаемые собственные значения наблюдателей одновременно являются и нулями и полюсами передаточных функций замкнутых систем, и, следовательно, формально сокращаются. Однако следует помнить, что реально числовые данные параметров объекта известны приближенно, и в реальных условиях полюсы наблюдателя уже не будут компенсироваться соответствующими нулями, хотя величины нулей и полюсов могут быть близки друг к другу.

Таким образом, учет разбросов параметра в уравнениях объекта помимо всего прочего накладывает и ограничения на выбор желаемых собственных значений наблюдателя.

В рамках курсовой работы для уменьшения общего объема работы рекомендуется выбирать желаемые собственные значения наблюдателя так, чтобы элементарные составляющие движений, обусловленные этими собственными значениями успокаивались несколько быстрее, чем результирующие переходные процессы.

Возвращаясь к замкнутой системе с полным вектором обратной связи, следует отметить, что предлагаемый объект управления имеет пару доминирующих комплексно-сопряженных полюсов в передаточной функции. Под доминирующими полюсами понимаются полюсы передаточных функций с существенно меньшими модулями вещественных частей по сравнению с другими полюсами. Поэтому оценку временны¢х характеристик переходных процессов можно проводить, только опираясь на характеристики элементарных составляющих переходных процессов, обусловленных доминирующими полюсами.

Поясним ситуацию на примере передаточной функции системы по перегрузке. Типичная картина расположения нулей и полюсов представлена на рис. 9.

Рис. 9. Расположение нулей и полюсов передаточной разомкнутой системы по перегрузке:

p₁ , p₂ – доминирующая пара полюсов объекта;

p₃ , p₄ – полюсы передаточной функции привода;

n₁ , n₂ – нули передаточной функции.

При рассмотрении переходной функции системы с передаточной функцией можно воспользоваться разложением на элементарные дроби:

. (35)

Предположим, что (часто это условие выполняется, когда ). Тогда можно приближенно записать:

. (36)

Коэффициенты C_1, C₂ являются комплексно-сопряженными, поскольку они соответствуют комплексно-сопряженным полюсам p₁ , p₂ и являются, очевидно, вычетами функции .

Таким образом, составляющие переходных функций, соответствующие доминирующим полюсам, определяются с помощью временных характеристик звена второго порядка. Изучив связь между расположением на комплексной плоскости полюсов передаточной функции типового колебательного звена и его переходной функцией, можно целенаправленно назначать доминирующие желаемые полюсы передаточной функции (собственные числа матрицы динамики) замкнутой системы.

Полином является полиномом числителя разомкнутой системы по перегрузке и не зависит от обратных связей и, следовательно, от желаемых собственных значений.

Полюсы передаточной функции привода не оказывают существенного влияния на переходные процессы, поскольку расположены сравнительно далеко от мнимой оси. При выборе желаемых собственных значений p₃ и p₄ следует учесть только необходимость получения небольших по модулю величин коэффициентов обратных связей, поскольку. Желаемые собственные значения p₃ и p₄ можно назначить совпадающими с полюсами привода. Здесь, однако, следует обратить внимание на то, что программы расчета обратных связей на ЭВМ, предлагаемые для расчетов [6], [7], требуют отличия всех желаемых значений по сравнению с исходными. Поэтому рекомендуется желаемые значения p₃ и p₄ изменить на доли процента по сравнению с полюсами привода.

1. Страшинин Е.Э. Основы теории автоматического управления. Часть 1: Линейные непрерывные системы управления: Учебное пособие. Екатеринбург: УГТУ-УПИ. 2000 — 214 с.

2. Практическая аэродинамика маневренных самолетов/ Под ред. Н.М. Лысенко. М.:Воениздат, 1977. 439 с.

5. Панов Г.И. Методическое руководство по оформлению пояснительной записки для курсового и дипломного проектирования. Свердловск: УПИ, 1981. 23 с.

5. Соколов С.С. Рекомендации по оформлению курсовых, выпускных и дипломных проектов (работ). Методические указания. Электронная версия http://www.ait.ustu.ru/books/ Методические указания/ Правила оформления. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 24 с.

6 Медведев В.С., Потёмкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB для студентов / Под общ. ред. к.т.н. В.Г. Потёмкина. – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 287 с.

7 А.В. Малов, Е.Э. Страшинин Пакет математического моделирования Matlab v6.0: Краткое справочное руководство к лабораторным работам по дисциплине «Теория автоматического управления» / Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 52 с.

*) Векторным произведением векторов и (обозначается ) называется вектор , длина которого равна произведению absinj (j — угол между векторами и ) и который направлен перпендикулярно и в такую сторону, чтобы три вектора , и образовали правую тройку (т.е. чтобы после совмещения начал векторов , и кратчайший поворот от к казался наблюдателю, смотрящему с конца вектора , идущим против часовой стрелки

*) Студентам рекомендуется самостоятельно проанализировать, как влияет на выходной сигнал акселерометра сила тяжести G а) при горизонтальном полёте; б) при стоянке на взлётной полосе; в) при свободном падении с нулевым креном и с горизонтальным расположением продольной оси ОХ.