Уравнения движения в цилиндрической системе координат

ПЕРВАЯ ПРОЕКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Обухов Александр Геннадьевич, Волков Роман Евстафьевич

Сложные течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа, возникающие при нагреве вертикальной области, обладают ярко выраженной осевой симметрией. Поэтому для численного решения полной системы уравнений Навье-Стокса для описания таких течений газа целесообразно использовать цилиндрическую систему координат. В данной работе описывается преобразование первой проекции уравнения движения полной системы уравнений Навье-Стокса . Результатом преобразования является запись первой проекции уравнения движения сплошной среды в цилиндрической системе координат .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Обухов Александр Геннадьевич, Волков Роман Евстафьевич

FIRST PROJECTION OF THE EQUATION OF MOTION IN THE CYLINDRICAL COORDINATE SYSTEM

It is proved that complex flows of the viscous compressible heat-conducting gas, arising during heating the vertical field, have a pronounced axial symmetry. Therefore, for the numerical solution of the full Navier-Stokes equations for description of such gas flows it are advisable to use a cylindrical coordinate system. This paper describes the transformation of the first projection of the equation of motion of the full Navier-Stokes equations system. The result of the transformation is a record of the first projection of the equation of a continuous medium motion in the cylindrical coordinate system.

Текст научной работы на тему «ПЕРВАЯ ПРОЕКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ»

ПЕРВАЯ ПРОЕКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

FIRST PROJECTION OF THE EQUATION OF MOTION IN THE CYLINDRICAL

А. Г. Обухов, Р. Е. Волков

A. G. Obukhov, R. E. Volkov

Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень

Тюменский государственный университет, г. Тюмень

Ключевые слова: полная система уравнений Навье — Стокса; уравнение движения; частные производные; цилиндрическая система координат Key words: complete system of Navier-Stokes equations; equation of motion; partial derivatives; a cylindrical coordinate system

Модель сжимаемой сплошной среды, основанная на численном решении полной системы уравнений Навье — Стокса, используется для описания сложных нестационарных трехмерных течений вязкого, сжимаемого, теплопроводного газа 3. Эта модель адекватно описывает физические процессы течений газа в восходящих закрученных потоках как при холодном продуве 5, так и при локальном нагреве [8, 9] под действием сил тяжести и Кориолиса. Полная система уравнений Навье — Стокса, записанная в безразмерных переменных, с учетом действия силы тяжести и Кориолиса в векторной форме имеет вид [2]

pt I V-Vp I pdvV-O,

V +|V-V) V+ 1 Vp+1 VT=g-Xlx

‘ T, I V VTI ( ;’ l)TJv j [J,^)

-Нд-wJ -+(vv -w2) 2]++vx) 2+(ц +Mi)2+(vz +Wy)2j|.

В системе (1): t —время; x,y,z —декартовы координаты; p —плотность газа; р0 и к0 — постоянные значения безразмерных коэффициентов вязкости и теплопроводности; V = (u,v, w) — вектор скорости газа с проекциями на соответствующие декартовы оси; T — температура газа; g = (0,0, — g) — вектор ускорения силы тяжести; у = 1,4 — показатель политропы для воздуха; -2QxV = (av-bw,-au,bu) — вектор ускорения силы Кориолиса, a = 2Qsin^; b = 2Qcos^, Q= Q; Q — вектор угловой

скорости вращения Земли; у — широта точки О — начала декартовой системы координат Охуг , вращающейся вместе с Землей.

В работах [8, 9] показано, что возникающие течения газа обладают осевой симметрией. Поэтому для численного решения полной системы уравнений Навье — Стокса при описании сложных течений газа при нагреве вертикальной области целесообразно использовать цилиндрическую систему координат. В данной работе описывается преобразование первой проекции векторного уравнения движения системы (1) с целью ее записи в цилиндрической системе координат.

Первая проекция уравнения движения в декартовой системе координат имеет вид

T 1 „ , М0 ( 3 3 1 1 | .

u, + uux + vuy + wuz +—+—lx = av -bw+—01 u„ +—uyy +— uzz +—v„, +—wxz I. (2)

t x y z / x x xx « yy « zz « xy « XZ \ /

В книге [10] в качестве компонент вектора скорости газа в цилиндрической системе координат г,ф, z вместо u, v введены соответственно £ —радиальная и г —окружная компоненты по формулам

u = £соиф-г$тф; v = ^шф + гсоаф. (3)

Частные производные первого порядка по пространственным переменным преобразовываются следующим образом:

8 8 s1n^ 8 8 .. 8 соаф 8

8x 8r r 8ф 8y 8r r 8ф

Поскольку независимая переменная Z при переходе к цилиндрическим координатам не меняется, то и производные по этой переменной также не меняются.

Частные производные второго порядка по пространственным переменным преобразуются по формулам:

82 ( .8 а1пф 8 |( .8 а1пф 8 | 2 . 82

—- = 1 соаф——II соаф——I = cos ф—- —

2зтфсозф 82 sm2 ф 82 sm2 ф 8 2атфсоаф 8

r 8т8ф r 8ф r 8r r 8ф

2атфсоаф 82 соа2ф 82 соа2ф 8 2зтфсозф 8 ;

82 ( 8 а1пф 8 .8 соаф 8 — = I соаф—-II атф—

8x8y ^ 8r r 8ф )\ 8r r 8ф) , 82 + соа2 ф- sm2ф 82 этфсоэф 82 зтфсоэф 8 + ат2ф-соа2ф 8 ; 8rL r 8г8ф r2 8ф2 r 8r r2 8ф

82 ( ,8 а1пф 8 | 8 ,82 а1пф 82 .„.

8x8z ^ 8r r 8ф) 8z 8r8z r дфдz

С учетом соотношений (3)-(8) после приведения подобных и использования формул тригонометрии уравнение (2) в цилиндрической системе координат будет иметь вид

cosf — sin^77, +Qcos@Qr -c,sm@Tir -Qr-+ r-Qt —

2 cos^ sin^ . T ( sin^ ^ 1 (

-Г — -Г- Гф + wcos$Qz — wsmфrz +—1 cosфpr—— рф | + — I cosфTr

■ J. Г A 1 М ( J. r 1 s^ „

= asi^Q + acosфr-bw +—I cosфQrr—-Qф +

cos^ 7 sin^ cos^ 3

3 si^ 7 cosф 3 slnф

+— cosфQzz — sin фг= + —cosфwrz —

Таким образом, в данной работе проведены преобразования первой проекции уравнения движения полной системы уравнений Навье — Стокса. В результате выполненных преобразований эта проекция переписана в цилиндрической системе координат, использование которой более целесообразно для описания сложных течений газа с осевой симметрией.

Исследования поддержаны Министерством образования и науки РФ (проект № 3023).

1. Баутин С. П., Обухов А. Г. Математическое моделирование придонной части восходящего закрученного потока // Теплофизика высоких температур. — 2013. — Т. 51. -№ 4. — С. 567-570.

2. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Обухов А. Г., Баутин К. В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, эксперименты. — Новосибирск: Наука; Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. — 215 с.

3. Bautin S. P., Obukhov A. G. Mathematical Simulation of the Near-Bottom Section of an Ascending Twisting Flow // High Temperature. — 2013. — V. 51.- No. 4.- P. 509-512.

4. Абдубакова Л. В., Обухов А. Г. Численный расчет скоростных характеристик трехмерного восходящего закрученного потока газа // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. — 2014. — № 3. — С. 88-94.

5. Обухов А. Г., Абдубакова Л. В. Численный расчет термодинамических характеристик трехмерного восходящего закрученного потока газа // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика — 2014. — № 7. — С. 157-165.

6. Абдубакова Л. В., Обухов А. Г. Численный расчет термодинамических параметров закрученного потока газа, инициированного холодным вертикальным продувом // Известия вузов. Нефть и газ. — 2014. — № 5 — С. 57-62.

7. Абдубакова Л. В., Обухов А. Г. Расчет плотности, температуры и давления трехмерного восходящего закрученного потока газа при вертикальном продуве // Нефтегазовое дело. — 2014. — Том 12, № 3. -С.116-122.

8. Обухов А. Г., Баранникова Д. Д. Особенности течения газа в начальной стадии формирования теплового восходящего закрученного потока // Известия вузов. Нефть и газ. — 2014. — № 6 — С. 65-70.

9. Баутин С. П., Крутова И. Ю., Обухов А. Г. Закрутка огненного вихря при учете сил тяжести и Кориолиса // Теплофизика высоких температур. — 2015. — Т. 53. -№ 6. — С. 961-964.

10. Баутин С. П. Торнадо и сила Кориолиса. — Новосибирск: Наука. — 2008. — 96 с.

Сведения об авторах

Обухов Александр Геннадьевич, д. ф.-м. н.,

профессор кафедры «Бизнес-информатика и математика», Тюменский индустриальный университет, г. Тюмень тел. 89220014998, е-шай: аоЬиккоу@1$о^. ги

Уравнения движения в цилиндрической системе координат

Если материальная точка P движется по кривой траектории, то положение точки может быть определено тремя цилиндрическими координатами: r, θ, z. Тогда положение точки, её скорость и ускорение могут быть записаны в единицах цилиндрических координат следующим образом:

Если разложить силу, действующую на материальную точку, вдоль единичных векторов цилиндрической системы координат, то уравнение движения можно записать в виде:

Для выполнения равенства, соответствующие компоненты u_r,u_θ,u_z левой части уравнения должны быть равны соответствующим компонентам в правой части уравнения. Таким образом, уравнение движения можно записать с помощью следующих скалярных компонентов:

Если движение происходит в двумерных координатах r-θ, то для описания движения необходимы только два первых уравнения.

Центростремительное и нормальное ускорение

Обычно задача заключается в определении компонентов результирующей силы: F_θ,F_r, F_z , которые приводят частицу в движение и задают ей определённое ускорение.

Сила P создаёт движение по траектории r = f(θ). Нормальная сила N всегда перпендикулярна касательной траектории в данной точке, в то время, как сила трения F всегда направлена вдоль касательной и против направления движения. Направления сил N и F могут быть определены относительно r-координаты используя угол θ, который определён между прямой-направлением радиуса и касательной в заданной точке.

Угол θ определяется смещением точки на расстояние ds вдоль траектории, радиальное перемещение составляет dr и перемещение в направлении касательной r dθ. Так как эти две составляющиевзаимно перпендикулярны, угол θ может быть определён из равенства:

Если угол θ положителен, то он измеряется от радиальной линии против направления хода часов или в положительном направлении угла θ. Если угол отрицательный, то он измеряется в обратном направлении (по часовой стрелке).

Например, кардиоида, описанная уравнением

когда θ=30°, tg = a(1+ cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.73 2 , или θ = -75°, измеренный против направления хода часов, как представлено на изображении.

Алгоритм решения задач

Цилиндрические координаты удобно использовать для анализа систем, в которых траектории движения заданы относительно радиальной линии, или могут быть удобным образом выражены в цилиндрических координатах. Определив координаты точки, уравнения движения могут быть применены для выражения силы в виде компонентов ускорения.

1. Установить инерциальную систему координат r, θ, z и изобразить диаграмму свободного тела
2. Положить ускорения a_r, a_θ, a_z направлены вдоль положительного направления осей r, θ, z, если направления неизвестны
3. Определить все неизвестные величины в задачи

Применить уравнения движения

Цилиндрические координаты: система, изменение и упражнения

Цилиндрические координаты: система, изменение и упражнения — Наука

Содержание:

В цилиндрические координаты Они используются для определения местоположения точек в трехмерном пространстве и состоят из радиальной координаты ρ, азимутальной координаты φ и координаты высоты. z.

Точка п расположенная в пространстве проецируется ортогонально на плоскость XY приводя к сути П ‘ в этом самолете. Расстояние от начала координат до точки П ‘ определяет координату ρ, а угол, образованный осью Икс с лучом OP ‘ определяет координату φ. Наконец, координата z ортогональная проекция точки п на оси Z. (см. рисунок 1).

Радиальная координата ρ всегда положительна, азимутальная координата φ изменяется от нуля радиан до двух пи радиан, а координата z может принимать любое действительное значение:

База вектора в цилиндрических координатах

База цилиндрических единичных векторов определяется Uρ, Uφ, Уз.

Вектор Uρ касается прямой φ = ctte и z = ctte (направленной радиально наружу), вектор Uφ касается прямой ρ = ctte, z = ctte и, наконец, Уз имеет то же направление оси Z.

В основании цилиндрического блока вектор положения р точки P записывается векторно так:

р = ρ Uρ + 0 Uφ + z Уз

С другой стороны, бесконечно малое смещение dр из точки P это выражается следующим образом:

dр = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + дз Уз

Точно так же бесконечно малый элемент объема dV в цилиндрических координатах равен:

Примеры

Существует бесчисленное множество примеров использования и применения цилиндрических координат. В картографии, например, цилиндрическая проекция, исходя именно из этих координат. Еще примеры:

Пример 1

Цилиндрические координаты находят применение в технике. В качестве примера у нас есть система размещения данных на жестком диске CHS (Cylinder-Head-Sector), которая фактически состоит из нескольких дисков:

— Цилиндр или дорожка соответствует координате ρ.

— Сектор соответствует положению φ диска, вращающегося на высокой угловая скорость.

— Головка соответствует положению z считывающей головки на соответствующем диске.

Каждый байт информации имеет точный адрес в цилиндрических координатах (C, S, H).

Пример 2

Строительные краны фиксируют положение груза в цилиндрических координатах. Горизонтальное положение определяется расстоянием до оси или стрелкой крана ρ и его угловым положением φ относительно некоторой исходной оси. Вертикальное положение груза определяется координатой z высоты.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Есть точки P1 с цилиндрическими координатами (3, 120º, -4) и точка P2 с цилиндрическими координатами (2, 90º, 5). Найди Евклидово расстояние между этими двумя точками.

Решение: Прежде всего, мы переходим к нахождению декартовых координат каждой точки по формуле, приведенной выше.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Евклидово расстояние между точками P1 и P2 равно:

d (P1, P2) = √ ((0 — (-1,5)) 2 +(2 – 2.60) 2 +(5 -(-4)) 2 ) =…

Упражнение 2.

Точка P имеет декартовы координаты (-3, 4, 2). Найдите соответствующие цилиндрические координаты.

Решение: Переходим к нахождению цилиндрических координат, используя приведенные выше соотношения:

ρ = √ (x 2 + и 2 ) = √((-3) 2 + 4 2 ) = √(9 + 16) = √(25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

Следует помнить, что функция арктангенса является многозначной с периодичностью 180º. Кроме того, угол φ должен принадлежать второму квадранту, поскольку координаты x и y точки P находятся в этом квадранте. Это причина, по которой к результату φ было добавлено 180 °.

Упражнение 3.

Выразите в цилиндрических координатах и ​​декартовых координатах поверхность цилиндра радиуса 2, ось которого совпадает с осью Z.

Решение: Подразумевается, что цилиндр имеет бесконечную протяженность в направлении z, поэтому уравнение указанной поверхности в цилиндрических координатах имеет вид:

Чтобы получить декартово уравнение цилиндрической поверхности, берется квадрат обоих членов предыдущего уравнения:

Умножаем на 1 оба члена предыдущего равенства и применяем фундаментальное тригонометрическое тождество (сен 2 (φ) + cos 2 (φ) =1 ):

(сен 2 (φ) + cos 2 (φ) ) * ρ 2 = 1 * 4

Скобка предназначена для получения:

(ρ sin (φ)) 2 + (ρ cos (φ)) 2 = 4

Мы помним, что первые круглые скобки (ρ sin (φ)) — это координата y точки в полярных координатах, а круглые скобки (ρ cos (φ)) представляют координату x, поэтому мы имеем уравнение цилиндра в декартовых координатах:

Вышеупомянутое уравнение не следует путать с уравнением окружности в плоскости XY, так как в этом случае оно будет выглядеть так: .

Упражнение 4.

Цилиндр с радиусом R = 1 м и высотой H = 1 м имеет свою массу, распределенную радиально в соответствии со следующим уравнением: D (ρ) = C (1 — ρ / R), где C — постоянная величина C = 1 кг / м. 3 . Найдите общую массу цилиндра в килограммах.

Решение: Во-первых, необходимо понять, что функция D (ρ) представляет объемную массовую плотность и что массовая плотность распределена в цилиндрических оболочках с уменьшающейся плотностью от центра к периферии. Бесконечно малый элемент объема в соответствии с симметрией задачи:

Следовательно, бесконечно малая масса цилиндрической оболочки будет:

Следовательно, общая масса цилиндра будет выражаться следующим образом: определенный интеграл:

M = ∫_или р D (ρ) dV = ∫_или р C (1 — ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫_или р (1 — ρ / R) ρ dρ

Решение указанного интеграла получить нетрудно, его результат:

∫_или р (1 — ρ / R) ρ dρ = (⅙) R 2

Включая этот результат в выражение массы цилиндра, получаем:

M = 2π H C (⅙) R 2 = ⅓ π H C R 2 =

⅓ π 1м * 1кг / м 3 * 1 м 2 = π / 3 кг ≈ 1,05 кг

Ссылки

1. Арфкен Г. и Вебер Х. (2012). Математические методы для физиков. Подробное руководство. 7-е издание. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Расчет cc. Решенные задачи цилиндрических и сферических координат. Получено с: calculo.cc
3. Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндрические координаты». Материал из MathWorld — сеть Wolfram Web. Получено с: mathworld.wolfram.com
4. википедия. Цилиндрическая система координат. Получено с: en.wikipedia.com
5. википедия. Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах. Получено с: en.wikipedia.com

Ganoderma lucidum: характеристики, среда обитания и польза

Pinus uncinata: характеристика, среда обитания, питание