Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

1. Магнитных монополей не существует.
2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:

Максвелла в дифференциальной форме

Лекция 10. Формула Стокса. Уравнения

Формула Стокса. Интегрируя выражение (100) по поверхности S, получим циркуляцию: Г= . С другой стороны, согласно определению циркуляции, это криволинейный интеграл вдоль границы поверхности S, т.е. вдоль контура L, следовательно

. (101)

Это — формула Стокса: циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную этим контуром.

Оператор Гамильтона набла. Формулы векторного анализа упрощаются, если ввести, следуя английскому математику Гамильтону, оператор Ñ (набла), символически изображающийся так:

. (102)

Если оператор Ñ действует на скалярную функцию j, то получается градиент

. (103)

Если Ñ скалярно умножить на векторную функцию A, — дивергенция:

. (104)

Векторное произведение Ñ и вектора А дает ротор вектора А

. (105)

Запишем с помощью оператора набла формулы Гаусса-Остроградского (94) и Стокса (101)

, (106)

. (107)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Применим формулу Стокса к первому уравнению Максвелла (см. лекцию 8). Интеграл по замкнутому контуру L в левой части преобразуется в интеграл от ротора E по поверхности, ограниченной этим контуром

.

Поскольку это равенство справедливо для любой поверхности S, подынтегральные функции должны быть равны

. (108)

Это — дифференциальная форма первого уравнения Максвелла, показывающая, что вихревое электрическое поле порождается изменением во времени магнитного поля в той же точке.

Применим формулу Гаусса-Остроградского ко второму уравнению Максвелла в интегральной форме

div B= 0. (109)

Дифференциальная форма второго уравнения Максвелла (109) показывает, что магнитное поле не имеет источников.

Преобразуем левую часть третьего уравнения Максвелла в интегральной форме по формуле Стокса

.

Последние два интеграла равны для любой поверхности S только тогда, когда равны подынтегральные функции, следовательно,

. (110)

Дифференциальная форма третьего уравнения Максвелла (110) показывает, что вихревое магнитное поле в каждой точке поля порождается или изменением электрического поля (током смещения), или токами проводимости.

Применим формулу Гаусса-Остроградского к четвертому уравнению Максвелла в интегральной форме

.

Последнее равенство выполняется для любого V, если

div D=r. (111)

Четвертое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (111) показывает, что источниками (или стоками) электрического поля являются заряды.

Оператор Лапласа. Уравнение Пуассона. Учитывая, что D=e_oE и E= — gradj, из уравнения (111) получим

.

Распишем операцию слева подробно

.

Последнюю сумму можно выразить компактно, если ввести дифференциальный оператор ЛапласаD (дельта)

. (112)

Тогда уравнение (111) можно записать так:

. (113)

Это — уравнение Пуассона. Оно выражает связь между плотностью заряда в данной точке поля и «ускорением» изменения потенциала в ее окрестности. При r=0 уравнение Пуассона (113) переходит в уравнение Лапласа

Уравнение непрерывности в дифференциальной форме. Ранее мы получили уравнение непрерывности (83) в интегральной форме. Применим к его левой части формулу Гаусса-Остроградского, а заряд в правой выразим через объемную плотность заряда

.

Так как объем V произволен, следовательно,

. (115)

Это — уравнение непрерывности в дифференциальной форме. Если принять во внимание, что j=rv, где v — скорость направленного движения зарядов, этому уравнению можно придать следующую форму:

, (116)

в которой уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда. В заключение запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме, пользуясь оператором набла

I. . II. .

III. . IV. (Ñ,D) = r.

Лекция II. Электрическое поле в веществе.

Уравнений Максвелла недостаточно, чтобы найти поля по данным распределениям зарядов и токов. Их необходимо дополнить так называемыми материальными уравнениями, которые характеризуют свойства среды. Для этого рассмотрим сначала электрическое поле в веществе.

Поместим в электрическое поле плоского конденсатора металлическую пластинку (рис.35). Очевидно, свободные электроны соберутся на поверхности металла вблизи положительно заряженной пластины конденсатора. Поверхность проводника вблизи отрицательно заряженной пластины окажется положительной. Электроны будут двигаться до тех пор, пока результирующее поле Е не станет равным нулю

Е+ Е¢ = 0,

где Е¢ – поле зарядов пластинки, Е_o — внешнее поле. Если образец -диэлектрик, то картина будет другой (рис.36).

Обычно диэлектриками называют вещества, почти не проводящие электрический ток. Проводимость диэлектриков в I0 15 — I0 20 раз меньше, чем у металлов, так как молекулы диэлектрика удерживают свои электроны и собственных свободных зарядов в диэлектрике нет. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. У симметричных молекул (типа Н₂, О₂. ) центры масс положительных и отрицательных зарядов совпадают, поэтому у них отсутствует собственный дипольный момент. Это — неполярные диэлектрики. Несимметричные молекулы обладают собственным дипольным моментом, и тогда они называются полярными. Полярные и неполярные молекулы в электрическом поле ведут себя по-разному. Молекулы полярного диэлектрика будут поворачиваться подобно диполям. Молекулы неполярного диэлектрика становятся полярными, а затем поворачиваются в поле. Таким образом, молекулы любого диэлектрика будут поворачиваться, ориентируясь собственным или приобретенным дипольным моментом вдоль поля (рис.36). Этот процесс называется поляризацией, и он приводит к возникновению поля связанных зарядов Е‘, направленного противоположно внешнему полю Е_о. Результирующее поле в диэлектрике равно

Е = Е_о + Е‘ . (117)

Напряженность поля плоского конденсатора Е_о=s/e_o. Возникший вследствие поляризации связанный не скомпенсированный заряд появляется только на поверхностях образца, образуя подобие второго конденсатора. Поэтому для однородного образца Е’=s’/e_o (s и s’ — поверхностные плотности свободных зарядов пластин и связанных зарядов диэлектрика). Подставляя Е_o и Е‘ в (117), получим

, Þ s¢= s — e_oE. (118)

Так как Е_o и Е’ направлены противоположно, результирующее поле Е будет меньше Е_o в некоторое e раз: Е = Е_o/e = s/ee_o => s = ee_oЕ. Подставляя s в (118), получим поверхностную плотность связанных зарядов

Величина e называется диэлектрической проницаемостью, а x =e-1 — диэлектрической восприимчивостью. Таким образом, на поверхности диэлектрика в электрическом поле появляется связанный заряд, поверхностная плотность которого пропорциональна величине поля в диэлектрике.

Вектор поляризованности. В общем случае степень поляризации диэлектрика характеризуют вектором поляризованности Р, представляющим собой суммарный дипольный момент единицы объема

, (120)

где р_i=q_il_i.- дипольный момент i-й молекулы, суммирование идет по всем молекулам в объеме DV. Выясним, как связаны Р и s’. Выделим для простоты объем DV в виде прямого параллелепипеда высотой l и площадью основания DS. Пусть диэлектрик поляризован однородно, т.е. все q_i и

l_i — одинаковы в пределах DV (рис.37). Видно, что избыточный связанный заряд остается только на верхней и нижней поверхностях DV, внутри все заряды скомпенсированы. Спроектируем все p_i на направление вектора l:

,

что после деления на DV и перехода к пределу (120) дает P_n. Следовательно, величина нормальной составляющей вектора поляризованности равна поверхностной плотности связанного заряда

Поскольку s’=x e₀Е, ® Р_n=x e₀Е_n. Как показывает опыт и расчет, для однородного диэлектрика это верно и в векторном виде

Р=xe_оЕ. (122)

Теорема Гаусса для вектора Р. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность S внутри диэлектрика. Построим на ее элементе dS объем DV в виде косого цилиндра (рис.38). Пусть в результате поляризации в объеме DV суммарный положительный заряд сместился относительно суммарного отрицательного на вектор l. Свяжем систему отсчета с центром масс отрицательных зарядов. Тогда поляризованность можно выразить так:

, (123)

где r¢₊ — объемная плотность положительного связанного заряда. Вычислим заряд dq’, прошедший через dS при поляризации:

где объем косого цилиндра выражен в виде скалярного произведения: DV= (l,dS). Внутри исходно нейтрального объема оказался равный прошедшему отрицательный заряд, следовательно, (P,dS) = -dq’. Проинтегрируем это равенство по замкнутой поверхности S:

. (124)

Это — теорема Гаусса для вектора поляризованности Р. Поток вектора Р через любую замкнутую поверхность равен со знаком минус суммарному связанному заряду внутри этой поверхности. Если диэлектрик поляризован однородно и внутри нет свободных зарядов, то сколько зарядов вошло внутрь S столько же и выйдет. Что такое тогда избыточный связанный заряд? Действительно, тогда q’ =0. Покажем это. Подставим в (124) выражение для Р (122) и вынесем константы из-под интеграла:

.

Интеграл в левой части равен по теореме Гаусса для вектора Е суммарному заряду (любой природы) внутри замкнутой поверхности S, деленному на e_o; в данном случае — сумме связанных и свободных зарядов. Если свободных зарядов q нет, то

,

следовательно, нет и связанных зарядов.

Применив теорему Гаусса-Остроградского к левой части (124), получим для любого объема V

откуда следует, что равны и подынтегральные выражения

. (125)

Таким образом, источниками вектора Р являются нескомпенсированные объемные связанные заряды, возникшие вследствие поляризации.

Формулируя теорему Гаусса для вектора Е, мы не конкретизировали природу зарядов. Значит, следует учитывать и связанные, и свободные заряды, а именно

,

где r — объемная плотность всех зарядов, r_своб — только свободных. Подставляя в последнюю формулу выражение для r’ (125), получаем

. (126)

Вектор в скобках называется электрическим смещением или электрической индукцией D

. (127)

Ранее для вакуума мы ввели D=e_oE, которое согласуется с последним определением, так как в вакууме Р=0. Из (126) следует, что

,

т.е. источниками вектора D являются свободные заряды. Подставляя в (127) Р из (122), получим D=e_оE+e_оxE=e_oE(1+x).Величина e =I+x называется диэлектрической проницаемостью вещества. Таким образом, в веществе

D= ee_oE. (128)

Поскольку в вакууме D=e_oE, то диэлектрическая проницаемость e показывает, во сколько раз ослабляется электрическое поле в веществе по сравнению с вакуумом. Следует подчеркнуть, что последнее верно только для изотропного диэлектрика. В общем случае e — тензор и векторы Е и D — не коллинеарны.

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 1531 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ