Уравнения электромагнитного поля и их решения

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0):

Величины и — электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

где — введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Получаем в итоге:

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

и вводя показатель преломления среды

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v — фазовая скорость света в среде:

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Далее, ни у , ни у нет компонент параллельных оси х:

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

а также связь амплитуд колебаний полей:

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:

Это выражение можно записать как

где и — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E₀ вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H₀ и вектора магнитной индукции B₀ в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем :

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время площадка получила от волны энергию . Тогда переданный площадке импульс равен

На площадку действует со стороны волны сила

Давление Р, оказываемое волной, равно

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время попадет энергия из объема и

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Электромагнитное поле — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Электромагнитное поле:

Сильное электромагнитное поле отрицательно действует на человеческий организм — повреждается центральная нервная система, может возникнуть рак головного мозга, уровень гемоглобина в крови понижается, нарушается память и понижается внимание.

Карта электромагнитного поля:

Электрический заряд и электромагнитное поле

При трении тел друг о друга на них возникают электрические заряды. В этом случае говорят, что тело наэлектризовано, оно получило электрический заряд, или оно потеряло электрический заряд.

Электрическое взаимодействие между наэлектризованными телами в зависимости от знаков их зарядов может носить характер притяжения или отталкивания:

• — тела, обладающие зарядами одинакового знака, отталкиваются друг от друга;
• — тела, обладающие зарядами противоположного знака, притягиваются друг к другу.

В природе существуют заряды двух видов: положительный электрический заряд (+) и отрицательный электрический заряд (-). Заряды одинакового знака отталкиваются друг от друга, а заряды разного знака притягиваются друг к другу. Тела, не обладающие избытком электрического заряда, называют электрически нейтральными, или незаряженными телами.

Электрический заряд обозначают буквой q. За единицу измерения электрического заряда в СИ принят 1 кулон, названный так в честь французского ученого Шарля Кулона: [q] = 1 Кл.

Электростатическое поле — вид материи, который создается неподвижными электрическими зарядами.

Напряженность электрического поля — силовая характеристика этого поля. Являясь векторной величиной, напряженность электрического поля направлена так же, как и электрическая сила, действующая на положительный заряд.

Вещества, продолжительное время сохраняющие свои магнитные свойства, называются постоянными магнитами или просто магнитами. Каждый магнит имеет два полюса: северный (N) и южный (S). Одноименные полюсы магнита отталкиваются, разноименные полюсы магнита притягиваются.

Магнитное поле — вид материи, который создается движущимися зарядами.

Индукция магнитного поля (или магнитная индукция) является силовой характеристикой этого поля. Направление вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля совпадает с направлением северного полюса магнитной стрелки, помещенной в эту точку поля.

Было выяснено, что при полете пчела заряжается положительно. А цветы обладают отрицательным зарядом. Поэтому, когда пчела садится на цветок, ее пыльца прилипает к пчеле. Самым интересным является то, что после контакта пчелы с цветком электромагнитное поле растения меняется. Это изменение как будто подает знаки другим пчелам, находящимся в воздухе: «На этом цветке нет пыльцы!».

Электрический заряд

Электрический заряд — это свойство тел и частиц создавать вокруг себя электромагнитное ноле. Электрический заряд принят также количественной мерой измерения этого свойства тел.

Взаимодействие между заряженными частицами называется электромагнитным взаимодействием. Например, когда говорят, что протон несет положительный заряд, а электрон несет отрицательный заряд, то можно с уверенностью говорить о наличии электромагнитного взаимодействия между ними. Между незаряженными (электрически нейтральными) частицами не существует электромагнитного взаимодействия. Поэтому говорят: Электрический заряд определяет интенсивность электромагнитного взаимодействия.

Электрический заряд обладает следующими особенностями:

1. Электрический заряд дискретен (не непрерывен, делим) — электрический заряд любого тела кратен целому числу элементарных зарядов:

Здесь N — число приобретенных или потерянных телом электронов.

Абсолютное значение наименьшего электрического заряда в природе называют элементарным зарядом. Элементарный заряд обозначают буквой е, численное его значение равно абсолютному значению заряда электрона или протона:

Кроме электрона и протона в природе существуют ещё несколько видов элементарных частиц. Однако только электроны и протоны могут существовать в свободном состоянии неограниченно долго. Время жизни остальных заряженных частиц очень мало — миллионные доли секунды. Они образуются в результате столкновений быстрых элементарных частиц, и через ничтожно малое время превращаются в другие частицы.

Дискретность заряда позволяет ему равномерно распределяться по поверхности проводника. Предположим, что заряд равномерно распределился по поверхности площадью S.

Величина, численно равная электрическому заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности, называется поверхностной плотностью электрического заряда ():

Единицей поверхностной плотности электрического заряда в СИ является:

2. Для электрического заряда выполняется закон сохранения — алгебраическая сумма электрических зарядов частиц (или тел) замкнутой системы остается неизменной:

3. Электрический заряд является аддитивной величиной — электрический заряд системы равен алгебраической сумме электрических зарядов частиц (или тел) этой системы.

4. Электрический заряд является инвариантной величиной — электрический заряд частиц (или тел) одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Электромагнитное поле

Раздел физики, в котором изучаются электрические и магнитные явления, проявляющиеся при движении и взаимодействии электрических зарядов, называется электродинамикой.

Электродинамика — раздел физики, изучающий закономерности взаимодействия между электрическими зарядами посредством электромагнитного поля.

Электромагнитное поле — вид материи, осуществляющий взаимодействие между электрически заряженными частицами и телами.

Электрическое и магнитное поля являются особыми формами проявления электромагнитного поля. Поэтому состояние электромагнитного поля в произвольной точке пространства и в любой момент времени характеризуется двумя величинами — напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля Эти величины являются силовыми характеристиками электромагнитного поля и определяют силы, с которыми оно действует на заряженные частицы. Под «определением силовых характеристик электромагнитного поля» имеется в виду определение сил, действующих на внесенный в поле пробный заряд (положительный точечный заряд). Отметим, что действие электромагнитного поля на заряд может быть различным, в зависимости от того, покоится заряд или движется.

Силу, с которой электромагнитное поле действует на заряд, покоящийся в данной инерциальной системе отсчета, называют электрической. Электрическая сила всегда прямо пропорциональна количественному значению заряда, помещенного в данную точку поля:

На электрический заряд, движущийся в данной инерциальной системе отсчета, электромагнитное поле действует, кроме электрической силы, ещё с силой, называемой магнитной силой. Магнитная сила прямо пропорциональна и значению движущегося заряда, и проекции скорости заряда, перпендикулярной вектору магнитной индукции:

Поэтому на электрический заряд, движущийся в электромагнитном поле, действует результирующая сила, равная сумме электрической и магнитной сил. Эту силу называют обобщенной силой Лоренца:

Напряженность электростатического поля

Поле, созданное неподвижными электрическими зарядами, называется электростатическим.

Напряженность электрического поля — векторная физическая величина, равная отношению электрической силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

Единица измерения напряженности электрического поля в СИ:

Электрическая сила равна произведению напряженности электрического поля на величину помещенного в поле заряда:

Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Учитывая кулоновскую силу в формуле напряженности, выясняем, от каких величин зависит напряженность электрического поля.

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом в данной точке, прямо пропорционален величине этого заряда и обратно пропорционален квадрату расстояния до этой точки:

Одной из задач электродинамики является определение силовой характеристики электростатического поля, созданного данным электрическим зарядом. Одним из особых состояний электромагнитного поля является создаваемое неподвижным зарядом электростатическое поле.

Электрическое поле — это электромагнитное поле, в котором относительно данной системы отсчета. Электрическое поле, созданное покоящимися относительно данной системы отсчета электрическими зарядами, называется электростатическим. В дальнейшем для упрощения, называя поле электрическим, будем подразумевать, что это электростатическое поле.

Электрическое иоле может быть однородным и неоднородным.

Однородное электрическое поле — поле, в каждой точке которого численное значение и направление напряженности электрического поля одинаковы. В противном случае поле неоднородное.

Например, поле между двумя параллельными пластинами, одна из которых обладает положительным, а другая таким же но модулю отрицательным зарядом, является однородным (а), а электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, является неоднородным (b).

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным электрическим зарядом в вакууме и в среде. Известно, что при внесении пробного заряда в электрическое поле точечного заряда в вакууме между зарядами возникает кулоновское взаимодействие.

Силы взаимодействия двух точечных электрических зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды (с).

Здесь — коэффициент пропорциональности, равный

Эта постоянная показывает, что два точечных заряда по 1 Кл каждый, находящиеся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой 9•10 9 Н.

Здесь — электрическая постоянная:

Таким образом, на основе закона Кулона можно определить модуль напряженности электрического поля, созданного в вакууме зарядом в любой точке на расстоянии от источника поля:

Напряженность в данной точке электрического поля, созданного точечным зарядом в вакууме, прямо пропорциональна величине этого заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника поля до этой точки.

Если заряд положительный, то вектор напряженности в произвольной точке поля направлен радиально от источника поля (d), а если же заряд отрицательный — вектор напряженности направлен радиально к источнику поля (заряду ).

Для электрических полей выполняется принцип суперпозиции.

Напряженность результирующего электрического поля в данной точке пространства, создаваемого несколькими электрическими зарядами, равна геометрической сумме напряженностей отдельных полей:

На рисунке изображена схема определения напряженности результирующего ноля в точке А, созданного двумя точечными зарядами (е).

В среде (внутри однородного диэлектрика) кулоновская сила взаимодействия зарядов слабее по сравнению с силой их взаимодействия в вакууме в раз:

Здесь — величина, называемая диэлектрической проницаемостью среды и показывающая, во сколько раз кулоновская сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме при неизменном расстоянии между ними:

Напряженность электрического поля в среде меньше, чем в вакууме, в раз:

Значит, диэлектрическая проницаемость среды также является физической величиной, показывающей, во сколько раз напряженность электрического поля, созданного электрическим зарядом в данной точке внутри однородного диэлектрика, меньше, чем в вакууме:

Диэлектрическая проницаемость различных сред различна. Например, для дистиллированной воды =81 (для вакуума = 1).

Работа однородного электрического поля

Энергетическая характеристика электрического поля называется электрическим напряжением или просто напряжением.

Скалярная величина, показывающая, какую работу совершило электрическое поле при перемещении единичного заряда из одной точки поля в другую, называется электрическим напряжением между этими точками поля:

Единицей измерения напряжения в СИ является вольт:

Механическая работа — скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, модуля перемещения тела и косинуса угла между векторами силы и перемещения:

Работа силы тяжести в гравитационном поле Земли:

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела, она зависит от разности уровней начального и конечного положений центра тяжести тела.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории движения тела, называются консервативными. Значит, сила тяжести — консервативная сила.

Это положение позволяет вывести понятие «потенциальной энергии» для системы тел, взаимодействующих с силами гравитационного взаимодействия. Так, выражение mgh в последней формуле является потенциальной энергией взаимодействия Земли и тела, находящегося на высоте h от поверхности Земли:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

Проведенные учеными исследования показали, что Земля обладает отрицательным электрическим зарядом, а слой ионосферы в её атмосфере — положительным зарядом. Слои атмосферы, лежащие между ними, играют роль изолятора.

Работа однородного электрического поля:

Работа однородного электрического поля, в котором положительный пробный заряд под действием постоянной электрической силы совершает перемещение между двумя точками поля, равна (а):

Здесь — угол между силовой линией поля и вектором перемещения заряда.

Так как проекция вектора перемещения на силовую линию равна то работа поля будет равна:

Работа однородного электрического поля при перемещении пробного положительного заряда равна произведению модуля этого заряда на модуль напряженности электрического поля и на проекцию его перемещения на направление силовых линий.

Выражение (1) можно написать и так:

Здесь и — соответственно расстояния от отрицательной пластины до точек 1 и 2. Вследствие пропорциональности работы электрического поля величине пробного заряда отношение не зависит от величины пробного заряда и не зависит от траектории его движения. Это отношение зависит от электрического поля, а также от начального и конечного положений заряда в поле.

Так как работа электрической силы при переносе пробного заряда из одной точки электрического поля в другую не зависит от формы траектории, то электрическая сила является консервативной, а электрическое поле — потенциальным.

Скалярная физическая величина, равная отношению работы электрического поля при переносе электрического заряда из одной точки поля в другую к величине этого заряда, называется разностью потенциалов между этими точками, или напряжением между ними:

Здесь — разность потенциалов. Индексы 1 и 2 указывают на точки

поля, между которыми перемещается заряд. Единицей измерения разности потенциалов в СИ является вольт:

Из выражения (3) можно определить работу поля при перемещении заряда между двумя его точками:

Работа электрического поля при перемещении заряда между двумя его точками равна произведению заряда на разность потенциалов (напряжение) между ними :

Сравнивая (1) и (3), получим формулу, связывающую напряженность и напряжение:

Напряженность электрического поля направлена от точки поля с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

Потенциал электрического поля

Для выражения энергетической характеристики электрического ноля в произвольной точке используется физическая величина, называемая потенциалом. Разность потенциалов между любой точкой электрического поля и точкой, принятой за нулевой потенциал, называют потенциалом поля в этой точке. Обычно вычисление потенциала производится относительно бесконечности.

Потенциал — скалярная величина, численно равная работе поля по перемещению единичного положительного заряда в бесконечность при его отталкивании от положительного заряда q:

Потенциал обозначается символом . Единицей измерения потенциала в СИ

является вольт:

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Так как электрическое поле является потенциальным, то к замкнутой системе заряд-электрическое поле можно применить теорему о потенциальной энергии.

Работа, совершенная в потенциальном поле, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком:

Здесь и — потенциальные энергии заряда в точках 1 и 2 ноля (b).

Сравнив выражения (4) и (7), получим:

Значит, величина, определяемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в данной точке поля к величине заряда, равна потенциалу поля.

Эквипотенциальные поверхности

Поверхность, во всех точках которой потенциал поля принимает одинаковые значения, называется эквипотенциальной. Для точечного заряда эквипотенциальными являются концентрические сферы, центры которых совпадают с местонахождением заряда (с). Для однородного электрического поля — это поверхности, перпендикулярные силовым линиям поля (d).

Конденсатор и электрическая емкость

Конденсатор-устройство, используемое для накопления электрических зарядов. Его название происходит от латинского слова «kondensare», что означает сгущение.

Самый простой конденсатор — плоский конденсатор, состоит из двух близко расположенных параллельных металлических пластин с тонким слоем диэлектрика (например, воздуха) между ними (а). На схемах электрических цепей конденсатор обозначают как .

Пластины конденсатора электризуются равными по модулю зарядами противоположных знаков.

Способность конденсатора накапливать электрический заряд характеризуется физической величиной, называемой электрической ёмкостью.

Для разделения, накопления и передачи большого количества электрического заряда разных знаков используются устройства, называемые электрофорной машиной (b).

Быстро вращаясь, диски электрофорной машины трутся о воздух между ни-ми и электризуются зарядами разного знака. Заряды пластин снимаются с помощью металлических щеток и накапливаются в двух лейденских банках (1), а оттуда передаются на сферические металлические кондукторы (2). В результате на одном из кондукторов накапливается положительный, а на другом — отрицательный заряд.

Известный сербский ученый Никола Тесла (1856-1943) выдвинул идею о том, что система Земля — атмосфера представляет собой гигантский конденсатор, который является источником дешевой электрической энергии. Согласно этой идее, совпадение частоты слабого электромагнитного излучения, посылаемого в ионосферу Земли, с собственной частотой заряженных частиц ионосферы вызовет в ней резонанс. В результате возникнет очень сильное излучение, окружающее Землю. В это время достаточно будет в любой точке поверхности Земли воткнуть длинный металлический стержень, чтобы непрерывно получать из неба бесплатную электрическую энергию. Главной проблемой было построение башни для создания возбуждающих ионосферу импульсов — резонатора. Американский миллиардер Морган принял решение о финансировании постройки этой башни в Лонг-Айленде (США). Однако незадолго до завершения работы он приостановил и отменил этот проект в целях предотвращения возможной экологической катастрофы.

Известно, что простейшим конденсатором является плоский конденсатор, состоящий из двух параллельных пластин. Характеристикой конденсатора является электрическая ёмкость.

Электрическая ёмкость конденсатора (С) — скалярная физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов (напряжению) между его пластинами:

Единицей измерения электрической ёмкости в СИ является фарад (1Ф):

1 фарад — это электрическая емкость конденсатора, когда заряд пластин 1 Кл создает между ними напряжение 1В:

Фарад — очень большая ёмкость, поэтому на практике используются его дольные единицы (микрофарад, нанофарад, пикофарад и др.):

Заряд конденсатора равен модулю заряда одной из пластин конденсатора. Этот заряд прямо пропорционален напряжению на концах источника, подключенного к конденсатору:

Значит, электроёмкость является коэффициентом пропорциональности между зарядом и напряжением и не зависит ни от заряда, ни от напряжения. От чего же зависит электроёмкость?

Электрическая ёмкость плоского конденсатора зависит от площади его пластин, расстояния между пластинами и диэлектрической проницаемости вещества, находящегося между ними:

Здесь S — площадь одной из пластин конденсатора, d — расстояние между пластинами, — диэлектрическая проницаемость вещества, которое находится между его пластинами. Именно диэлектрик, находящийся между пластинами, дает конденсатору возможность длительное время сохранять заряд. Если диэлектриком между пластинами является только воздух ( = 1), то такой конденсатор называется воздушным и его электроёмкость:

Энергия электрического поля конденсатора

Энергия однородного электрического поля между пластинами плоского заряженного конденсатора определяется нижеприведенной формулой:

Примечание. Множитель в выражении (5) указывает на то, что при движении пластин конденсатора в отдельности каждая из них оказывается движущейся в электрическом поле, созданным зарядом другой пластины. Напряженность поля одной пластины в 2 раза меньше напряженности электрического поля между пластинами.

Если учесть здесь выражение (2), то получаются выражения, отражающие зависимость энергии конденсатора от ёмкости и заряда конденсатора:

Если учесть выражение (3) в выражениях (6) и (7), то можно получить следующие выражения для энергии электрического поля плоского конденсатора:

Распределение энергии электрического ноля в пространстве выражается физической величиной, называемой плотностью энергии электрического поля:

Плотность энергии электрического поля — физическая величина, численно равная энергии электрического поля, приходящейся на единицу объёма:

Здесь — плотность энергии электрического поля, единица её измерения в СИ:

Если в последнем выражении учесть формулу (8), выражения то станет очевидным, что плотность энергии электрического поля прямо пропорциональна квадрату напряженности поля:

Примечание. Конденсатор не может служить аккумулятором, длительное время сохраняющим в себе электрическую энергию (из-за утечки заряда). Однако он, в отличие от аккумулятора, способен мгновенно разряжаться в цепи с малым сопротивлением. Это свойство конденсатора широко используется на практике (например, во вспышках фотоаппаратов и лампах мобильных телефонов).

Соединение конденсаторов

Электрическая цепь может состоять из различных элементов: источник тока, потребители (лампа, электрический звонок, электрический нагреватель, телевизор и др.), ключ, соединительные провода. Одной из простейших цепей является последовательное соединение этих элементов.

При последовательном соединении конец каждого проводника соединяется с началом последующего.

При последовательном соединении силы токов одинаковы в любой части цепи:

Общее напряжение цепи при последовательном соединении равно сумме напряжений отдельных участков этой цепи:

Общее сопротивление при последовательном соединении равно сумме сопротивлений отдельных ее участков:

Общее сопротивление цепи, состоящей из n проводников с одинаковым сопротивлением R, в n раз больше сопротивления каждого проводника:

Параллельным называется соединение проводников, при котором начапа всех проводников соединяются в одной точке (например, в точке А), а концы в другой (например, в точке В).

Напряжения на концах параллельно соединенных проводников одинаковы:

При параллельном соединении сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных ветвях цепи:

Величина, обратная общему сопротивлению параллельно соединенных проводников, равна сумме величин, обратных сопротивлению каждого проводника:

Общее сопротивление участка цепи, состоящей из двух параллельно соединенных проводников, равно:

В соответствии с этим общее сопротивление участка цепи, состоящей из n числа параллельно соединенных проводников с одинаковым сопротивлением R, меньше сопротивления каждого из них в n раз:

На практике часто случается, что при выходе из строя бытовых приборов для срочного их ремонта отсутствуют конденсаторы с необходимым номиналом электроёмкости и напряжения. В таких случаях приходится получить необходимый номинал, используя конденсаторы различного номинала. А для этого необходимо знать правила их соединений.

С целью получения различных значений электроёмкости собирают батареи конденсаторов, соединяя их либо последовательно, либо параллельно.

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов отрицательно заряженная пластина первого конденсатора соединена с положительно заряженной пластиной второго и т.д. (с).

Заряды последовательно соединенных конденсаторов одинаковы:

Общее напряжение на концах цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсаторов, равно сумме напряжений отдельных конденсаторов:

Величина, обратная общей электроемкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных значениям электроёмкостей отдельных конденсаторов:

Общая ёмкость цепи, состоящей из последовательно соединенных n конденсаторов одинаковой ёмкости, в n раз меньше ёмкости одного конденсатора:

Напряжение и энергия последовательно соединенных конденсаторов обратно пропорциональны их электрическим ёмкостям:

Параллельное соединение конденсаторов

При параллельном соединении положительно заряженные пластины всех конденсаторов соединяют в одной точке, а отрицательно заряженные пластины в другой точке (d).

Общий заряд параллельно соединенных конденсаторов равен сумме зарядов отдельных конденсаторов:

Напряжения на концах параллельно соединенных конденсаторов одинаковы:

Общая электроёмкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроёмкостей отдельных конденсаторов:

Общая электроёмкость n числа параллельно соединенных одинаковых конденсаторов в n раз больше электроёмкости одного конденсатора:

Электрические заряды и энергии параллельно соединенных конденсаторов прямо пропорциональны их электроёмкостям:

Движение заряженных частиц в магнитном поле

При равномерном движении по окружности линейная скорость материальной точки численно равна отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

При равномерном движении по окружности модуль центростремительного ускорения материальной точки равен отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности:

Сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца:

Если заряженная частица влетает в магнитное поле в направлении, перпендикулярном линиям индукции, то сила Лоренца принимает максимальное значение:

Сила Лоренца перпендикулярна векторам и её направление определяется правилом левой руки.

Правило левой руки для определения направления силы Лоренца

Правило левой руки для определения направления силы Лоренца: левую руку следует расположить в магнитном поле так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительного заряда (против движения отрицательного заряда), тогда отогнутый на 90 о большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца.

Вблизи Северного и Южного полюсов Земли наблюдаются очень красивые природные явления, называемые «полярным сиянием». Причиной возникновения полярного сияния является действие магнитного поля Земли на поток заряженных частиц в атмосфере.

Магнитное поле — это электромагнитное поле, индукция магнитного поля которого относительно данной системы отсчета отлична от нуля напряженность электрического поля которого равна нулю

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца:

Так как направление силы Лоренца перпендикулярно направлению скорости частицы то эта сила не совершает работы: По этой причине сила Лоренца не может изменить модуль скорости и импульса частицы, а также ее кинетическую энергию. Она способна изменить лишь направление движения частицы. Согласно II закону Ньютона, уравнение движения заряженной частицы в неизменном во времени однородном магнитном поле (при условии ) имеет вид:

Если частица влетает в поле в направлении, перпендикулярном силовым линиям поля то на неё действует максимальная сила Лоренца (sin 90° = 1):

В этом случае уравнение движения частицы:

Сообщая телу центростремительное ускорение (так как ), сила Лоренца заставляет его вращаться по окружности радиусом R (b):

Уравнение движения частицы преобразуется:

Из выражения (4) можно выяснить, от каких величин зависит радиус окружности, по которой вращается частица:

Здесь р и Е_к — соответственно модуль импульса и кинетическая энергия частицы.

Радиус окружности, которую описывает заряженная частица в однородном магнитном поле, прямо пропорционален модулю скорости его движения (импульса) и обратно пропорционален модулю вектора магнитной индукции поля.

Период обращения частицы по окружности зависит от массы частицы, величины заряда и модуля индукции магнитного поля:

Кстати:

Прибор, используемый для определения массы частицы, называется «масс-спектрограф». Принцип его работы заключается в следующем: вакуумная камера прибора помещается в однородное магнитное поле (вектор его индукции направлен к нам перпендикулярно плоскости рисунка). Заряженные частицы сначала ускоряются электрическим полем, а затем, отклоняясь магнитным полем, описывают дугу, оставляя след на фотопластинке (с). Радиус кривизны дуги измеряется. Это позволяет точно вычислить массу частицы с известным значением заряда.

Действие магнитного поля на проводник с током

Направление вектора индукции магнитного поля, созданного электрическим током, удобно определять правилом правого буравчика: если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика показывает направление вектора индукции магнитного поля, созданного этим током (1). Направление вектора индукции магнитного поля кругового тока также определяется правилом правого буравчика: если вращать рукоятку буравчика по направлению кругового тока, то направление поступательного движения буравчика покажет направление вектора индукции магнитного поля, созданного током (2).

При помещении проводника с током в однородное магнитное поле модуль действующей на него силы Ампера равен произведению модуля индукции магнитного поля, длины этого проводника, силы тока в нем и синуса угла между направлением тока и вектором магнитной индукции:

Направление силы Ампера определяется правилом левой руки: если расположить левую руку в магнитном поле так, чтобы линии магнитной индукции были направлены в ладонь, а четыре пальца были вытянуты по направлению тока, то отведенный под 90 о большой палец укажет направление силы Ампера.

В начале XIX века один из основоположников математической теории электромагнетизма, немецкий математик и физик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) разработал теорию электромагнитной пушки, называемой «пушкой Гаусса». Принцип её работы основан на взаимодействии катушки с током и железного снаряда (постоянный магнит). На рисунке изображены модель пушки Гаусса и схема принципа его работы (а).

После того, как датский ученый X. Эрстед экспериментально установил существование взаимодействия проводника с током и магнитной стрелки, французский физик А. Ампер выяснил, что два параллельных проводника с током взаимодействуют как два постоянных магнита. Стало известно, что между параллельными проводниками с токами одинакового направления взаимодействие носит характер притяжения, а между проводниками с токами противоположного направления -характер отталкивания. Так как электрический ток является упорядоченным движением заряженных частиц, то магнитное взаимодействие является взаимодействием магнитных полей, созданных движущимися заряженными частицами в пространстве.

Магнитное поле действует с определенной силой на любой проводник с током (пробный ток), помещенный в это поле. Модуль этой силы, называемой силой Ампера, равен произведению силы тока в проводнике, модуля вектора магнитной индукции, длины проводника и синуса угла между направлением тока и вектором индукции магнитного поля:

Известно, что направление силы Ампера определяется правилом левой руки. Если проводник с током перпендикулярен вектору магнитной индукции (sin90°=l), то сила Ампера принимает максимальное значение:

С помощью этой формулы можно выразить физическую суть силовой характеристики магнитного поля — индукции магнитного поля.

Индукция магнитного поля — векторная величина, численно равная максимальной силе, действующей на элемент тока (), помещенный в это поле:

За направление вектора магнитной индукции в данной точке поля принимают направление, которое указывает северный полюс свободной магнитной стрелки, помещенной в эту точку поля (с). Единицей измерения магнитной индукции в СИ является тесла (Тл):

1 тесла — индукция такого магнитного поля, которое на проводник длиной 1 м, расположенный перпендикулярно линиям магнитной индукции, и силой тока 1 А, действует с силой 1 Н.

Магнитное поле, в каждой точке которого числовое значение и направление вектора магнитной индукции одинаковы, называется однородным магнитным полем.

Для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции: вектор индукции результирующего магнитного поля, созданного несколькими проводниками с током, равен геометрической сумме векторов индукции отдельных магнитных полей, созданных этими проводниками:

С целью визуализации магнитного поля его изображают с помощью линий магнитной индукции (силовые линии поля) (d):

Линия индукции магнитного поля — линия, касательная к каждой точке которой совпадает с вектором магнитной индукции в этой точке.

Линии индукции магнитного поля замкнутые, они не имеют ни начала, ни конца.

Поле, силовые линии которого являются замкнутыми, называют вихревым.

Применение силы Ампера в электроизмерительных приборах

Известно, что существуют различные системы электроизмерительных приборов — амперметра, вольтметра и ваттметра. Это магнитоэлектрические, электромагнитные и электродинамические системы. Принцип работы всех этих систем основан на действии магнитного поля на проводник с током.

Принцип работы приборов магнитоэлектрической системы основан на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита с магнитным полем, возникающим вследствие прохождения измеряемого тока через проводящую рамку (е).

Принцип работы прибора электромагнитной системы основан на взаимодействии магнитного поля, возникающего в результате прохождения измеряемого тока через неподвижную катушку, с подвижным стальным сердечником, помещенным в это поле (f).

Принцип действия прибора электродинамической системы основан на взаимодействии магнитных полей токов, протекающих по неподвижной и подвижной катушкам (или системам катушек) (g).

Магнитный поток и явление электромагнитной индукции

После проведения многочисленных опытов М. Фарадей в 1831 году установил, что изменения магнитного поля приводят к возникновению электрического тока в замкнутом проводящем контуре.

Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре, помещенном в изменяющееся магнитное поле, называют электромагнитной индукцией, а возникающий ток — индукционным током.

Возникновение переменного магнитного поля всегда сопровождается созданием в окружающем пространстве вихревого электрического поля.

Вихревое электрическое поле отличается от электростатического:

• a) электростатическое поле создается неподвижным электрическим зарядом, а вихревое электрическое поле создается переменным магнитным полем;
• b) линии напряженности электростатического поля не замкнуты: они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Линии напряженности вихревого электрического поля не имеют ни начала, ни конца — эти линии замкнуты.

В 1833 году русский физик Э. Ленц установил общее правило определения направления индукционного тока, так называемое правило Ленца:

Индукционный ток принимает такое направление, что созданное им магнитное поле противодействует тому изменению внешнего магнитного поля, которое стало причиной возникновения тока.

При усилении внешнего магнитного поля магнитное поле индукционного тока ослабляет это изменение — вектор индукции магнитного поля индукционного тока направлен против вектора индукции внешнего магнитного поля (1).

При ослаблении внешнего магнитного поля магнитное поле индукционного тока препятствует изменению, то есть стремится к тому, чтобы это поле не ослабло. Вектор индукции магнитного поля индукционного тока направлен так же, как и вектор индукции внешнего магнитного поля (2).

Магнитный поток

Если поместить замкнутый контур (рамку) в однородное магнитное поле, то через площадь S, ограниченную этим контуром, проходит определенное количество линий магнитной индукции (с). Величину, прямо пропорциональную числу этих линий индукции, называют потоком магнитной индукции, или просто магнитным потоком.

Поток магнитной индукции (Ф) — скалярная физическая величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции, площади контура и косинуса угла между вектором магнитной индукции и нормалью к площади контура:

Магнитный поток относится к скалярным величинам, которые могут принимать положительные, отрицательные значения, а также равняться нулю:

• — если угол между вектором индукции и нормалью к плоскости контура острый, то магнитный поток принимает положительные значения, а если этот угол тупой — отрицательные;
• — если вектор индукции перпендикулярен плоскости контура, то есть параллелен нормали к плоскости, то тогда магнитный поток, пронизывающий плоскость контура, принимает максимальное значение:

• — если вектор индукции параллелен поверхности, то есть перпендикулярен нормали, то тогда магнитный поток не проходит через плоскость контура, то есть он равен нулю: Значит, линии магнитной индукции не пронизывают поверхность контура.

Единицей измерения магнитного потока в СИ является вебер (1 Вб):

1 Вебер — магнитный поток, пронизывающий поверхность площадью 1 м 2 , ограниченную проводящим контуром, расположенным в магнитном поле с индукцией 1 Тл перпендикулярно линиям индукции поля.

Явление электромагнитной индукции

В 1831 году английский ученый Майкл Фарадей (1791-1867) открыл явление электромагнитной индукции и показал существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полем.

Вы знаете, что при введении в катушку, соединенную с гальванометром, постоянного магнита, и выведении его из катушки в витках катушки возникает индукционный ток. А если магнит неподвижен внутри катушки или совершает вращательное движение внутри катушки, то ток не возникает. Значит, причиной возникновения индукционного тока является изменение магнитного потока, пронизывающего контур (d и е).

Возникновение электрического тока в проводящем контуре в результате изменений магнитного потока, пронизывающего площадь, ограниченную этим контуром, называют явлением электромагнитной индукции.

Направление индукционного тока зависит от того, увеличивается или уменьшается пронизывающий контур магнитный поток.

1. Магнитный поток увеличивается Это случай, когда магнит приближается к контуру. В результате магнитный поток растет, индукционный ток, возникающий в контуре при изменении внешнего поля, создает свое собственное магнитное поле. Это вновь созданное поле отталкивает приближающийся к катушке магнит. Значит, вектор индукции внешнего поля, создавшего ток в контуре, направлен против вектора собственного магнитного поля контура с током (см. d). В этом случае магнит и контур отталкиваются одноименными магнитными полюсами. Для круговых токов можно применять правило правого буравчика и легко определить, как направлен индукционный ток — его направление совпадает с направлением вращения стрелки часов.

Правило правого буравчика для кругового тока

Правило правого буравчика для кругового тока: при вращении рукоятки буравчика по направлению кругового тока направление его поступательного движения совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля внутри кругового тока (f).

2. Магнитный поток уменьшается Это случай, когда магнит выводится из катушки. В результате магнитный поток уменьшается. Возникающий в контуре индукционный ток принимает такое направление, при котором вектор индукции его собственного магнитного ноля направлен так же, как и вектор индукции внешнего магнитного поля . В этом случае магнит и контур притягиваются, как магниты, противоположными полюсами (см. е). На основе правила правого буравчика устанавливается, что индукционный ток направлен против направления вращения стрелки часов.

Итак, возникающий в замкнутом проводящем контуре индукционный ток всегда направлен так, что его собственное магнитное поле препятствует тем изменениям внешнего магнитного поля, которые стали причиной возникновения этого тока.

Это правило Ленца, позволяющее определить направление индукционного тока.

Закон электромагнитном индукции

Упорядоченное движение заряженных частиц называется электрическим током.

Для существования непрерывного электрического тока в проводнике необходимо выполнение следующих условий: наличие в проводнике заряженных частиц (носителей заряда), способных свободно перемещаться по проводнику; действие электрической силы, способной перемещать эти частицы в определенном направлении; проводник (цепь, состоящая из проводников), по которому проходит электрический ток, должен быть замкнутым.

За направление электрического тока условно принято направление вектора напряженности электрического поля внутри проводника.

За направление электрического тока принято направление движения положительных зарядов (против направления движения свободных электронов).

Зависимость силы тока в данном проводнике от напряжения на его концах проводника и от его сопротивления выражается законом Ома для участка цепи постоянного тока.

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на концах этого участка и обратно пропорциональна его сопротивлению:

Индукционный ток, как и любой другой, создается электрическим полем.

Существование переменного магнитного поля всегда сопровождается появлением в окружающем пространстве вихревого электрического поля. Именно вихревое электрическое поле (а не переменное магнитное) действует на свободные электроны в замкнутом контуре и способствует возникновению индукционного тока в нем.

Вихревое электрическое поле существенно отличается от электростатического:

• а) Электростатическое поле создается покоящимися зарядами, а вихревое электрическое переменным магнитным полем;
• b) Линии напряженности электростатического поля не замкнуты: они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Линии напряженности вихревого электрического поля не имеют ни начала, ни конца, они замкнуты как линии индукции магнитного поля.

Одним из современных видов общественного транспорта является поезд на воздушной подушке, движущийся в подвешенном состоянии левитации -без непосредственного контакта с дорогой. Вместо колес шасси этого поезда, называемого МагЛев, оснащено электромагнитной опорой и направляющими магнитами. Железная дорога состоит из проводящего рельса Т-образной формы, оснащенного электромагнитом, создающим мощный индукционный ток. Такой поезд, испытания которого проводились в Японии вблизи города Фудзияма, показал рекордную скорость 603 На рисунке показана упрощенная схема МагЛева (а).

Вихревое электрическое поле и ЭДС индукции

Причиной возникновения индукционного тока в замкнутом проводящем контуре является возникновение вихревого электрического поля вокруг переменного магнитного ноля, которое, действуя на свободные электроны в контуре, приводит их в упорядоченное движение -создает индукционный электрический ток. Работа вихревого электрического поля по перемещению положительного единичного заряда по замкнутому проводнику характеризуется физической величиной, называемой электродвижущей силой индукции (ЭДС индукции).

Электродвижущая сила индукции — скалярная физическая величина, равная отношению работы, совершенной вихревым электрическим полем при перемещении положительного единичного заряда вдоль замкнутого контура, к величине этого заряда:

В проведенном исследовании явления электромагнитной индукции вы определили, что значение возникшего в замкнутом контуре индукционного тока пропорционально скорости изменения магнитного потока, проходящего через поверхность, ограниченную этим контуром. Значит, и электродвижущая сила индукции, создающая индукционный ток в проводящем контуре, зависит от скорости изменения внешнего магнитного потока.

Если за очень малый промежуток времени магнитный поток изменяется на то отношение является скоростью изменения магнитного потока.

Закон электромагнитной индукции

На основе вышесказанного можно выразить закон электромагнитной индукции:

ЭДС индукции, возникающая в замкнутом проводящем контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока, проходящего через ограниченную этим контуром поверхность:

Знак минус в выражении (2) указывает на то, что магнитный поток индукционного тока препятствует изменению внешнего магнитного потока, породившего индукционный ток.

Если контур состоит из N числа витков, го выражение (2) принимает вид:

Здесь — ЭДС индукции, единицей ее измерения является вольт (1 В):

Сила индукционного тока, возникающего в замкнутом проводящем контуре, определяется согласно закону Ома для участка цепи:

Здесь R — сопротивление контура.

ЭДС индукции в движущихся в магнитном поле проводниках. При движении проводника в магнитном поле находящиеся внутри него свободные заряженные частицы движутся вместе с ним. По этой причине на каждую частицу действует сила Лоренца. В результате свободные заряды, перемещаясь внутри проводника, совершают упорядоченное движение — в проводнике возникает ЭДС индукции.

Возникающая ЭДС индукции зависит от скорости проводника, длины части проводника, находящейся в поле, и модуля вектора магнитной индукции. Это легко доказывается на основе закона электромагнитной индукции.

Представим, что проводник длиной переместился в магнитном поле индукцией на в направлении, перпендикулярном вектору индукции (b). ЭДС индукции, возникающая при этом в проводнике:

Здесь принято во внимание, что и (см. b). Если вектор скорости составляет угол с вектором магнитной индукции, то ЭДС индукции определяется так:

Направление индукционного тока в проводнике, движущегося в магнитном иоле, удобно определять правилом правой руки:

Правую руку следует держать в магнитном поле так, чтобы вектор входил в ладонь, а отогнутый на 90° большой палец показывал направление движения проводника, тогда четыре вытянутых пальца укажут направление индукционного тока.

Кстати:

Принцип работы электронных счетчиков потребления, используемых в быту, основан на применении закона электромагнитной индукции. Например, в электронных счетчиках потребления воды в проводящем электрический ток потоке жидкости возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости жидкости. Индукционный ток в электронной части прибора преобразуется в цифровой сигнал.

ЭДС самоиндукции и энергия магнитного поля

Инертность — одно из важнейших свойств тела (происходит от латинского слова «inertia» — бездеятельность, ленивость).

Инертность — это свойство тел, выражающееся в том, что на изменение скорости тела всегда требуется определенное время. Явление сохранения телом состояния покоя или прямолинейного равномерного движения при отсутствии действия на тело других тел (когда действующие на тело силы уравновешивают друг друга) называется инерцией.

Мера инертности тела — его масса.

Энергия, которой обладает тело вследствие своего движения, называется кинетической энергией. Кинетическая энергия тела зависит от массы тела и модуля его скорости (не от направления):

Так как магнитные свойства разных веществ различны, то индукция магнитного поля, созданного в них одним и тем же источником поля, будет различна. Магнитные свойства веществ характеризуются величиной, называемой магнитной проницаемостью вещества.

Магнитная проницаемость вещества показывает, во сколько раз модуль индукции однородного магнитного поля В в веществе отличается от индукции этого магнитного поля в вакууме В_о:

Здесь (мю) — магнитная проницаемость вещества. Это безразмерная величина.

Прохождение электрического тока через газ при отсутствии внешнего воздействия называется самостоятельным разрядом. Одним из видов самостоятельного газового разряда является искровой разряд.

Искровой разряд возникает в воздухе при высоком напряжении между электродами и наблюдается в виде светящихся узких каналов зигзагообразной формы. Температура в канале разряда может достигать 10 ООО °С, сила тока до 5000 А, напряжение до 10 4 В.

Кстати:

Наверно, каждый из вас наблюдал появление кратковременной искры при вынимании вилки прибора в рабочем режиме из электрической розетки. Это значит, что в воздухе между вилкой прибора и электрической розеткой возник самостоятельный разряд с напряжением несколько тысяч вольт. Такая искра иногда приводит к выводу из строя вилки или розетки.

ЭДС самоиндукции

Электрический ток, существующий в любом замкнутом контуре, создает собственное магнитное поле (находится в собственном магнитном поле). При изменении силы тока в контуре одновременно происходит изменение магнитного потока, создаваемого этим током. Изменение магнитного потока приводит к возникновению вихревого электрического поля, и в результате в этом контуре возникает ЭДС индукции.

Явление возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре в результате изменения силы тока в нем называют самоиндукцией.

При увеличении силы тока в замкнутом контуре от нуля до определенного значения увеличивается и проходящий через этот контур магнитный поток. Возникающая в контуре в результате увеличения магнитного потока ЭДС самоиндукции создает индукционный ток, направленный против проходящего по контуру основного тока — индукционный ток замедляет рост основного тока и достижение им максимального значения — на увеличение силы тока до максимального значения уходит определенное время (кривая OA, b).

При размыкании цепи сила тока уменьшается от максимального значения до нуля, вместе с этим уменьшается магнитный поток. Уменьшение магнитного потока приводит к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции, которая в свою очередь создает в этом контуре индукционный ток, направленный, согласно правилу Ленца, так же, как и основной ток, и замедляющий его уменьшение (кривая ВС, b).

Из вышесказанного становится ясно, что возникающий в контуре собственный магнитный поток прямо пропорционален силе проходящего через контур тока — или:

Здесь L является коэффициентом пропорциональности (между и ) и называется индуктивностью контура (катушки).

Индуктивность зависит от геометрических размеров контура (катушки), от магнитной проницаемости среды внутри него, от числа витков. Она не зависит от силы тока в контуре и магнитного потока.

Индуктивность — скалярная величина, единица ее измерения в СИ названа генри (1 Гн), в честь американского ученого Джозефа Генри:

1 Гн — индуктивность такого контура (катушки), в которой при силе тока 1 А через контур проходит собственный магнитный поток 1 Вб.

Если учесть выражение (1) в законе электромагнитной индукции, то получим, что ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока, проходящего через контур:

Здесь — ЭДС самоиндукции, — скорость изменения силы тока в контуре.

Энергия магнитного поля

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершенная при создании ЭДС индукции, будет равна энергии магнитного поля, создавшего его. Для определения этой энергии удобно воспользоваться схожестью явления самоиндукции с явлением инерции. Так, индуктивность L играет такую же роль при изменениях силы тока в электромагнитных процессах, какую играет масса — при изменениях скорости в механических процессах. Тогда для энергии магнитного поля, создаваемого контуром в электромагнитных явлениях, можно принять выражение, аналогичное выражению кинетической энергии тела в механических явлениях:

Если в этом выражении учесть формулу (1), получим ещё две формулы для энергии магнитного поля:

Из теоретических вычислений получено, что плотность энергии магнитного поля прямо пропорциональна квадрату магнитной индукции и обратно пропорциональна магнитным свойствам среды:

Здесь — магнитная постоянная:

• Опыты Фарадея в физике
• Электромагниты и их применение в физике
• Колебательный контур в физике
• Исследовательские методы в физике
• Свободные и вынужденные колебания в физике
• Вынужденные электромагнитные колебания
• Резонанс в физике
• Распространение механических волн в средах

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнения электромагнитного поля и их решения

Уравнения Джеймса Максвелла (1873 г) описывают любые электромагнитные поля. Но этим их значение не исчерпывается.

Они были одной из отправных точек при создании общей теории относительности Альберта Эйнштейна (отчасти от них попала в формулы теории относительности скорость света). Эйнштейн писал: «Со времени обоснования теоретической физики Ньютоном наибольшее изменение в ее теоретических основах, другими словами, в нашем представлении о структуре реальности, было достигнуто благодаря исследованиям электромагнитных явлений Фарадеем и Максвеллом».

Из-за уравнений Максвелла были открыты радиоволны. Да, именно так: Максвелл создал систему своих уравнений до обнаружения радиоволн. Немало физиков того времени выступили против теории Максвелла (много было недовольных током смещения). Герман фон Гельмгольц придумал свою теорию и поручил экспериментально проверить её своему ученику Генриху Герцу (вообще-то его звали Хайнрих Хертц, но в русскую транскрипцию попало и устоялось неправильное прочтение). Но опыты Герца показали, что Максвелл прав. И Герц вошел в историю как первооткрыватель радиоволн.

Уравнения Максвелла вошли и в квантовую механику, положив начало квантовой электродинамике.

До сих пор нет ни одного факта, ставящего под сомнение уравнения Максвелла. Причем, не только в мире привычных для нас размеров и скоростей, но и в квантовой механике и в теории относительности. Это очень важно. Ведь не секрет, что квантовая механика и теория относительности плохо стыкуются друг с другом. И физики современности прилагают большие усилия, чтобы свести их воедино в общую теорию (теории струн, суперсимметрии, суперструн и т.д.), но пока это не очень получается. А уравнения Максвелла работают и в квантовом микромире и в теории относительности, связывая наши представления о мире.

Казалось бы, при такой значимости понимать уравнения Максвелла должен любой человек, считающий себя образованным. Во всяком случае, тот, кто как-то связан с электромагнитными полями. Но, к сожалению, уравнения Максвелла даже среди профессионалов мало кто знает, а понимает еще меньше.

Почему-то многие при виде уравнений Максвелла впадают в благоговейный ступор, полагая, что без знания высшей математики там делать нечего. Это не так. Для понимания физической сути уравнений Максвелла хватит школьного образования.

Такое понимание необходимо, если вы хотите что-то (например, антенну) придумать или понять сами. Или не хотите быть обманутым очередным «гениальным изобретателем-ниспровергателем» (а таковых в последнее время, увы, развелось немало).

Уравнения и история

1. Первое уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса (да, того самого Карла Гаусса, чьё имя носит колоколообразное распределение случайных величин; в те времена можно было быть и выдающимся математиком и выдающимся физиком одновременно) для электрических полей. Максвелл записал его в дифференциальной форме. В современной записи оно выглядит так (не пугайтесь математики, и не бросайте чтение хотя бы еще несколько абзацев) :

E – векторное электрическое поле (здесь и далее жирным шрифтом выделены векторные величины, а курсивом — скалярные);

∇· – значок оператора дивергенции (потока);

ε_o = 8,85418782. •10 -12 Ф/м – диэлектрическая постоянная вакуума, измеряется экспериментально по силе притяжения между зарядами.

Первое уравнение говорит об очевидной вещи…

Но перед тем как ее озвучить, давайте разберемся, что такое дивергенция векторной величины. Вы видели водопроводный кран? Ну, тогда вы хорошо знаете, что такое дивергенция. В переводе с латинского это извержение наружу. Иначе говоря, поток. Для водопроводного крана это поток вытекающей воды, который тем больше, чем больше диаметр трубы и напор воды в ней. Если дивергенция больше нуля, то точка является источником, если меньше – стоком. Теперь вы знаете половину нужной векторной математики.

…Но вернемся к первому уравнению Максвелла (оно же – закон Гаусса). Оно говорит том, что поток электрического поля Е через любую замкнутую поверхность зависит от суммарного электрического заряда внутри этой поверхности. Иначе говоря, если из замкнутого бассейна вытекает воды больше, чем в него втекает (то есть суммарный поток из бассейна получается больше нуля), то ясно, что внутри бассейна прячется труба – источник этой самой воды (иначе бы она быстро кончилась).

С электрическим полем то же самое: если есть электрический заряд (труба-источник воды в бассейне), то поле от него будет вытекать наружу во все стороны (вода будет выливаться через края).

3. Третье (нарушим порядок следования для удобства понимания) уравнение Максвелла – это тоже закон Гаусса, записанный в дифференциальной форме. Но для магнитных полей:

B – векторное магнитное поле.

Это уравнение говорит о том, что поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Или, иначе говоря, что одиночных магнитных зарядов в природе не существует. Вот электрически отрицательный электрон и положительный электрически протон есть и могут успешно существовать отдельно друг от друга. А полюса магнита отдельными не бывают. Только вместе. Один такой полюс толкает вперед, другой – тянет назад.

В примере с бассейном это две трубы, разнесенные на какое-то расстояние: сколько по одной втекает, столько по другой и вытекает. Движение воды по кругу у нас есть. Но суммарный поток равен нулю: сколько пришло, столько и ушло. Наружу ничего не вытекает. Точно также как и в потоке магнитного поля через замкнутую поверхность.

2. Второе уравнение Максвелла это закон Фарадея (на всех конденсаторах написано имя Майкла Фарадея) впервые в дифференциальной форме записан Максвеллом в качестве его третьего уравнения:

∇× – значок оператора ротора (вихря);

∂B/∂t – частная производная (изменение) B по времени. Частная в том смысле, что магнитное поле вообще меняется и в пространстве и во времени, но тут нас интересует только его изменение во времени.

Это уравнение говорит, что ротор (интеграл по замкнутому контуру) электрического поля Е равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) магнитного поля В сквозь этот контур.

… Тут надо остановиться и разобраться, что такое ротор векторного поля. Вы наблюдали, как вода уходит из ванной в сливное отверстие? Тогда вы этот самый ротор видели: крутящаяся воронка воды вокруг открытой пробки и есть ротор. Точнее говоря, не сама воронка, а сумма (еще точнее –интеграл: ведь любой интеграл это сумма чего-то) векторов угловых скоростей, частиц воды, крутящихся по замкнутому контуру вокруг отверстия пробки. Всё, теперь вы знаете векторную математику на уровне, достаточном для полного понимания Максвелла…

Но вернемся со второму уравнению Максвелла. Там то же самое, что и в ванне: чем больше и чем быстрее изменяется магнитное поле внутри контура (чем сильнее сосёт воду сливное отверстие), тем сильнее раскручивается вихревое электрическое поле (стекающая вода) вокруг этого контура (отверстия).

На законе Фарадея (т.е. на втором уравнении Максвелла) работают все генераторы электричества: механически вращающийся магнит создает изменяющееся магнитное поле внутри катушки, с которой снимается индуцированный электрический ток.

4. Четвертое уравнение Максвелла. Сначала Максвелл взял закон Андре Ампера (которого он называл «Ньютоном электричества», а мы вспоминаем при каждом измерении тока), связывающий постоянный ток и магнитное поле вокруг него:

с – скорость света (на самом деле мы тут забегаем вперед, говоря, что это скорость света. Ни Ампер, ни Максвелл, когда писали свои уравнения этого еще не знали, и называли с 2 «электромагнитной постоянной»).

Этот закон говорит, что ротор магнитного поля (интеграл от B по замкнутому контуру) равен току, текущему сквозь этот контур. Ну не прямо равен, а с коэффициентом 1/ε_oc 2 . Иногда этот коэффициент обозначают как μ_o и называют магнитной постоянной вакуума. Но это делают только для упрощения записи: μ_o = 1/ε_oc 2 .

Проще говоря, закон Ампера говорит, что вокруг провода с током возникает кольцевое (ротор же) магнитное поле (школьный опыт с компасом и проводником с током помните?)

Итак, Максвелл собрал все известные на тот момент законы электричества и магнетизма и записал их в виде дифференциальных уравнений.

…Историческое отступление. Максвелл не использовал векторных обозначений и записывал свои уравнения в громоздком компонентном (по трем осям) виде (поэтому у него получилась система из 20-ти скалярных уравнений и с 20-ю же неизвестными). Понятия и символы дивергенции и ротора тогда еще не были придуманы. Кстати, в основном благодаря Максвеллу, стала очевидной важность создания таких комбинаций производных, которые мы сегодня называем ротором и дивергенцией. Эту работу проделали Оливер Хевисайд (который первый применил комплексные числа для анализа электрических цепей), Хайнрих Хертц (ну ладно, пусть он будет Генрих Герц, хотя Хайнрих бы не понял, что это его имя) и Джозайя Гиббс (один из создателей векторного анализа). Они переписали систему уравнений Максвелла в современном виде, упростив ее до 4-х векторных уравнений (против 20-ти скалярных у Максвелла). То есть Максвеллу было намного труднее управляться и анализировать написанные им уравнения. Но он справился…

Первые три (будем считать по современной векторной форме записи, хотя у Максвелла это было не 3, а 15) уравнения (два закона Гаусса и один Фарадея) проблем не обнаружили и были оставлены Максвеллом без изменений (он только переписал их в дифференциальном виде).

А вот в законе Ампера Максвелл заметил странность (и с этого момента начался его путь к современной электродинамике).

Дело в том, что если от закона Ампера взять дивергенцию от обеих частей уравнения, то левая его часть обратится в ноль (математически говоря, дивергенция ротора всегда равна нулю; а если на пальцах: ротор крутится, но наружу из него ничего не вытекает, поэтому поток-дивергенция у ротора отсутствует). Тогда из математики получается, что и правая часть уравнения обязана быть нулевой. А в правой части получается дивергенция (поток) тока, т.е. полный ток через замкнутую поверхность. Но физически очевидно, что такой ток вовсе не обязан быть равным нулю. Ведь ток – это движение зарядов, а они вполне двигаются из одного места в другое.

Получается нестыковка: физика говорит, что ток есть (вставьте внутрь поверхности любой переменный источник зарядов и ток точно будет), а математика говорит, что его быть не может. Следовательно, виновата математика.

Значит, что закон Ампера верен для статичного поля, но не выполняется для изменяющихся полей (операция дивергенции-потока, которую мы вслед за Максвеллом неудачно попытались провести над законом Ампера и есть изменение во времени).

Максвелл заметил это несоответствие, и чтобы избежать его предложил в закон Ампера добавить к току дополнительный член (1/c 2 )·∂E/∂t. Получилось четвертое уравнение Максвелла, называемое теоремой о циркуляции магнитного поля:

Это уравнение отличается от закона Ампера только добавкой (1/c 2 )·∂E/∂t. Добавка эта сделана к току. Следовательно, она описывает какой-то ток. Максвелл назвал его током смещения.

Четвертое уравнение Максвелла говорит о том, что вихревое магнитное поле может быть порождено как током в проводнике, так и изменением электрического поля. Причем, в смысле порождения магнитного поля ток в проводнике ничем не отличается от изменения электрического поля Е в диэлектрике. Поэтому изменение Е во времени называют током смещения.

Ток смещения (добавка Максвелла в 4-е уравнение) бывает только в диэлектрике (просто потому, что в хорошем проводнике электрическое поле отсутствует, а значит и меняться не может). А ток проводимости (правая часть закона Ампера) – только в проводнике (в диэлектрике отсутствуют заряды, способные двигаться, а движение зарядов — это и есть ток проводимости).

Допустим, мы длинными прямыми проводами подключили к генератору переменного тока простейший воздушный конденсатор, состоящий из двух пластин. Понятно, в цепи потечет какой-то ток. Возьмем маленький индикатор переменного магнитного поля и поведем его вдоль провода. Индикатор покажет некую величину магнитного поля: ток проводимости ведь по проводу течет, значит, он обязан создавать вокруг себя магнитное поле.

А теперь, продолжая вести индикатор вдоль проводов, передвинем его дальше, так чтобы он оказался бы напротив, конденсатора (сбоку от пластин). Что покажет индикатор? Ноль (ведь тока проводимости между обкладками конденсатора нет)? Это было бы нелогично: одинаковое магнитное поле вдоль провода, потом вдруг полный ноль между обкладками, а потом (когда пойдем индикатором вдоль второго провода) – снова поле. Интуитивно ясно, что магнитное поле вдоль всей цепи должно быть одинаковым (считая размеры конструкции малыми, чтобы пренебречь излучением).

Так и есть на практике. Но магнитное поле около конденсатора создает не ток, а меняющее по времени электрическое поле между его обкладками, которое Максвелл назвал током смещения.

Именно это и описывает дополнительный член в 4-м уравнении Максвелла. А его величина выбрана так, чтобы в ситуации данного примера магнитное поле везде (и около провода, около конденсатора) получалось бы одинаковым.

Следствия из уравнений Максвелла

Может сложиться впечатление, что добавка (1/c 2 )·∂E/∂t в четвертое уравнение Максвелла – это лишь небольшая математическая коррекция закона Ампера, чтобы на переменных полях из уравнения получать то, что имеем из физики.

Да, пока мы рассматриваем только одно четвертое уравнение, ничего особенно интересного не появляется (кроме того факта, что переменное электрическое поле порождает вокруг себя магнитное поле точно так же, как и электрический ток в проводе).

Но если рассмотреть всю систему уравнений Максвелла целиком, то оказывается, что эта небольшая добавка в 4-е уравнение приносит много важного.

1. Из совместного изучения второго и четвертого уравнений (точнее, добавки к 4-му уравнению) Максвелла следует, что электромагнитное поле сохраняет само себя и не может исчезнуть.

Допустим, мы имеем магнитное поле, а затем выключаем его. То есть, меняем его скачком. По закону Фарадея за счет изменения магнитного поля вокруг него (то есть чуть дальше) появляется электрическое поле. Причем тоже изменяющееся (т.к. его прародитель – магнитное поле было изменяющимся). По добавке Максвелла в 4-е уравнение это электрическое поле создаст вокруг себя (то есть еще дальше от исходного) новое магнитное поле (также изменяющееся). И так до бесконечности: магнитное и электрическое поле, перекачиваясь одно в другое, распространяются в пространстве до бесконечности. Узнали в этом описании радиоволну?

2. Из системы уравнений Максвелла вытекает, что распространяющееся в пространстве электромагнитное поле может делать это только со скоростью света с (давайте я опущу математический вывод этого факта, а то читатель еще наверное не пришел в себя от роторов и дивергенций).

Этот факт произвел революцию в физике. Ведь когда Максвелл писал свои уравнения, еще не было известно, что коэффициент с – это скорость света (мы её сразу назвали так, потому что знали ответ, но Максвелл-то его вначале не знал). Тогда это была просто некая константа. Точнее говоря, «электромагнитной константой» называли величину с 2 , получая её из экспериментов со светом никак не связанных.

… Отступление о том, как измеряли эту самую «электромагнитную константу». Измеряя силу притяжения между двумя единичными (причём, неважно, что считать единицей, их величина потом сокращается в дроби) зарядами можно экспериментально получить электрическую постоянную вакуума ε_o = 8,85418782. •10 -12 Ф/м. Магнитную постоянную вакуума μ_o = 1/ε_oc 2 из закона Ампера можно экспериментально определить, измеряя силы притяжения между двумя единичными токами (движение тех же единичных зарядов). Она равна μ_o = 1,25663706. •10 -6 Гн/м. Взяв обратную величину от произведения этих величин, получим c 2 = 1/ε_oμ_o «электромагнитную постоянную».

Таким образом, прямо из экспериментов с зарядами и токами нашли значение константы c 2 . А из уравнений Максвелла оказалось, что электромагнитное поле обязано распространяться со скоростью c. Когда Максвелл впервые проделал это вычисление по своим уравнениям, оказалось что полученная цифра (

3·10 8 м/с) очень близка к скорости света (эту скорость астрономы измерили до Максвелла по запаздыванию затмений спутников Юпитера).

Максвелл отметил это совпадение: «Мы едва ли можем избежать заключения, что свет это волнообразное движение той же самой среды, которая вызывает электрические и магнитные явления». Это революционное обобщение. До Максвелла свет рассматривался как область физики, совершенно отдельная от электричества и магнетизма. После Максвелла свет стал электромагнитными колебаниями и появились электромагнитные волны.

. Отступление о цифрах. Взяв квадратный корень из 1/ε_oμ_o получим точную скорость света c = 2,99792458·10 8 м/с. Кстати, это абсолютно точное значение. В отличие от других физических констант, которые имеют бесконечный хвост цифр за запятой, скорость света равна точно 299 792 458 м/с. Фокус тут не в какой-то сверхъестественной точности измерений, а том, что с 1983 года 1 метр в международной системе единиц (СИ) определён, как расстояние, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1/299792458 секунды. То есть человечество подогнало свой метр под физическую константу c.

Квадратный корень из отношения μ_o/ε_o дает волновое сопротивление вакуума W = 376,730031 Ом. Возникает большой соблазн записать эту цифру как 120π, но увы это не точно: 120π = 376,991184. Так что число π (которое имеет бесконечное число цифр после запятой) не связано напрямую с электромагнетизмом.

Решения уравнений Максвелла

Решать мы их не будем. Это сложно. Тем более что решения зависят от начальных и граничных условий (расположения в пространстве токов и зарядов, поверхностей). Поэтому решать уравнения Максвелла надо заново для каждой задачи (например, расчета конкретной антенны в заданном окружении). И занимаются этим, в основном моделирующие компьютерные программы.

Здесь мы рассмотрим только готовое решение для электромагнитной волны в свободном пространстве.

Из этого решения вытекает положение векторов электрического и магнитного поля относительно направления движения электромагнитной волны:

• В перпендикулярно направлению распространения.
• E также перпендикулярно направлению распространения.
• В и Е перпендикулярны между собой.

В нашем трехмерном мире это возможно, только если B, Е и направление движения волны расположены по трем координатным осям. На следующей анимации показана электромагнитная волна в свободном пространстве:

Являющееся решением системы уравнений Максвелла трехмерное волновое уравнение по E для свободного пространства выглядит так:

Это очень интересное уравнение.

Во-первых, в нём явно видна равнозначность между пространственными координатами и временем: x, y, z и t стоят в одном ряду и в одном и том же виде (множитель c 2 перед временем говорит лишь о том, что у координат и времени разная размерность и этот множитель лишь приводит ее к одной: скорость умножить на время получаются метры). И эта идентичность расположения x, y, z и t говорит о том, что для электромагнитной волны наш мир четырехмерен, время является точно такой же полноправной координатой, как и x, y, z.

Во-вторых, в трехмерном волновом уравнении x, y, z и t стоят в квадрате. Что говорит от четырехмерной симметрии нашего мира (квадрат величины не зависит от ее знака: плюс или минус). Поэтому знаки координат x, y, z, и знак времени t можно менять на противоположные без изменения уравнения.

Решением этого трехмерного волнового уравнения является любая функция (волна), движущаяся в пространстве со скоростью c. Но из-за того, что в этом уравнении c встречается только в виде квадрата, изменение знака скорости c на противоположный ничего не меняет. Поэтому общим математическим решением волнового уравнения является сумма (наложение) двух волн со скоростью света одновременно бегущих в противоположные стороны.

И тут мы делаем следующий шаг: утверждаем (без математического доказательства, просто из опыта), что электромагнитные волны, создаваемые источником, всегда бегут только от него. Согласитесь, с точки зрения здравого смысла было бы очень странно, если бы еще до включения источника некая волна зародилась где-то очень далеко и успела бы прибыть к источнику именно в тот момент, когда мы надумали его включить. Решение уравнений Максвелла дает обеим волнам равные права. И мы сами на опыте устанавливаем добавочное (отсутствующее в уравнениях Максвелла) правило, что физический смысл имеет только одна из этих волн. Та, которая уходит от источника.

Из-за этого добавочного правила мы теряем симметрию по времени, которая есть в уравнениях Максвелла.

Кстати говоря, математиками внимательно исследовалась такая электродинамика, которая обходится без этого дополнительного правила и имеет две волны. Как ни странно, результаты таких исследований во многих случаях не являются физически абсурдными (а иногда они имеют явный физический смысл, например, прямая и обратная волна в длинных линиях). Но в физическую гипотезу такая электродинамика так и не превратилась, оставшись математическим экспериментом. Хотя возможность обратного движения по времени (т.е. его симметрии) так привлекательна, но… Так что мы пользуемся электродинамикой, в которой пространство симметрично, а время – нет (то есть волны всегда уходят от источника).

Компьютерные программы моделирования электромагнитных полей

Если источник точечный (бесконечно малый), то понятно, что волны, расходящиеся от него, в свободном пространстве будут сферическими. То есть одинаковыми по всем трем пространственным координатам. В таких условиях решение трехмерного волнового уравнения получается довольно простым: поле убывает обратно пропорционально расстоянию.

Но точечных источников не бывает. Реально они все протяженные. Как быть? Это просто: представим протяженный источник как сумму большого числа точечных источников (а для каждого из них мы поле считать уже умеем). А потом просуммируем все поля от всех точечных источников. Точнее проинтегрируем (интеграл это ведь сумма) по всему объему.

Получим два интегральных уравнения: интегральное уравнение электрического поля: electric-field integral equation (EFIE) и интегральное уравнение магнитного поля magnetic Field Integral Equation (MFIE).

Исходными данными для этих уравнений является геометрия рассчитываемого источника поля (антенны, например) и распределение токов в пространстве.

Два свойства EFIE делают его незаменимым для расчета антенн:

EFIE позволяет решать задачи излучения и рассеяния в неограниченной области (граница которой находится в бесконечности). Иными словами: можно рассчитывать излучающую антенну (ее поле и уходит в бесконечность).

EFIE может быть решено численными методами, в частности, методом моментов.

Для расчета полей в ограниченной области (например резонатор, волновод, и т.п.) лучше подходит MFIE.

Компьютерные программы моделирования антенн (например, MMANA-GAL, GAL-ANA) работают, решая уравнение электрического поля EFIE для каждой конкретной антенны.

Заключение

Вот система уравнений Максвелла во всей красе:

Она описывает абсолютно все электромагнитные явления. И вы ее теперь понимаете (во всяком случае, я на это надеюсь).