Уравнения электромагнитного поля в потенциалах

В. В. Мултановский. Курс теоретической физики

М. : Просвещение, 1990, 272 с.

Учение об электромагнитном поле в вакууме

Глава I. Основные понятия и принципы электродинамики

§ 1. Электрический заряд и электромагнитное поле
1.1. Заряд. Плотность заряда и плотность тока. 1.2. Закон сохранения заряда. 1.3. Электромагнитное поле. Напряженность электрического поля. Индукция магнитного поля.

§ 2. Система уравнений Максвелла — основа электродинамики
2.1. Уравнение Максвелла для системы зарядов в вакууме. 2.2. Интегральная форма уравнений Максвелла. Графическое изображение полей. 2.3. Связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнитных явлений. 2.4. Принцип суперпозиции полей. 2.5. Задачи электродинамики. 2.6. Уравнения Максвелла-Лоренца. Принцип причинности в электродинамике.

§ 3. Энергия и импульс электромагнитного поля
3.1. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов. 3.2. Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Закон изменения энергии. 3.3. Закон сохранения энергии для изолированной системы поле-заряды. 3.4. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса

§ 4. Уравнения для потенциалов электромагнитного поля
4.1. Потенциалы электромагнитного поля. 4.2. Уравнения электромагнитного поля в потенциалах. 4.3. Понятие об общем решении уравнений поля в потенциалах

§ 5. Решения уравнений поля
5.1. Свободное электромагнитное поле. Плоские волны. 5.2. Гармонические составляющие свободного поля. 5.3. Сферические волны. 5.4. Потенциалы поля стационарной системы движущихся зарядов. 5.5. Запаздывающие потенциалы. 5.6. Характерные особенности и итоги общей задачи о расчете полей

Глава II. Стационарное электромагнитное поле

§ 6. Стационарное электрическое поле в вакууме
6.1. Особенности стационарных полей. 6.2. Уравнения стационарного электрического поля в потенциалах. 6.3. Электростатическое поле и закон Кулона. 6.4. Электростатическое поле системы зарядов на большом удалении. Дипольный момент системы

§ 7. Работа и энергия электростатического поля. Сила действующая на жесткую систему зарядов
7.1. Система зарядов во внешнем электростатическом поле. Работа и потенциальная энергия. 7.2. Силы, действующие на жесткую систему зарядов во внешнем поле. 7.3. Энергия взаимодействия зарядов и энергия электростатического поля

§ 8. Магнитостатическое поле в вакууме
8.1. Уравнения магнитостатического поля в потенциалах. 8.2. Векторный потенциал и индукция магнитостатического поля. 8.3. Магнитное поле в дипольном приближении. 8.4. Энергия системы движущихся зарядов во внешнем магнитном поле. Сила, действующая на систему. 8.5. Энергия магнитостатического поля

Глава III. Электромагнитные волны и излучение электромагнитных волн

§ 9. Плоские электромагнитные волны
9.1. Уравнение Максвелла и образование электромагнитных волн. 9.2. Векторы напряженности и индукции плоской электромагнитной волны. 9.3. Гармонические составляющие свободного поля. 9.4. Поляризация электромагнитных волн

§ 10. Излучение электромагнитных волн
10.1. Потенциалы электромагнитного поля вдали от системы зарядов. 10.2. Электрическое дипольное излучение. 10.3. Магнитное дипольное излучение. 10.4*. Понятие о волновой и квазистатической зонах. 10.5*. Спектральное разложение излучения

§ 11. Рассеяние электромагнитных волн свободным зарядом
11.1. Постановка вопроса о движении заряда в электромагнитном поле. 11.1. Рассеяние электромагнитных волн свободным зарядом

Глава IV. Релятивистская формулировка электродинамики

§ 12. Релятивистская ковариантность уравнений электродинамики
12.1. Четырехмерный вектор плотности тока. Четырехмерная форма закона сохранения заряда. 12.2. Ковариантность уравнений электромагнитного поля в потенциалах

§ 13. Тензор электромагнитного поля. Преобразование векторов напряженности и индукции электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы к другой
13.1. Тензор электромагнитного поля. 13.2. Преобразование векторов поля Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Инварианты поля. 13.3. Эффект Доплера для электромагнитных волн

Электромагнитное поле и процессы в веществе

Глава V. Основные понятия и уравнения электромагнитного поля в веществе

§ 14. Усреднение уравнений микроскопического поля в веществе
14.1. Свободные и связанные заряды. 14.2. Усредненные уравнения поля для системы свободных и связанных зарядов. 14.3. Уравнения Максвелла—Лоренца для микроскопического поля в электронной теории. 14.4. Макроскопическое усреднение уравнений Максвелла—Лоренца

§ 15. Уравнения Максвелла для поля в веществе
15.1. Поляризация вещества в электрическом поле. 15.2. Намагничивание вещества. 15.3. Уравнения Максвелла для поля в веществе. Напряженность магнитного и индукция электрического полей. 15.4. Магнитная и электрическая проницаемости вещества. Материальные уравнения

§ 16. Характерные особенности полей в веществе
16.1. Уравнения поля в потенциалах. 16.2. Граничные условия. 16.3. Энергия и импульс поля в веществе

Глава VI. Элементы электростатики

§ 17. Электростатика диэлектриков
17.1. Электростатическое поле в однородном диэлектрике. 17.2. Электростатическое поле при наличии границ раздела в среде и разрывов непрерывности плотности зарядов

§ 18. Проводники в электростатическом поле
18.1. Уединенный проводник. Электроемкость. 18.2*. Система проводников. 18.3. Энергия электростатического поля как энергия взаимодействия системы тел. 18.4. Силы, действующие на тела в электростатическом поле

Глава VII. Постоянный электрический ток. Магнитное поле тока

§ 19. Уравнения Максвелла и законы постоянного тока
19.1. Структура электрического поля постоянного тока. 19.2. Стороннее поле и закон Ома в дифференциальной форме. 19.3. Поле замкнутой цепи с постоянным током. 19.4. Интегральный закон Ома для замкнутой цепи. Закон Джоуля—Ленца

§ 20. Магнитное поле постоянных линейных токов
20.1. Закон Био-Савара. 20.2. Понятие о магнитостатике магнетиков. 20.3. Энергия магнитного поля постоянных токов. Коэффициенты индукции. 20.4. Механические силы, действующие в магнитном поле. Формула Ампера

Глава VIII. Квазистационарное электромагнитное поле и квазистационарные процессы

§ 21. Уравнения квазистационарного поля. Электромагнитная индукция
21.1. Условия квазистационарности. 21.2. Уравнения квазистационарного поля. 21.3. Закон электромагнитной индукции Фарадея

Глава IX. Электромагнитные волны в веществе

§ 23. Электромагнитные волны в веществе
23.1. Плоские волны в идеальном диэлектрике. 23.2*. Электромагнитные волны в однородной проводящей среде. 23.3. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе двух диэлектриков

§ 24. Электромагнитная природа света
24.1. Свет — электромагнитные волны. 24.2. Световое поле. 24.3*. Принцип Гюйгенса-Френеля. 24.4. Геометрическая оптика как предельный случай волновой. 24.5. Дисперсия диэлектрической проницаемости. 24.6. Зависимость диэлектрической проницаемости от напряженности поля. Понятие о нелинейной оптике. 24.7. Границы применимости классической электродинамики в оптике

Тема 11. Электродинамические потенциалы. Основные теоремы и принципы электродинамики

Постановка задач в электродинамике. Скалярный и векторный электродинамические потенциалы. Уравнения Даламбера для электродинамических потенциалов. Уравнения Пуассона и Лапласа. Связь электродинамических потенциалов с векторами ЭМП. Решение неоднородных уравнений Даламбера для электродинамических потенциалов. Запаздывающие потенциалы.

Применение электродинамических потенциалов в анализе ЭМП.

Основные теоремы и принципы в теории гармонических полей. Магнитные токи и заряды. Принцип перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Теорема единственности для внешней и внутренней задач электродинамики. Принцип эквивалентности. Различные формулировки принципа эквивалентности. Лемма Лоренца. Сопряженная лемма. Теорема взаимности.

Указания к теме

Необходимо выучить определения скалярного и векторного потенциалов, обратить внимание на их связь с векторами и энергией ЭМП, а также на применение в анализе ЭМП; уяснить понятие запаздывающего потенциала.

Пользуясь теоремой Пойнтинга о балансе энергии, можно определить дополнительные условия, наложение которых сообщает решениям уравнений Максвелла физическую определенность (единственность).

Следует выучить формулировки теорем единственности и взаимности, принципов эквивалентности и двойственности, обратить внимание на их место в теории ЭМП.

Основные сведения

При решении задач излучения необходимо решать систему уравнений Максвелла при наличии сторонних источников ЭМП. Введение электродинамических потенциалов позволяет упростить расчет ЭМП излучающих систем. Из условия соленоидальности магнитного поля (2.8) можно записать:

Þ , (11.1)

где введенную функцию называют векторным потенциалом.

Подстановка выражения (11.1) в (2.6) позволяет связать с :

или . (11.2)

Из условия потенциальности электростатического поля

Þ , (11.3)

где введенную функцию j называют скалярным потенциалом (в случае электростатического поля функция jявляется скалярным электрическим потенциалом)[1, 11].

Векторы ЭМП можно выразить через и j :

, . (11.4)

Волновые уравнения для электродинамических потенциалов.Подставляя выражение (11.4) в систему уравнений Максвелла для однородной среды при наличии сторонних источников ЭМП, получаем

. (11.5)

Удобно выбрать div так, чтобы в уравнении (11.5) слагаемое в скобках оказалось бы равным нулю

. (11.6)

Условие (11.6) называют калибровкой Лоренца. В случае равенства нулю правой части (11.6) получается калибровка Кулона [1–3, 11].

С учетом выражения (11.6) из системы уравнений Максвелла получаются неоднородные волновые уравнения для потенциалов и j

; (11.7)

. (11.8)

После решения уравнений (11.7) и (11.8) для конкретных исходных данных векторы и находятся после подстановки и j в (11.4).

В случае стационарного магнитного поля можно считать потенциальной энергией токов, в то же время j связан с потенциальной энергией зарядов в электростатике [1–3].

При решении задач излучения с целью уменьшения числа неизвестных иногда вводят вектор Герца [12] ( , ).

, . (11.9)

В классической электродинамике и j – лишь вспомогательные величины, так как для представления ЭМП необходим переход к и . В квантовой электродинамике и j считаются фундаментальными величинами [1–3].

Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве.Решение уравнений (11.7) и (11.8) в безграничном пространстве упрощается. В пространстве вне точечного источника r_ст = 0.

Для точечного заряда в ССК и ЦСК решение имеет вид [1–4]

. (11.10)

При v®¥ (мгновенное распространение действия ЭМП) из уравнений (11.8) получается уравнение С. Пуассона [1, 6, 11] : .

При точках незаряженной области (r = 0) уравнение Пуассона (11.15) переходит в уравнение П. Лапласа [6, 11] : .

Волновое уравнение для векторного потенциала имеет вид [1–3, 11]

(11.11)

Полученные решения (11.10) и (11.11) отражают конечность скорости распространения ЭМП от своих источников. В точке наблюдения значения электродинамических потенциалов (а значит, и векторов ЭМП) определяются значением не в текущий момент времени t, а в предшествующий момент t – r/v. Поэтому решения (11.10) и (11.11) называют запаздывающими потенциалами. Время запаздывания r/v как раз показывает, какое время требуется ЭМВ, чтобы пройти расстояние r с конечной скоростью v [11].

Сравнивая уравнения (11.10) и (11.11) с (5.5) и (5.6), можно сделать вывод, что полученные решения имеют характер сферических волн.

При решении задач электродинамики выделяют внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренней называется задача определения ЭМП внутри области V, ограниченной замкнутой поверхностью S (рис. 11.1), при заданных на ней граничных условиях для векторов ЭМП. Примеры внутренней задачи – определение ЭМП в объемном резонаторе, определение функции распределения тока в антенне заданной конструкции.

Внешняя задача электродинамики заключается в решении уравнений Максвелла для неограниченного пространства вне области V, ограниченной замкнутой поверхностью S , при наличии источников ЭМП. Примеры внешней задачи – определение ЭМП антенны в свободном пространстве при известном распределении тока в антенне, решение задач дифракции.

При постановке задач электродинамики необходимо ввести начальные и граничные условия, сообщающие этим задачам физическую определенность [1]. Векторы ЭМП не могут иметь произвольную зависимость от координат и времени. Например, есть ограничения на скорость убывания амплитуд и .

Из закона сохранения энергии следует [1], что в пространстве без потерь каждый из векторов и должен убывать не медленнее, чем 1/r . Это условие называется условием излучения на бесконечности [1]:

= 0 ; = 0 . (11.12)

Условия (11.12) эквивалентны условиям излучения Зоммерфельда

= 0 ; = 0 . (11.13)

Знак при вторых слагаемых в уравнениях (11.13) определяет, что условия записаны для ЭМВ, которая расходится (удаляется) от источника [1, 5]. При наличии потерь в пространстве, которые учитываются коэффициентом затухания a, векторы ЭМП убывают быстрее – пропорционально exp(–ar)/r.

Существуют принципы и теоремы электродинамики, которые позволяют существенно упростить решение задач электродинамики и теории антенн.

Теорема единственности решений уравнений Максвелла.Методы решения уравнений ЭМП могут быть различными, поэтому необходимо доказать, что решение, полученное любым методом, является единственным. В учебных пособиях [1, 12] приведено доказательство того, что если при решении уравнений Максвелла при определенных начальных и граничных условиях получены значения векторов ЭМП ( и ), то это решение будет единственным.

Принцип двойственности. Для решения задач теории ЭМП удобно ввести понятия магнитных токов и зарядов. Как отмечалось ранее, эти величины являются фиктивными и вводятся как эквивалент действия электрических токов.

При наличии магнитных источников уравнения Максвелла (2.20)–(2.21) уступают место следующим [1, 13]:

= = , , (11.14)

= = , . (11.15)

где и – плотности сторонних электрического и магнитного токов соответственно; s_м – удельная эквивалентная магнитная проводимость; и – объемные плотности электрического и магнитного зарядов.

Сопоставляя уравнения Максвелла и выражения (11.14)–(11.15), нетрудно убедиться, что одни полностью переходят в другие при следующей замене:

® , ® , ® , ® , ® , e_a « µ_a , s_э « s_м,

, ® – , ® – , ® – , ® – , ® – . (11.16)

Следует отметить, что размерности эквивалентных величин несколько отличаются от обычных в системе СИ. Оказывается, что измеряется в вольтах на метр квадратный, а не в амперах на метр квадратный, как , I_м – в вольтах (размерность U), Q_м – в веберах (размерность Ф), s_м – в омах на метр (размерность удельного сопротивления) [1, 7], то есть размерности прямой и обратной замены отличаются как сопротивление и проводимость!

Таким образом, если найдено ЭМП заданных электрических источников, то достаточно сделать замену (11.16) в готовом решении задачи, и это непосредственно приведет к выражению ЭМП излучения магнитных источников.

Общий смысл принципа двойственности состоит в том, что при определенных условиях электрическое и магнитное поля «меняются ролями». Кроме того, симметрия системы уравнений Максвелла (11.14)–(15.9) подчеркивает равноправие электрических и магнитных составляющих в переменном ЭМП.

Лемма Лоренца. Пусть в некоторой линейной среде имеется два электрических источника, характеризуемых функциями плотности стороннего электрического тока и соответственно (рис. 11.2). После преобразований

. (11.17)

Интегрируя уравнение (11.17) по области V, ограниченной поверхностью S, охватывающей источники ЭМП, с учетом теоремы Остроградского – Гаусса (2.11) получим

. (11.18)

Соотношения (11.17) и (11.18) – это соответственно дифференциальная и интегральная формулировки леммы Лоренца, устанавливающей важные связи между полями двух источников.

В случае свободного пространства в дальней зоне источников (S®∞) левая часть соотношения (11.18) стремится к нулю [1, 5, 6], а это приводит к таким соотношениям:

, . (11.19)

Принцип взаимности разделенных источников. В случае, когда источники разделены в пространстве, первый источник расположен в области V₁, а второй – в области V₂ (рис. 11.2), соотношения (11.19) принимают форму

. (11.20)

Интеграл справа можно истолковать как некоторую характеристику взаимодействия ЭМП первого источника с ЭМП второго; аналогичный смысл имеет интеграл слева. Очевидно, что характеристики такого рода равны независимо от типа источников и изотропных сред, в которых они расположены.

Соотношение (11.20) выражает принцип взаимности, подразумевая пространственно разделенные источники и их поля.

Для двух линейных токов из выражения (11.20) следует [1]

, (11.21)

где и представляют собой э. д. с., наводимые на каждом из линейных элементов (I1) и (I2) полем другого источника.

Равенство (11.21) можно представить в другой форме:

Þ , (11.22)

где и имеют смысл взаимных сопротивлений.

Принцип взаимности проявляется в том, что э. д. с., наводимая на первом элементе заданным током второго, оказывается такой же, как и э. д. с. на втором элементе при равном токе первого [1].

Э. д. с., наводимая в приемной антенне в зависимости от ее ориентации, изменяется по тому же закону, что и ЭМП в дальней зоне, создаваемое этой антенной в режиме передачи. То есть направленность действия антенны при приеме и передаче одинакова. В теории антенн принцип взаимности позволяет использовать характеристику направленности передающей антенны (ДН) при использовании этой антенны в качестве приемной, а также использовать измеренную характеристику ДН приемной антенны и в режиме передачи.

Среды, устройства и системы, в которых выполняется принцип взаимности, называют взаимными [1].

Список рекомендуемой литературы:[1, гл. 11, 15, с. 55–59, 83–90; 2, с. 75–78, 123–126, 132–139, 150–152; 3, гл. 11, с. 51–55; 4, с. 47–50; 5, с. 21–24, 52–55, 223–239; 6, с. 128–138, 172, 205–212; 7, с. 63–67, 244–279; 8, с. 18–25, 57–61; 9, с. 60–61, 143–154, 157–159; 10, с. 68–70; 11, с. 61–75, 121–125; 12, с. 63–65, 94–98, 106–132; 13, с. 134–140, 150–155, 165–168, 238–241; 32, с. 13–17; 34, с. 5–10; 35, с. 11–13; 36, с. 9–12].

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение электродинамическим потенциалам ЭМП.

2. Что дает введение электродинамических потенциалов?

3. Почему потенциалы называют «запаздывающими»?

4. Существует ли связь электродинамических потенциалов с энергией ЭМП?

5. С помощью какого из электродинамических потенциалов можно охарактеризовать потенциальную энергию зарядов в электростатическом поле?

6. Какой потенциал связан с потенциальной энергией токов в случае стационарного магнитного поля?

7. Каково место электродинамических потенциалов в теории ЭМП и теории антенн?

8. Укажите условия калибровки волновых уравнений для электродинамических потенциалов. Зачем нужны условия калибровки?

9. Можно ли скалярный потенциал назвать «электростатическим»?

10. Существуют ли магнитные токи и заряды?

11. Дайте определение внешней и внутренней задач электродинамики.

12. В чем смысл принципа двойственности?

13. Назовите формулировку теоремы единственности. Какие требования предъявляются к функциям, описывающим ЭМП для выполнения теоремы единственности?

14. Дайте формулировку принципа эквивалентности.

15. В чем заключается смысл теоремы взаимности?