Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

1. Магнитных монополей не существует.
2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Электростатика Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Электростатика получила новый шанс на развитие только во второй половине 19 века, когда опубликовал ряд научных работы известный британский ученый Джеймс Максвелл. Тогда он смог истолковать и переложить на математический язык формул ранние изыскания Фарадея, которые были представлены еще за век до этого события. В основу работ Максвелла по электростатике легли представления как о науке, изучающей закон взаимодействия частиц в электромагнитном поле.

Рисунок 1. Уравнения Максвелла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ученый сформулировал ряд основных уравнений, которые в полной мере сегодня дают представление и описывают любые электромагнитные поля. Они стали также отправной точкой для дальнейших работ в области теоретической физики и формирования новых математических моделей, основанных на релятивистской механике. К определенным выводам позже пришел гений науки Альберт Эйнштейн. Он смог создать известную общую теорию относительности. В эту теорию попали и ряд формул Максвелла.

Уравнения Максвелла помогли многим прорывным открытиям того времени. Так на основе его исследований были открыты радиоволны. Он смог создать такую систему уравнений, которая логически привела к новым обнаружениям физических явлений. Отмечается, что далеко не все ученые того времени одерживали работы Максвелла. Критики в частности подверглась теория тока смещения, однако позже опыты Герца показали, что и здесь Максвелл был прав.

Структура уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла прочно вошли в ассоциативный ряд с квантовой механикой. Они стали основой для зарождения нового раздела физики – квантовой электродинамики. С тех пор не нашлось ни одного доказательства того, что британский ученый в своих размышлениях в чем-то ошибся. Он создал универсальную модель формул, которые могут применяться в квантовой механике, а также теории относительности. Это оказалось актуальным даже тогда, когда квантовая механика и теория относительности обнаружили в себе взаимные противоречия. Пока ученые безуспешно пытаются воедино соединить ряд теорий, уравнения Максвелла продолжают действовать безотказно. Они справляются со своей задачей при объяснении:

Готовые работы на аналогичную тему

• квантового микромира;
• теории относительности;
• формируют представление об устройстве мира.

Все уравнения Максвелла имеют две формы выражения:

Суть уравнений Максвелла

Первое уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса. Он говорит о том, что вихревое электрическое поле порождается магнитным полем, которое изменяется во времени. Максвелл взял старые постулаты и теоремы и записал их в дифференциальной форме. Оно выглядит следующим образом:

В таком написании $∇$ – знак оператора потока, $E$ – векторное электрическое поле, $ρ$ – суммарный заряд, а $εo$ – это диэлектрическая постоянная вакуума. Она имеет определенное значение. Его измеряют экспериментальным способом и учитывают силу притяжения между различными зарядами.

Это уравнение предполагает, что поток электрического поля $Е$, проходя через любую замкнутую поверхность будет лежать в зависимости от суммарного электрического заряда внутри подобной поверхности. На основе этого уравнения формируются знания о процессе, который получил названии дивергенции.

Второе уравнение представляет собой закон, сформулированный еще Фарадеем. В дифференциальной форме оно будет выглядеть следующим образом:

$∇$ – знак оператора вихря, а частная производная $\frac<∂B><∂t>t$ – частная производная изменяется по времени. Это означает, что магнитное поле в принципе изменяется во времени и пространстве, однако частный случай рассматривает только конкретное изменения во времени.

Подобное уравнение вводит понятие интеграла по замкнутому контуру. Эту величину также называют ротором. Считается, что ротор электрического поля $E$ будет равняться потоку магнитного поля, проходящего через этот контур. Поток — это есть скорость изменения во времени.

Процессы, которые демонстрирует нам эта формула можно представить у себя в ванной комнате. Все видели, как вода уходит в сливное отверстие ванны. От суммы векторов угловых скоростей, которые крутятся по замкнутому контуру, будет зависеть скорость слива воды.

Третье уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса. Он записал его в дифференциальной форме.

$∇ • B = 0$, где $B$ – векторное магнитное поле

Для четвертого уравнения Максвелл взял теорию Андре Ампера и связал постоянный ток и магнитное поле, которое существует вокруг него. В дифференциальной форме оно приобрела примерный вид $∇ • B =\frac< j><\sin<2>>$. Помимо уже знакомых величин он ввел значения тока ($j$) и скорости света ($c$). Ранее ученые называли эту величину электромагнитной постоянной.

Подобный закон рассказывает, что ротор магнитного поля будет равен току, который течет через такой контур. Однако он не будет абсолютно равен. Для этого вводятся дополнительные коэффициенты. Их также называют магнитной постоянной вакуума. Его применяют для упрощения записи математических уравнений. Иными словами, вокруг провода, где течет ток, можно заметить кольцевое магнитное поле.

Значение уравнений для электростатики

Максвелл сделал очень масштабную компиляцию ранее опубликованных трудов многих ученых. Он собрал все известные на тот момент законы магнетизма, электричества и записал их в математической форме дифференциальных уравнений. Они легки в основу новых исследований и до сих пор применяются на практике. Известно, что он не пользовался векторными обозначениями, что привело к тому, что уравнения Максвелла имела весьма громоздкий и неудобный вид. Компонентный вид придавал им систему из многочисленных скалярных уравнений с неизвестными показателями. Позже появились символы и понятие дивергенции, что значительно смогли упростить уравнения. Их дорабатывали ряд ученых, в том числе Генрих Герц, Джозайя Гиббс и Оливер Хевисайд. Они смогли переписать систему уравнений Максвелла на современной основе, чтобы можно было успешно их использовать при анализе.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды: