Уравнения элементарной математики методы решения

Требования к знаниям и умениям студентов

Цель изучения темы – систематизировать и обобщить знания студентов, связанные с понятиями уравнения и неравенства, процессом их решения.

В результате изучения темы студент

• определение уравнения (неравенства);
• определение корня уравнения (решения неравенства);
• понятие области определения (ОДЗ) уравнения (неравенства);
• что значит решить уравнение (неравенство);
• определения понятий: уравнение (неравенство) – следствие, равносильные уравнения (неравенства);
• приёмы равносильных преобразований уравнений и неравенств;
• о возможностях протекания процесса решения уравнения (неравенства);
• о преобразованиях, приводящих к расширению или сужению ОДЗ уравнения (неравенства);

— о преобразованиях, приводящих к потере или приобретению корней уравнения (решений неравенства);

• находить ОДЗ уравнения (неравенства);
• устанавливать, является ли указанное число корнем уравнения (решением неравенства);
• доказывать равносильность уравнений (неравенств);
• устанавливать, какое уравнение (неравенство) является следствием другого уравнения (неравенства);
• осуществлять проверку найденных корней на принадлежность множеству решений исходного уравнения.

Содержание темы

1.1. Понятие уравнения (неравенства). Корни уравнения (решения неравенства). Решение уравнения (неравенства)

Определение 1: Уравнением с одной переменной называется предикат (предложение с переменной) , где f и g – некоторые функции от х .

Это означает, что равенство рассматривается как неопределённое высказывание: при одних значениях х истинное, при других – ложное.

Определение 2: Предикаты , , , называются неравенствами с одной переменной.

Аналогично можно дать определение уравнению (неравенству) с двумя, тремя и т.д. переменными.

Следует отметить, что в общем случае переменная, входящая в уравнение (неравенство), может принимать любые значения, в том числе и комплексные. Но в школьном курсе математики уравнения (неравенства) рассматриваются на более узком множестве — множестве действительных чисел. Поэтому далее будем считать, что числа и буквы, входящие в уравнение (неравенство), принимают все возможные действительные значения.

Все уравнения и неравенства можно разбить на две группы:

• алгебраические уравнения и неравенства;
• трансцендентные уравнения и неравенства.

Уравнение (неравенство) является алгебраическим, если каждая из его частей f и g есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам. Соответственно, все другие уравнения (неравенства) являются трансцендентными. Например, — алгебраическое уравнение с двумя неизвестными. Уравнение же не является алгебраическим, потому что правая часть равенства не является многочленом (одночленом) относительно переменных х , у ; это трансцендентное уравнение.

В свою очередь алгебраические уравнения (неравенства) делятся на:

• рациональные ( целые , если многочлены (одночлены), их составляющие, содержат только знаки алгебраической суммы, произведения и возведения в натуральную степень; дробные , если присутствует также степень с отрицательным целым показателем, содержащая неизвестное в основании);
• иррациональные , когда присутствует также степень с рациональным дробным показателем.

К трансцендентным относятся показательные, логарифмические, тригонометрические, смешанные и т.д. уравнения и неравенства.

Определение 3: Корень уравнения – это такое значение переменной, которое обращает предикат в истинное высказывание.

Таким образом, корнем уравнения является всякое действительное число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части уравнения получается верное числовое равенство. Это означает, во-первых, что при подстановке этого числа вместо неизвестного все действия, обозначенные в левой и правой частях уравнения, оказываются выполнимыми и, во-вторых, в результате выполнения этих действий в левой и правой частях получается одно и то же число.

Иначе говоря, число х 0 называется корнем уравнения , если, во-первых, это число принадлежит как области определения функции, так и области определения функции и, во-вторых, значения этих функций в точке х 0 совпадают, т.е. .

Пример 1 . Для уравнения любое действительное число является корнем, так как равенство имеет место для любого действительного числа х 0 .

Пример 2 . Для уравнения всякое неотрицательное число является корнем, так как и тогда, исходя из понятия модуля числа, равенство имеет место для любого неотрицательного числа х 0 (других корней нет).

Пример 3 . Уравнение не имеет корней, так как левая часть этого уравнения определена при положительных значениях х , а правая – при отрицательных, т.е. области определения левой и правой частей уравнения не имеют общих точек.

Определение 4: Решение неравенства – это такое значение переменной, которое обращает предикат в истинное высказывание.

Таким образом, решением неравенства является всякое действительное число, при подстановке которого вместо неизвестного в обе части неравенства получается верное числовое неравенство.

Определение 5: Областью определения уравнения (соответствующих ему неравенств) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество всех значений переменной х , при которых одновременно имеют смысл (определены) обе функции и .

Пример 4 . ОДЗ уравнения состоит из тех х , для которых имеют смысл его левая часть и правая часть . Левая часть уравнения определена при любом действительном х , а правая – при . Поэтому ОДЗ уравнения есть множество неотрицательных чисел.

Определение 6: Решить уравнение – значит, найти все его корни или установить, что их нет. Множество решений (корней) уравнения – есть множество всех его корней.

Определение 7: Решить неравенство – значит, найти все его решения или установить, что их нет. Множество решений неравенства – есть множество всех его решений.

1.2. Понятие равносильного перехода. Равносильные уравнения (неравенства). Уравнение (неравенство) – следствие

Для каждого вида уравнений (неравенств) можно указать простейшие уравнения (неравенства), решение которых осуществляется по некоторому алгоритму. Например, линейные, квадратные и т.д. уравнения (неравенства). В общем же случае процесс решения уравнения (неравенства) состоит в замене данного уравнения (неравенства) другим, более простым, корни (решения) которого не всегда совпадают с корнями (решениями) исходного. Может произойти приобретение посторонних корней (решений) или, наоборот, потеря корней (решений). Самое лучшее, когда от данного уравнения (неравенства) переходят к более простому уравнению (неравенству) с теми же корнями (решениями) – равносильному уравнению (неравенству). Такой переход называется равносильным .

Определение 8: Два уравнения и (соответствующие им неравенства) называются равносильными (эквивалентными) на заданном множестве М, если они имеют на этом множестве одни и те же корни (решения), т.е. множества их решений совпадают.

Замечание 1: Два уравнения (неравенства), не имеющие корней (решений), являются равносильными.

Обозначение: , и т.п.

Пример 1 . Уравнения и равносильны на множестве действительных чисел, так как они оба имеют только по два корня: 2 и –2.

Пример 2. Неравенства и равносильны на множестве действительных чисел, так как множества решений каждого из этих неравенств есть или .

Как видно из приведённых примеров, в качестве множества М обычно выступает множество R всех действительных чисел. Поэтому в дальнейшем вместо слов «уравнения (неравенства) равносильны на множестве действительных чисел» будем употреблять слова «уравнения (неравенства) равносильны».

Пример 3. Уравнения и равносильны, поскольку оба они не имеют действительных корней.

В рассмотренном примере ОДЗ уравнений различны: уравнение имеет в качестве ОДЗ множество всех действительных чисел, в то время как уравнение — множество неотрицательных чисел. Таким образом, равносильные уравнения могут иметь различные ОДЗ.

Аналогично, равносильные неравенства могут иметь различные ОДЗ. Например, , но ОДЗ первого неравенства есть множество всех действительных чисел, а второго – множество положительных чисел.

Замечание 2: Два уравнения (неравенства) могут быть равносильными на одном множестве и не быть равносильными на другом.

Уравнения и равносильны на множестве положительных чисел: , но не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Аналогично, неравенства и равносильны на множестве положительных чисел: , но не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Понятие равносильности обладает свойством транзитивности. Если уравнение равносильно уравнению на множестве М и уравнение равносильно уравнению на множестве М, то уравнение равносильно уравнению на множестве М.

Уравнение (неравенство) может быть заменено в процессе решения равносильной системой или совокупностью уравнений, неравенств и их систем (совокупностей).

Итак, самый лучший способ решения уравнения (неравенства) – переход к равносильному уравнению (неравенству, системе, совокупности). Но этот идеальный путь на практике зачастую неосуществим. Часто уравнение (неравенство) заменяют ему не равносильным уравнением (неравенством) – уравнением (неравенством)-следствием.

Определение 9: Уравнение (соответствующее неравенство) называется следствием уравнения (соответствующего неравенства), если все корни уравнения (решения соответствующего неравенства) являются корнями уравнения (решениями соответствующего неравенства).

Обозначение: , , и т.п.

Замечание 3: Любое из двух равносильных уравнений (неравенств) является следствием другого.

Пример 4 . Уравнение имеет корень , а уравнение имеет два корня: и . Корень уравнения является одним из корней уравнения . Значит, уравнение — следствие уравнения : .

Пример 5. Множество решений неравенства состоит из всех чисел промежутка . Множество решений неравенства состоит из всех чисел промежутка . Число больше –1. Значит .

Этот пример, в частности, показывает, что посторонние решения (для исходного неравенства) могут возникнуть даже тогда, когда происходит сужение ОДЗ исходного неравенства. Чаще всего посторонние решения при замене одного неравенства другим происходят за счёт расширения ОДЗ исходного неравенства.

В процессе решения уравнения допустим переход к уравнению-следствию, но тогда необходима проверка найденных корней на принадлежность множеству решений исходного уравнения. При решении неравенства такая проверка не может быть выполнена. Поэтому при решении любого неравенства необходимо учитывать условия перехода от данного неравенства к следующему и не допускать приобретение, а тем более потерю решений.

1.3. Теоремы о равносильности уравнений (неравенств)

В этом пункте постараемся разобраться какие преобразования можно выполнять над уравнениями (неравенствами) в процессе их решения и к каким последствиям они могут приводить.

Первое преобразование: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую , т. е. переход от уравнения к уравнению . Докажем, что указанный переход всегда приводит к равносильному уравнению: .

ТЕОРЕМА 1. Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Доказательство: Пусть х 0 – корень уравнения , т. е. верно равенство и число х 0 принадлежит области определения каждой из функций . Тогда, прибавляя к обеим частям верного равенства число , получаем или (поскольку для любого числа а , в частности а =, имеем а-а =0).

Таким образом, число х 0 обращает уравнение также в верное числовое равенство , значит х 0 – есть также корень уравнения .

Итак, каждый корень уравнения является также корнем уравнения , т. е. .

Аналогично доказывается, что . Значит .

Итак, при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, можно перенести все слагаемые из одной части уравнения в другую, т. е. . Таким образом, любое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением вида .

Рассмотренное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) очень часто применяется как при решении уравнений, так и при решении неравенств.

ТЕОРЕМА 1’. Если какой-нибудь член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Подчеркнём, что речь выше шла только о перенесении членов из одной части уравнения (неравенства) в другую без последующего приведения подобных членов, что зачастую приходится делать. Поэтому рассмотрим второе преобразование: приведение подобных членов , т. е. переход от уравнения к уравнению .

Пример 1 . Уравнение после приведения подобных членов в левой его части заменяется уравнением , ему равносильным. Действительно, число 7 является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 2 . Уравнение после приведения подобных членов в левой его части заменяется уравнением , ему не равносильным. Действительно, число 2 является корнем уравнения и не является корнем исходного уравнения.

Появление постороннего корня при переходе от первого уравнения ко второму связано с расширением ОДЗ исходного уравнения, а именно с появлением корня последующего уравнения, принадлежащего дополнению ОДЗ исходного уравнения () до . Очевидно, что обратный переход не допустим, так как может привести к потере корней.

Итак, можно сделать следующий вывод: каковы бы ни были функции , уравнение является следствием уравнения .

Чтобы данное преобразование приводило к равносильному уравнению, необходимо накладывать дополнительное условие на функцию : ОДЗ уравнения должна содержаться в области определения функции .

Заметим, что уравнение по теореме 1 равносильно уравнению , т. е. переход от уравнения к уравнению означает то же самое, что и переход от уравнения к уравнению . Таким образом, мы параллельно рассмотрели ещё одно преобразование, а именно прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения (в данном случае выражения ) или вычёркивание (взаимное уничтожение) одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения. Значит можно утверждать, что .

Пример 3 . Являются ли уравнения и равносильными?

Решение : Второе уравнение получено из первого уравнения прибавлением к обеим частям одного и того же выражения , которое не определено при . Это означает, что число ½ не может быть корнем первого уравнения, но может быть корнем второго. Легко проверить, что число ½ является корнем второго уравнения.

Итак, корень второго уравнения не является корнем первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

В данном примере .

Чтобы указанное преобразование приводило к равносильному уравнению, необходимо накладывать соответствующее дополнительное условие на функцию : .

В частности, уравнения и равносильны для любого действительного числа  .

Аналогичные преобразования выполняются и над неравенствами, т. е. каковы бы ни были функции , неравенство является следствием неравенства и неравенства .

Неравенства и () равносильны, если функция  ( х ) определена на ОДЗ неравенства.

В частности, неравенства и равносильны для любого действительного числа  .

Пример 4 . Являются ли неравенства

Решение : Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения , которое не определено при . Это означает, что число не может быть решением первого неравенства. Однако является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого, так как любое решение первого неравенства является решением второго: .

Проведённые выше рассуждения в некоторой степени иллюстрируют справедливость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Пусть в некотором уравнении (неравенстве) выражение заменено тождественным ему выражением. Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения (неравенства), то мы переходим к равносильному уравнению (неравенству); если ОДЗ расширяется, то мы переходим к уравнению(неравенству)-следствию (возможно приобретение посторонних корней (решений), причём посторонними могут быть только такие корни (решения), которые не входят в ОДЗ исходного уравнения (неравенства)).

Истинность данного утверждения очевидна, так как некоторое выражение заменяется тождественно равным ему выражением. Поэтому, если тождественное равенство рассматривается только на ОДЗ исходного уравнения (неравенства), то появиться посторонние корни (решения) или потеряться корни (решения) не могут; если тождественное равенство рассматривается на более широком множестве, чем ОДЗ исходного уравнения (неравенства) (ОДЗ расширяется), то возможно только приобретение посторонних корней (решений). Последнее нами наблюдалось в примере 2 в случае использования слева направо тождества без учёта условия его выполнимости.

Здесь также возможен случай рассмотрения тождественного равенства на более узком множестве, чем ОДЗ исходного уравнения (неравенства) (ОДЗ сужается). Тождественные преобразования, сужающие ОДЗ уравнения (неравенства), могут привести к потере корней (решений), а потому таких преобразований следует избегать. Если этого сделать не удаётся, то следует отдельно исследовать возможность наличия корней (решений) исходного уравнения (неравенства) среди отброшенных чисел.

Рассмотрим, какие ещё тождественные равенства и как могут быть использованы в ходе решения уравнений (неравенств).

Пример 5 . Уравнение после сокращения левой его части на общий множитель , заменяется уравнением , равносильным исходному. Действительно, число 4 является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 6 . Уравнение после сокращения левой его части на общий множитель , заменяется уравнением , не равносильным исходному. Действительно, число 1 является единственным корнем уравнения, но не является корнем исходного уравнения.

В рассмотренных примерах использовалось слева направо тождество без учёта условия . Таким образом, если в уравнении (неравенстве), содержащем дробь, произвести её сокращение, то получится уравнение(неравенство)-следствие.

К уравнениям(неравенствам)-следствиям также приводит использование слева направо следующих тождеств, если не учитываются условия их выполнимости:

Рассмотрим следующее преобразование: умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение , т. е. переход от уравнения к уравнению .

Пример 7 . Являются ли уравнения и равносильными?

Решение : Переходя от первого уравнения ко второму (освобождаясь от знаменателя), т. е. умножая обе части исходного уравнения на выражение , получаем уравнение , равносильное уравнению . Множество всех корней этого уравнения состоит из двух чисел: и . Проверим, появились ли в результате проведённого преобразования посторонние корни, т. е. сделаем проверку. Она показывает, что число 10 не является корнем исходного уравнения, а число 5 является его корнем, т. е. первое уравнение имеет единственный корень . Сравнивая множество корней данных уравнений, получаем: второе уравнение является следствием первого, т. е. уравнения не равносильны.

Пример 8 . Рассмотрим уравнение . Умножив обе части этого уравнения на , получаем уравнение , которое не является следствием исходного уравнения. В самом деле, исходное уравнение имеет корни и , а уравнение — лишь корень . Потеря корня связана с тем, что функция не определена при , а как раз это значение х является корнем заданного уравнения.

Итак, можно сделать следующие выводы:

1. переход от уравнения к уравнению может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере корней;
2. если на ОДЗ уравнения определена и функция , то уравнение является следствием уравнения : ;
3. если на ОДЗ уравнения функция не только определена, но всегда отлична от нуля, то уравнение равносильно уравнению :

В частности, верны следующие утверждения:

а) Уравнение является следствием уравнения : .

б) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля действительное число, то получится уравнение, равносильное данному : для любого действительного числа  0.

Рассмотрим, можно ли аналогичное преобразование выполнять над неравенствами.

Пример 9 . Являются ли неравенства

Решение : ОДЗ первого неравенства есть множество . На этом множестве . В результате множество решений первого неравенства есть .

Второе неравенство равносильно неравенству . Уравнение имеет два корня: и . Следовательно, множество решений неравенства состоит из двух промежутков: .

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными и, более того, ни одно из них не является следствием другого.

Разобранный пример показывает, что при решении неравенства нельзя обе его части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им значений.

Умножив обе части последнего неравенства на выражение , получили неравенство, не равносильное исходному.

Докажем следующее утверждение:

Если функция  (х) определена и положительна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , то неравенство и неравенство равносильны. Если функция  (х) определена и отрицательна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , то неравенство равносильно неравенству .

Доказательство: Пусть х 0 – решение неравенства , т. е. — верное числовое неравенство и число х 0 принадлежит ОДЗ неравенства . Тогда, умножая обе части верного неравенства на число , получаем: , если , или , если .

Таким образом, число х 0 обращает соответственно неравенство или также в верное числовое неравенство или , значит х 0 – есть также решение неравенства или соответственно.

Итак, каждое решение неравенства является также решением соответственно неравенства или , т. е. , при ; , при .

Аналогично доказывается, что, при ; , при . Значит , при ; , при .

В частности, если  — положительное число, то , а если  — отрицательное число, то .

Верно также следующее утверждение: неравенство является следствием неравенства , где принимает только неотрицательные значения на ОДЗ неравенства .

Пример 10 . Докажите, что неравенства и равносильны.

Доказательство: Неравенство получается из неравенства в результате переноса членов неравенства из одной части в другую () и умножения обеих частей неравенства на число –1. В силу выше доказанного все указанные преобразования являются равносильными, т. е. .

Пример 11 . Докажете, что неравенства и равносильны.

Доказательство: Неравенство получается из неравенства в результате умножения обеих частей неравенства на () и использования слева направо тождества . В силу существования неравенства функция определена и положительна при всех значениях х из ОДЗ неравенства , значит . Использование слева направо тождества приводит к неравенству-следствию, т. е. . Докажем обратное, что . Действительно, если число х 0 является решением неравенства , то имеем верное числовое неравенство и . Тогда верно неравенство , получаемое из верного неравенства умножением и делением его левой части на число . Таким образом, число х 0 – есть также решение неравенства . Итак, каждое решение неравенства является также решением неравенства , т. е. . Значит все выполняемые преобразования были равносильными, т. е. .

Следующее возможное преобразование: возведение обеих частей уравнения в степень , т. е. переход от уравнения к уравнению . Такой переход нередко используется при решении уравнений, особенно при решении иррациональных уравнений.

Пример 12 . Уравнение после возведения обеих частей в квадрат и использования слева направо формулы заменяется уравнением , равносильным исходному. Действительно, число ½ является единственным корнем как уравнения , так и исходного уравнения.

Пример 13 . От уравнения после возведения обеих частей в квадрат и использования слева направо формулы переходим к уравнению , которое имеет корни , ,. Однако число 0 не является корнем первого уравнения. Таким образом, уравнение является следствием уравнения : .

Этот пример показывает, что посторонний (для первого уравнения) корень появился вследствие того, что ОДЗ второго уравнения ( R ) шире ОДЗ первого уравнения (). Этот корень не входит в ОДЗ исходного уравнения в отличие от остальных корней и корня примера 12.

Пример 14 . Являются ли уравнения и равносильными?

Решение : Множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел: и . Проверка показывает, что число –2 не принадлежит ОДЗ первого уравнения, а именно не удовлетворяет условию . Поэтому число -2 не может быть корнем первого уравнения, следовательно, эти уравнения не равносильны.

Второе уравнение данного примера получено из первого в результате возведения обеих частей уравнения в квадрат и использования слева направо формулы , второе уравнение есть следствие первого: . При этом данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения: .

Пример 15 . Являются ли уравнения и равносильными?

Решение : Второе уравнение равносильно уравнению , поэтому множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел: и . Однако проверка показывает, что число –4 не является корнем первого уравнения, поэтому данные уравнения не являются равносильными. При этом число –4 удовлетворяет условию , т. е. входит в ОДЗ первого уравнения. Следовательно, эти уравнения не равносильны и на ОДЗ первого уравнения.

Последний пример показывает, что посторонние корни могут появиться не только в результате расширения ОДЗ исходного уравнения, но и как следствие выполнения самого преобразования возведения обеих частей уравнения в степень (в квадрат).

Выясним, что же происходит при переходе от уравнения к уравнению . Очевидно, что уравнение является следствием уравнения . Действительно, если х 0 – корень уравнения , то имеем верное числовое равенство . Тогда возводя обе части верного равенства в квадрат, получаем верное равенство . Тогда х 0 – есть также корень уравнения . Итак, каждый корень уравнения является также корнем уравнения , т. е. .

Но обратное в общем случае неверно, так как уравнению удовлетворяют также корни уравнения . Таким образом, при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. В общем случае верно следующее утверждение:

уравнение , где n  N , является следствием уравнения .

Пример 16 . Уравнение после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением-следствием . Действительно, единственный корень исходного уравнения – число — является корнем уравнения , но корень этого уравнения, полученный как корень уравнения , – число 5 – не является корнем исходного уравнения.

Пример 17 . Решите уравнение.

Решение : 1 способ. ОДЗ данного уравнения задаётся условием . Учитывая, что , имеем

Таким образом, корни исходного уравнения содержатся среди чисел и . Прежде чем сделать проверку, обратим внимание на часто встречающуюся ошибку. Переходя от данного уравнения к его следствию, находят корни. Затем проверяют, входят ли найденные корни в ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не входят в ОДЗ, отбрасывают, а остальные (входящие в ОДЗ исходного уравнения) выписывают в ответ. В этом и состоит ошибка. Нельзя ограничиться проверкой принадлежности найденных корней ОДЗ уравнения. Необходимо проверять, удовлетворяют ли корни следствия, входящие в ОДЗ исходного уравнения, самому исходному уравнению. Это подтверждается данным примером.

Действительно, оба корня совокупности удовлетворяют ОДЗ, но число 5 удовлетворяет исходному уравнению, а число –2 – нет. Итак исходное уравнение имеет единственный корень .

2 способ. Уравнение равносильно системе

, так как , и равенство накладывает на условие неотрицательности.

Тогда, решая данным равносильным переходом уравнение , можно не находить ОДЗ этого уравнения. Имеем

Итак, — единственный корень исходного уравнения.

В рассмотренных примерах при возведении обеих частей уравнения в квадрат (чётную степень) мы всегда переходили как минимум к уравнению-следствию. Это происходило из-за того, что появлялась возможность приобретения посторонних корней либо как результата расширения ОДЗ исходного уравнения, либо как следствие выполнения самого преобразования возведения в степень. При этом неявно использовался тот факт, что возведение в квадрат есть преобразование, определённое на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. (Функция определена на всей числовой оси.) В примере 14 было также указано, что данное преобразование приводит к равносильному уравнению, если выполняется на некотором множестве, а именно на промежутке монотонности функции (в примере 14 это луч ). Аналогичные рассуждения проводились при решении 2 способом уравнения примера 17. Таким образом, проведённые выше рассуждения в некоторой степени иллюстрируют справедливость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3. Пусть от уравнения мы перешли к уравнению . Если функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g (и тем более на всей числовой оси), то получаем уравнение-следствие (возможно приобретение посторонних корней). Если, кроме того, функция F монотонна на А , то получаем равносильное уравнение.

Доказательство: Пусть х 0 – корень исходного уравнения , тогда имеем верное числовое равенство . Так как функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g , то существуют значения , и . Значит х 0 – есть также корень уравнения . Итак, каждый корень уравнения является также корнем уравнения , т. е. .

Пусть теперь функция F монотонна на А . Рассмотрим х’ – корень уравнения , т. е. имеем верное числовое равенство . Предположим, что х’ не является корнем уравнения , т. е. . Тогда если для определённости , то в силу монотонности функции F ( F возрастает на А ) или ( F убывает на А ). Но . Таким образом, получаем противоречие, т. е. наше предположение неверно и . Значит х’ – есть также корень уравнения . Итак, если функция F монотонна на А , то , т. е. .

В результате, проводя такие преобразования, как возведение в степень, потенцирование, логарифмирование и т.д., следует учитывать условия выполнимости этих преобразований на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях исходного уравнения. Тогда на основе теоремы 3 можно утверждать, что верно следующее:

1. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень получится уравнение , равносильное данному.

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения () к равносильному ему уравнению (), понижая таким образом степень уравнения.

В итоге : , где А — общая часть множеств значений функций f и g , на которой определена функция F = z p .

3. Уравнение , где а  0, а  1, равносильно уравнению .

Действительно, потенцирование обеих частей уравнения приводит (по теореме 3) к равносильному уравнению , так как функция определена и монотонна на всей числовой оси.

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения к равносильному ему уравнению , таким образом как бы выполняя обратное преобразование – логарифмирование. Но последнее можно также рассматривать как переход от уравнения к уравнению . В данном случае этот переход оказался равносильным, так как показательная функция определена и монотонна на всей числовой оси. В частности, если b >0, то на основе выполнимости равенства можно утверждать равносильность уравнений и .

4. Уравнение , где а  0, а  1, равносильно уравнению .

Уравнение получается из уравнения в результате логарифмирования. Логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. В результате, учитывая тот факт, что (значит , иначе уравнение не имеет корней), можно утверждать (по теореме 3), что .

Но следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения к равносильному ему уравнению , таким образом как бы выполняя обратное преобразование – потенцирование. Последнее можно также рассматривать как переход от уравнения к уравнению . В данном случае этот переход оказался равносильным, так как логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси (, а значит и ).

5. Если и , то уравнение , где а  0, а  1, равносильно уравнению .

Действительно, уравнение получается из уравнения в результате логарифмирования. Логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. В результате, учитывая условия и , можно утверждать (по теореме 3), что .

Следует отметить, что на практике обычно осуществляют переход от уравнения к уравнению (переход от уравнения к уравнению ). В общем случае , где а  0, а  1, так как логарифмическая функция определена и монотонна только на положительной части числовой оси. Легко доказать, что .

Пример 18 . Являются ли уравнения и равносильными?

Решение : Второе уравнение равносильно уравнению , поэтому множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел: и . Однако число 1 не является корнем первого уравнения, так как не принадлежит ОДЗ первого уравнения. Поэтому данные уравнения не являются равносильными.

Данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения: .

Пример 19 . Решите уравнение .

Решение : 1 способ. ОДЗ уравнения есть любое . Применяя формулу , получаем уравнение , откуда находим .

Проделанное преобразование позволило решить данное уравнение только на части его ОДЗ, а именно для положительных х , где справедлива формула . На множестве уравнение не решалось, поэтому нельзя считать найденный корень единственным решением уравнения.

Решим уравнение на множестве . Поскольку и , то для получим уравнение , откуда находим . Этот корень удовлетворяет условию .

На каждом из двух подмножеств ОДЗ делались равносильные преобразования, поэтому исходное уравнение имеет два корня: и .

2 способ. Учитывая справедливость равенства при любом , имеем

3 способ. Уравнение равносильно системе Учитывая, что , получаем Таким образом, решением исходного уравнения являются и .

Рассмотрим, можно ли выполнять аналогичные преобразования (возведение в степень, логарифмирование, потенцирование) над неравенствами.

Пример 20 . Являются ли неравенства и равносильными?

Решение : ОДЗ первого неравенства определяется системой Значит, ОДЗ первого неравенства состоит из всех чисел отрезка .

Решением второго неравенства являются все числа из промежутка . Таким образом, данные неравенства не являются равносильными, так как, например, число является решением второго неравенства, но не входит в ОДЗ первого неравенства.

Второе неравенство является следствием первого:

Данные неравенства равносильны на ОДЗ первого неравенства:

Таким образом, при возведении в степень (в рассмотренном примере, в квадрат) могут появиться посторонние решения, т. е. переходим к неравенству-следствию. Но возможно и обратное – потеря решений. Это было показано ранее в пункте 2 в примере 5, а именно переход от неравенства к неравенству приводит к потере решений, так как .

Поэтому при решении неравенств следует в каждом конкретном случае отдельно решать вопрос о допустимости выполнения того или иного преобразования.

Исходя из условий существования и монотонности соответствующих функций, легко убедиться в справедливости следующих утверждений:

1. Неравенство является следствием неравенства , где n  N .

В частности, легко доказать, что

2. Неравенства , где n  N , и равносильны.

3. Пусть функции и неотрицательны на множестве А. Тогда на этом множестве неравенства и , где n  N , равносильны.

4. Неравенства и равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка .

Неравенства и равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка .

5. Пусть а – фиксированное число из промежутка . Тогда неравенство является следствием неравенства .

В частности, легко доказать, что если , то

Пусть а – фиксированное число из промежутка . Тогда неравенство является следствием неравенства .

В частности, легко доказать, что если , то

1) Пусть а – фиксированное число из промежутка и функции и положительны на некотором множестве А . Тогда на этом множестве равносильны неравенства и .

2) Пусть а – фиксированное число из промежутка и функции и положительны на некотором множестве А . Тогда на этом множестве равносильны неравенства и .

Пример 21 . Являются ли неравенства и равносильными?

Решение : Поскольку , то множество решений второго из данных неравенств состоит из всех чисел промежутков . Однако, например, число из промежутка не является решением неравенства , так как оно не входит в его ОДЗ, которое задаётся системой условий Поэтому данные неравенства не являются равносильными.

Второе неравенство является следствием первого:

Данные неравенства равносильны на ОДЗ первого неравенства:

Наконец рассмотрим очень часто применяемый переход от уравнения к совокупности уравнений .

Так, например, выше было отмечено, что переход от уравнения к уравнению в общем случае недопустим. При решении уравнения следует переходить к равносильному уравнению . Далее обычно переходят к совокупности .

Пример 22 . Решите уравнение .

Решение : Уравнение равносильно уравнению . Тогда возможны случаи: или . Но число 0 не может быть корнем исходного уравнения, так как не входит в его ОДЗ (). Поэтому корнями исходного уравнения являются только числа 1 и 2. Таким образом, .

Итак, в общем случае совокупность уравнений является следствием уравнения . Посторонними для уравнения будут те значения х , полученные при решении уравнений , для которых хотя бы одна из функций не определена. Поэтому, чтобы рассматриваемый переход был равносильным, следует осуществлять его на ОДЗ уравнения , т. е. на пересечении областей определений всех функций .

Пример 23 . Решите уравнение .

Решение : 1 способ. Уравнение есть следствие уравнения , поэтому

Поскольку исходное уравнение решалось переходом к уравнению-следствию, то необходимо сделать проверку. Проверкой устанавливаем, что числа 2 и 3 являются корнями исходного уравнения, а число 1 – нет.

2 способ. Учитывая, что совокупность уравнений является следствием уравнения , имеем

Делая проверку, устанавливаем, что и — корни исходного уравнения.

3 способ. Находим ОДЗ исходного уравнения: . Учитывая, что уравнение равносильно системе имеем

Следовательно, множество всех решений исходного уравнения состоит из чисел 2 и 3.

Итак, перенос слагаемых из одной части уравнения (неравенства) в другую, прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же числа, умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число приводит к равносильному уравнению (неравенству). К равносильному уравнению (неравенству) переходим также при замене выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом не происходит изменения ОДЗ уравнения (неравенства). Наконец, переход от уравнения к уравнению (и обратно) является равносильным, если функция F определена на общей части А множеств значений функций f и g и, кроме того, функция F монотонна на А .

Главная причина перехода от уравнения (неравенства) к уравнению(неравенству)-следствию — расширение ОДЗ уравнения (неравенства) . Преобразования, которые могут привести к расширению ОДЗ уравнения (неравенства):

• приведение подобных членов;
• взаимное уничтожение одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения (неравенства) (прибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же выражения);
• замена выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом происходит расширение ОДЗ уравнения (неравенства);
• умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, определённое на ОДЗ уравнения, в частности, освобождение от знаменателей;
• переход от уравнения к совокупности уравнений ;

— отбрасывание знака корня, логарифмов и т.д.

Посторонние корни (решения) могут появиться не только в результате расширения ОДЗ исходного уравнения (неравенства), но и как следствие выполнения самого преобразования, такого, как, например, возведение обеих частей уравнения (неравенства) в степень. При этом может произойти и обратное – потеря решений . Потеря корней (решений) также может произойти при замене выражения, входящего в уравнение (неравенство), тождественно равным ему выражением, если при этом происходит сужение ОДЗ уравнения (неравенства). Нельзя также допускать деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение h ( x ) (кроме случаев, когда точно известно, что h ( x )  0).

Таким образом, решение уравнения можно осуществлять двумя путями:

1) от уравнения всегда переходить к равносильному уравнению (неравенству, системе, совокупности) на некотором фиксированном множестве; при этом посторонние корни не появляются и не может произойти потери корней;

2) не учитывая условий равносильности переходов, осуществлять цепочку упрощений и прийти к отысканию корней последнего (самого простого) уравнения этой цепочки; тогда следует провести анализ решения в плане возможности появления посторонних корней или потери корней.

Решение же любого неравенства необходимо осуществлять только первым путём, учитывая условия перехода от данного неравенства к следующему неравенству (системе, совокупности) и не допускать приобретение, а тем более потерю решений.

№ 1. Выясните, какое из данных уравнений (неравенств) является следствием другого:

№ 2. Являются ли данные уравнения (неравенства) равносильными?

№ 3. Докажите, что уравнение равносильно системе:

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Основные методы решения задач по элементарной математике, Лунгу К.Н., Макаров Е.В., 2015

Основные методы решения задач по элементарной математике, Лунгу К.Н., Макаров Е.В., 2015.

В пособии отражены основные разделы элементарной математики, входящие в программу средней школы. Приведены задачи по темам, которые в школьной программе представлены недостаточно: обратные тригонометрические функции, текстовые задачи и др. Отдельную часть составляют тесты для подготовки к ЕГЭ.
Рекомендуется абитуриентам, готовящимся к поступлению в вузы технического и экономического профилей, школьникам старших классов для углубленного изучения математики, а также преподавателям средних школ для работы с учащимися.

Примеры.
Даны три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70% меди, второй — 10% меди и 90% марганца, третий — 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какой диапазон процентного содержания меди может быть в новом сплаве?

В две бочки были налиты растворы соли, причём в первой бочке было 16 кг, а во второй 25 кг. Оба раствора разбавили водой, так что доля соли уменьшилась в m раз в первой бочке и в n раз во второй. Известно, что mn = m + n + 3. Найти наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.

Бассейн наполняется водой из трёх труб. Первая наливает 30 м3 в час, вторая наливает в час на 3А м3 меньше первой, а третья наливает в час на 10А м3 больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 0,3 объёма бассейна, а затем все три трубы вместе наполняют бассейн. При каком значении А бассейн быстрее всего наполнится указанным способом, если 0 Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Основные методы решения задач по элементарной математике, Лунгу К.Н., Макаров Е.В., 2015 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу