Уравнения это золотой ключ открывающий все математические сезамы

« Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы » С. Коваль. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемИлья Васьковский

Похожие презентации

Презентация на тему: » « Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы » С. Коваль.» — Транскрипт:

1 « Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы » С. Коваль

0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b» title=»1. Является ли функция убывающей ? 2. Является ли функция возрастающей ? 3. Является ли показательным уравнение : 4. Верно ли, что D показательной функции является R? 5. Верно ли что, если b>0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b» > 3 1. Является ли функция убывающей ? 2. Является ли функция возрастающей ? 3. Является ли показательным уравнение : 4. Верно ли, что D показательной функции является R? 5. Верно ли что, если b>0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b=0, то уравнение не имеет корней ? 7. Верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатами (0;1) 8. Верно ли что, если b 0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b»> 0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b=0, то уравнение не имеет корней ? 7. Верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатами (0;1) 8. Верно ли что, если b 0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b» title=»1. Является ли функция убывающей ? 2. Является ли функция возрастающей ? 3. Является ли показательным уравнение : 4. Верно ли, что D показательной функции является R? 5. Верно ли что, если b>0, то уравнение имеет один корень ? 6. Верно ли что, если b»>

4 1)- ; 2)- ; 3) + ; 4) + ; 5) + ; 6) + ; 7) + ; 8)- ; 9)+ ;10)+ Критерии оценок : Правильные ответы Оценка 345

0, a1 b>0 да-нет Решений нет да» title=»a>0, a1 b>0 да-нет Решений нет да» > 8 a>0, a1 b>0 да-нет Решений нет да 0, a1 b>0 да-нет Решений нет да»> 0, a1 b>0 да-нет Решений нет да»> 0, a1 b>0 да-нет Решений нет да» title=»a>0, a1 b>0 да-нет Решений нет да»>

9 Уу=4=4 одна точка пересечения (2;4), значит решением уравнения будет точка x=2

11 Уравнение вида: где — числовые коэффициенты. Особенностью этих уравнений является наличие одного и того же коэффициента перед x. Для решения этого уравнения выносим за скобки множитель, где — наименьшее из чисел. После чего ур-е принимает вид: где — числовые коэффициенты. Особенностью этих уравнений является наличие одного и того же коэффициента перед x. Для решения этого уравнения выносим за скобки множитель, где — наименьшее из чисел. После чего ур-е принимает вид: Выражение в скобках является постоянной вели- чиной. Обозначив его буквой N, получим: при N0: Получилось простейшее показательное уравнение.

12 Методы решения ПУ Аналитический Графический вынесение общего множителя за скобки

14 Уравнение вида: где — числовые коэффициенты. Вынося за скобки соответственно и в скобках получаем постоянные величины, обозначив их через M и N, получим: составляем отношение: Пришли к известному уравнению

15 Методы решения ПУ Аналитический Графический вынесение общего множителя за скобки составление отношений

16 Ответ: 2 Пусть Вернемся к замене: замене:

17 Уравнение вида: (*) Его часто называют трехчленным ПУ. Производя подстановку наше уравнение обращается в обычное квадратное уравнение: Решив его, находим и. Затем решение уравнения (*) сводится к решению двух уравнений:

18 Методы решения ПУ Аналитический Графический вынесение общего множителя за скобки составление отношений замена переменной

19 1) 2) Ответ: 1 или 2 Пусть Вернемся к замене: замене: Ответ: нет решения Пусть Разделив обе части уравнения на получим: Разделив обе части уравнения на получим:

20 Уравнение вида: И решаются они с использованием однородности. Все члены этого уравнения содержат степени с разными основаниями, но показатели степеней в крайних членах уравнения вдвое больше, чем показатели степеней среднего члена. Это уравнение легко можно привести к виду уравнения на слайде 9, разделив его на, получим квадратное уравнение: С помощью подстановки уравнение принимает вид: который мы уже разобрали.

21 Методы решения ПУ Аналитический Графический вынесение общего множителя за скобки составление отношений замена переменной использование однородности квадратный трехчлен

22 1) 2) 1) 2) Ответ: 2 Ответ: 3 Т.к функция является убывающей, то горизонтальная прямая y=1 пересекает график функции f не более, чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Методом перебора находим, что x=2 Т.к функция является возрастающей, то горизонтальная прямая y=34 пересекает график функции f не более, чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Методом перебора находим, что x=3

23 Методы решения ПУ Аналитический Графический вынесение общего множителя за скобки составление отношений замена переменной использование однородности квадратный трехчлен использование монотонности функции

24 « Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения.»

25 1) 5) 9) 2) 6) 10) 3) 7) 11) 4) 8) 12)

26 Приведение к одному основанию Вынесение общего множителя за скобку Замена переменной ( к квадратному ) 2, 5, 10, 121, 7, 9, 113, 4, 6, 8

27 1) 1 7) 3 9) 2 11) -1 3) 2 4) 2 6) 1 8) -1 Критерии оценок : Два верных примера – 3 Три верных примера – 4 Четыре верных примера – 5

29 Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой — либо величины пропорциональна самой величине. В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид : y=y 0 a x

30 По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если для этого были бы благоприятные условия ( отсутствие хищников и обилие пищи ). Доказательство тому – обилие в Австралии кроликов и кенгуру.

31 Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число « потомков » 1 растения равнялось бы 243*10 15 ( около 2000 на 1 м 2 суши ). Потомство 2 х самок комнатных мух за 2 лета может составить 16* Оно имело бы массу, большую массы Земли. Только благодаря динамическому равновесию этого не происходит.

32 Процессы органического роста и органического затухания происходят по закону показательной функции. Закон органического роста выражается формулой : N=N 0 *e kt. По этому закону изменяется рост бактерий в идеальных условиях.

33 Радий распадается по закону : M=M 0 *e -kt, где М 0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Это закон органического затухания.

34 Рост древесины происходит по закону: A=A 0 a kt, где: A- изменение количества древесины во времени; A 0 — начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные. Рост древесины происходит по закону: A=A 0 a kt, где: A- изменение количества древесины во времени; A 0 — начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные. А A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn

35 Уровень I: 1) ; 2) ; 3) 4) Уровень II: Вариант I Вариант II Уровень III:

36 Уровень I: 1) 3; 2) 0; 3) 4; 4) 1 Уровень II: Вариант I:1) -2; 1; 2) 2; 3) 1; 4) 0 Вариант II:1) -6; 2) 1; 3) 3; 4) 0 Уровень III: Вариант I: 1) 0; 2) 1; 3) 0; 2; 4) 2 Вариант II:1) 1; 2) 1; 3) -3; 4) -1; 0

37 « Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по — моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно ». А. Эйнштейн

0, 2 корня ; Ответ:» title=»; Д=9+160=169 >0, 2 корня ; Ответ:» > 38 ; Д=9+160=169 >0, 2 корня ; Ответ: 0, 2 корня ; Ответ:»> 0, 2 корня ; Ответ:»> 0, 2 корня ; Ответ:» title=»; Д=9+160=169 >0, 2 корня ; Ответ:»>

40 11 часов – время наивысшей трудоспособности 15 часов – время наибольшего утомления 19 часов – вечерний подъем трудоспособности 21 час – время прекращения всякой деятельности

41 « Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы » С. Коваль

Уравнения это золотой ключ открывающий все математические сезамы

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.

В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.

Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:

Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

Какие вы используете чаще всего?

По результатам анкетирование были получены следующие результаты:

Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.

Мы поставили перед собой цель: изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.

Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:

собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,

освоить найденные способы решения,

составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,

разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,

провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 – 9 классов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.

Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 — 9 классов с данных материалом.

ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. 1. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:

Пример:

Пример:

Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:

Решим следующие уравнения:

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.

Пример:

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме Виета

Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = –bx–c .

Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = –bx–c в одной системе координат.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

1) х 2 + 2х – 3 = 0

В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = — 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х — 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.

В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции

Парабола у =2х 2 и прямая у = — 4х — 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

1. 1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:

Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).

Провести окружность радиуса SA.

Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

При этом возможны три случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х₁; 0) и D(х₂;0), где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х₁; 0 ), где х₁ – корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS 2 –8х + 6 = 0.

Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).

Пример 2: х 2 –6х + 9 = 0.

Решение: Найдём координаты S: x=3, y=5.

Пример 3: х 2 + 4х + 5 = 0.

Решение: Координаты центра окружности: х= — 2 и y = 3.

Ответ: нет корней

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». — М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDFполучим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример 1:z 2 — 9z + 8 = 0.

На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.

Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).

Пример 2: 2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

Пример 3:x 2 – 25x + 66 = 0

Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z, получим уравнение:

которое решаем посредством номограммы.

Пример 4: z 2 + 5z – 6 = 0, номограмма даёт положительный корень z₁=1, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из — p, т.е. z₂= — p –1= — 5 – 1= -6.

Пример 5: z 2 – 2z – 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z₁=4, а отрицательный равен z₂= — p –4 =

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel – это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.

Лист программы Excel, где отображены формулы:

Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 – 14x – 15 = 0:

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D и D1

Универсальность, т.к. можно использовать для решения абсолютно всех квадратных уравнений

Громоздкий дискриминант, не входящий в таблицу квадратов

Быстрота решения в определённых случаях и экономия времени

Если дискриминант не является полным квадратом целого числа.

Не целые коэффициенты b и с.

Выделение полного квадрата

При правильном преобразовании в квадрат двучлена получаем квадратное уравнение неполного вида и следовательно быстрее находятся корни

Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах уравнения

Можно решить, не зная формул

Не всегда среднее слагаемое удаётся разложить на подходящие слагаемые для группировки

Не требуется формул.

Можно быстро узнать количество корней уравнения

Свойства коэффициентов a,b,c

Для уравнений с большими коэффициентами

Подходит только для некоторых уравнений

«Переброс» главного коэффициента

Быстрота решения, если корни целые

Такие же как с помощью теоремы Виета

Все, что требуется для решения–это номограмма

Не всегда имеется с собой номограмма.

Нахождение корней с помощью циркуля и линейки

Если координаты центра нецелые числа.

Нахождении корней уравнений с большими коэффициентами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Уолтер Варвик Сойер

В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.

Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие – помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.

Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.

Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.

Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).

Материал нашей работы можно рекомендовать для внеклассных и факультативных занятий по математике. Учителя могут использовать его для небольшого элективного курса «Необычные способы решение квадратных уравнений».

Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.

Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.

Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.

Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.

Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.

Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.

Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. — 2000.- № 40.

Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.

Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,

М.: Педагогика, 1989.

Интернет ресурсы:

«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»

Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.

1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D

D = b 2 – 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня

4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым

3. Метод выделения полного квадрата

(2х + — )( 2х + + )=0, произведение =0, когда один из множителей=0

4. Способ группировки

(4х-1)( х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0

5. Свойства коэффициентов

6. Метод «переброски» главного коэффициента

Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:

7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

8. Графический способ решения

В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции

у = — 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:

9. С помощью номограммы

4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение

Номограмма даёт положительный корень = ,

а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из — p, т.е.

10. Решение данного уравнения в EXCEL

«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ

“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ”»

Урок — путешествие «Квадратные уравнения».

Эпиграф к уроку » Уравнения — это золотой ключ. открывающий все математические сезамы».

Просмотр содержимого документа
«Урок — путешествие «Квадратные уравнения».»

Урок — путешествие «Квадратные уравнения». (8 класс).

«Уравнение -это золотой ключ , открывающий все математические сезамы.»
С Коваль.

На этом уроке повторяются и закрепляются знания различных способов решения квадратных уравнений.

Обучающая цель: Коррекция умений и навыков; учащиеся должны знать формулы корней квадратного уравнения, теорему Виета, знания различных способов решения квадратных уравнений, уметь решать квадратные уравнения всех видов — неполные, приведенные, полные, решать задачи с помощью составления квадратных уравнений и применять различные способы решения квадратных уравнений.

Развивающая цель: Развивать память, мышление учащихся, вычислительные навыки, интерес к предмету, коммуникативность , навыки самостоятельной работы.

Воспитательная цель: Воспитывать у учащихся чувство ответственности за свой труд — учебу, чувство товарищества, взаимопомощи и взаимовыручку.

Метод: Частично-поисковый, репродуктивный, исследовательский.

Оборудование: Презентация к уроку. Карточки-задания для групп, карточки с номерами,

Тема урока: Решение квадратных уравнений.

Цель урока: Повторить все правила и формулы решения квадратных уравнений, рассмотреть решение задач с их применением.

I этап: Организационный.

Здравствуйте, ребята! Математика — это история, история развития человеческой мысли, интеллекта. А когда и где люди научились решать квадратные уравнения? Вот мы и отправимся сегодня в путешествие.

II этап: Фронтальное повторение.

Для того, чтобы отправиться в путешествие, что мы с вами должны взять с собой?

Это «багаж» знаний по теме решение квадратных уравнений и лист самоконтроля, который вы мне после урока сдадите..

Давайте познакомимся с листом самоконтроля.