Уравнения эйлера для жидкости в гидравлике

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера.

Модель идеальной жидкости. уравнения движения Л. Эйлера. Идеальная или невязкая жидкость-это упрощенная модель реальной (вязкой) жидкости. Предполагается, что идеальная жидкость обладает всеми свойствами реальной жидкости, за исключением вязкости, так что уравнение Навье-Стокса можно применить, установив p = 0 **для получения уравнения движения. Тогда уравнения движения вязкого газа (5.8) и движения вязкой несжимаемой жидкости (5.9) упрощаются, принимая вид: Ря ± ри -=*% -, p. = 4T -. (5.37)） * Р ДХ(к у РДУ Л1 Р ДГ 0I » Уравнение(5.37) называется уравнением Эйлера.

Они описывают идеальное движение жидкости по сжимаемости и несжимаемости. Их векторную форму можно легко получить из соответствующих уравнений Навье-Стокса и поместить в них V = 0. (5.10) найти (5.12) П (\!П) дгаи Р = yxdX,(5.38） Иначе говоря П-(1 / р) bgab п-ди / Д1 +(в) с,(5.39） И затем П (1 / р) dgayr-egyo = Ди / Д1-эээ. (5.40 утра )） Удобную форму уравнения сжимаемой жидкости для интегрирования можно получить, приняв прямое давление.

Колмогоров Андрей Николаевич (родился в 1903 году) ученый и выдающийся советский математик. Автор фундаментальных исследований в области теории вероятностей, теории функций, топологии и математической логики. Людмила Фирмаль

• Он предложил много плодотворных идей в статистической теории турбулентности. В. Девяносто девять Четыре * Введение функций давления, определенных процессом (см.§ 4.1) и Формулой (4.5) (4.7).Уравнение (5.40) принимает вид Egayon(Φ+ ^ + sa / 2)= d / d1-их d. (5.41） Для несжимаемых жидкостей (5.42） (5.43） бгайо(Ф Р! п -) АСП / 2)= Ди / Д1-их＆ Используйте обозначение E =Φ+ k +для описания (5.41) в компактном векторном формате. -bgab E = di / d1-и XY или проекция оси Уравнения Эйлера и уравнения неразрывности для несжимаемых жидкостей образуют замкнутую систему. Для сжимаемых газов эта система должна быть добавлена по крайней мере к 1 уравнению, представляющему, например, баротропные условия или другую термодинамическую зависимость.

• Граничные условия твердой поверхности для идеальной вязкой жидкости варьируются в широких пределах. Когда идеальная жидкость движется, частицы не прилипают к твердой поверхности, и жидкость скользит вдоль стенок. Граничным условием в этом случае является непроницаемость границы, что означает, что в случае неподвижной стенки нормальная составляющая скорости жидкости исчезает на границе И » | C =0.(5.45)） Это условие означает, что вектор скорости касается граничной поверхности. То есть граничная поверхность является обтекаемой. Поэтому любую линию течения идеальной жидкости можно считать сплошной границей, не нарушая структуру течения. Если идеальное движение жидкости является потенциальным, то условие (5.45) задается как: «Н | з = d0P / DN и 0 = 0, (5.46） Где 0p-потенциал скорости.

Для плоского течения с функцией потока φ (x, y) граничные условия твердой поверхности можно описать следующим образом: 1С Ф = ФО = сот!、 Оттуда, твердая стена 1 из потока, и значение функции потока φ0. Людмила Фирмаль

• Сто Если граничная плоскость задается уравнением 5 (x, y, r)= 0, то 5-вектор, перпендикулярный этому plane. So условие(5.45)эквивалентно условию ортогональности вектора скорости стенки и / С и вектора§gas15.Поэтому скалярное произведение этих векторов в стенке равно нулю. ». Vg » 13 =и.+ |«, Н-|-«.0. (5.47） Для подвижных сплошных границ используются условия непрерывности течения и непроницаемости стенок. Это приводит к тому, что нормальная составляющая скорости n» |будет равна. С жидкостью и стенками. Если движущийся интерфейс задается уравнением 5 (x, y, 2, 0 = 0), то последнему условию можно придать другую форму. Если частица движется непрерывно, то ее координаты x(0, y (0, 2 (0)) должны всегда удовлетворять поверхности граничного уравнения, т. е. 5 [x ( * ), y(I), 2(1), Λ=0.ом8= 0.、 Граничные условия свободной поверхности идеальной и вязкой жидкости следующие.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

Уравнения движения жидкости Л. Эйлера

В соответствии с основным – вторым законом динамики И.Ньютона произведение массы m на ускорение dw/dt равно сумме внешних действующих сил åF:

Л. Эйлер предложил формы этого закона, удобные для исследования движущейся жидкости.

4.1 Уравнение количества движения для струйки тока

Наиболее простая из этих форм – гидравлическая, применима для стационарного течения несжимаемой жидкости на участке (АB) трубки тока, рисунок 4.1.

Рисунок 4.1 — К вопросу об изменении количества движения на участке трубки тока стационарно движущейся несжимаемой жидкости

Рекомендуемые файлы

На массу m жидкости на участке АB трубки тока действуют внешние (поверхностные и объемные) силы åF, изменяя скорость на участке АB на величину Dw = w₂ – w_1. Но это изменение скорости фактически распределяется на часть массы жидкости dm, которая войдет и выйдет за время dt через сечения f₁ и f₂ со скоростями w₁ и w₂ соответственно. Из условия сохранения массы для несжимаемой жидкости следует

При этом количество движения остальной части жидкости (на участке A 1 – B) не изменяется . В этом смысле можно сказать, что изменение скорости Dw на участке АB под действием сил åF получает за время dt только часть жидкости dm. Поэтому второй закон Ньютона в данном случае можно записать в виде

Подставляя Dw = w₂ – w₁ , получим (после сокращения на dt):

Это и есть уравнение количества движения для струйки тока (Л.Эйлер, 1757).

Отметим, что ускорение при установившемся движении в данном случае возникает как бы в результате переноса за время dt массы dm жидкости из начального сечения А, где скорость w_1, в конечное B, где скорость w₂. Такое ускорение жидкости называют конвективным (в отличие от локального ¶w/¶t, возникающего в данной точке пространства только при неустановившемся течении).

4.2 Примеры использования уравнения количества движения

4.2.1 Сила давления R струи на плоскую стенку, расположенную под углом a к оси струи

Выберем сечения потока как показано на рисунке 4.2. Спроектируем уравнение количества движения (4.2) на касательное (t) и нормальное (n) направления к поверхности

Рисунок 4.2. Схема натекания струи на плоскую стенку под углом a.

Если жидкость невязкая, касательные напряжения раны нулю, и сила в этом направлении t отсутствует: F_t = 0.

В направлении нормали сила воздействия стенки на струю F_n очевидно равна по величине и противоположна по направлению силе давления струи на стенку

где f₁ – площадь сечения струи.

4.2.2 Реакция вытекающей струи

Истечение струи жидкости плотностью r из бака (см. рисунок 4.3) происходит под действием перепада давлений

где h — глубина расположения насадка (отверстия).

Рисунок 4.3. Истечение тяжелой (капельной) жидкости из бака.

В баке на значительном расстоянии перед отверстием в сечении f₁ жидкость можно считать неподвижной (w₁ » 0). Уравнение (4.2) принимает вид

Величину Dp = rgh можно рассматривать как потенциальную энергию единицы объема жидкости, которая в сечении f₂ переходит (без потерь) в кинетическую энергию , т.е.

Dp = rgh = ,

w₂ = = = .

Поскольку сумма сил åF, действующих на струю, сонаправлена вектору w₂, то уравновешивающая сила ее сила реакции R (действующая на стенки бака и насадки) направлена в противоположную сторону:

Таким образом, реакция R противоположна скорости течения w₂, равна удвоенной величине силы статического давления на площадь f₂ сечения струи

êR ê= rQw₂ = rQ= 2grf₂ h= 2Dpf₂. (4.4)

4.2.3 Давление потока на криволинейные стенки канала

При движении по криволинейному каналу жидкости на его стенки действуют силы давления (см. рисунок 4.4), а на торцевые(живые) сечения f₁ и f₂ и сила инерции потока, определяемая по уравнению количества движения.

Рисунок 4.4- Схема сил, действующих на стенки канала со стороны жидкости

Во входном сечении f₁ действует сила R₁, динамическая составляющая которой равна секундному количеству движения rf₁w₁ 2 , а статическая – силе гидростатического давления p₁f₁, так что

Аналогично в сечении f₂:

Полная сила R воздействия потока на стенки канала равна геометрической сумме сил R₁ и R₂ направленных по внутренним нормалям к сечениям f₁ и f₁), см. рисунок 4.4:

Полученные соотношения лежат в основе прикладных расчетов силового воздействия потока на стенки каналов гидромашин.

4.3 Уравнение момента количества движения для исследования вращательного движения жидкости также предложено Л.Эйлером.

Рассмотрим движение жидкости в рабочем колесе центробежного насоса, рисунок 4.5.

Рисунок 4.5 — Схема движения жидкости в рабочем колесе ценробежного насоса

Пусть r₁ и r₂ – внутренний и внешний радиусы, u₁ = wr₁, u₂ = wr₂ соответствующие окружные скорости колеса, имеющего угловую скорость w.

Абсолютная скорость жидкости на входе и выходе межлопаточного канала c₁ и c₂. Скорость w_i движущейся частицы жидкости массой m относительно колеса равна векторной разности соответствующих абсолютных c_i и окружных u_i скоростей

Если a_i – угол между векторами c_i и u_i (u_i всегда направлена по касательной), то момент количества движения относительно оси вращения колеса

Применяя теорему об изменении количества движения (второй закон Ньютона для вращательного движения) – «изменение (во времени) момента количества движения относительно оси вращения равно моменту внешних сил M»:

= M,

=M. (4.6)

Это и есть уравнение Эйлера.

Замечая, что = rQ [кг/c] – секундный массовый расход жидкости, последнее уравнение можно переписать в виде (после умножения обеих частей на угловую скорость w):

где P = Mw – мощность.

Полученное уравнение (4.7) используется для расчета лопастных роторных машин — насосов, турбин (для турбин векторы с₂ и с₁ имеют противоположные направления, т.к. поток входит в сечение «2», а выходит из сечения «1»).

Мощность будет максимальной при cosa₁ = 0 (радиальный вход потока для насоса и радиальный выход для турбины). В этом случае:

4.4 Уравнение движения жидкости Эйлера в частных произведениях

Это уравнение описывает наиболее общий случай (установившегося и неустановившегося) движения идеальной (сжимаемой и несжимаемой) жидкости. Его можно получить, если, в соответствии со вторым законом Ньютона (4.1), сумму всех действующих на частицу жидкости сил, отнесенных к единице массы SF/m, приравнять ее ускорению dw/dt. Но величина уже подсчитана при выводе дифференциальных уравнений гидростатики Эйлера:

(R – Ñp) — для объемных и поверхностных сил давления. Поэтому эти уравнения легко обобщаются на искомые уравнения, описывающие движущуюся идеальную жидкость:

dw/dt = R – Ñp (4.8)

– в векторной записи;

= R_x – ;

= R_y – ; (4.8 1 )

= R_z – ;

– в проекции на оси координат;

= R_z – , i = 1,2,3 (4.8 11 )

– в тензорных обозначениях.

В этих уравнениях Л. Эйлера w(x,y,z) – скорость жидкой частицы, координаты которой сами изменяются во времени: x(t); y(t); z(t). Поэтому входящие в уравнение (4.8) полные производные по времени для каждой из проекций скорости можно записать в виде

= , (4.9)

где = w_x; = w_y; = w_z .

Или более кратко: в тензорных обозначениях:

, (4.9 1 )

где i = 1; 2; 3; ( по немому индексу «к» предполагается суммирование) к = 1,2,3.

В векторных обозначениях:

dw/dt = w/t + (wÑ)w. (4.9 11 )

Здесь первые слагаемые – частные произведения по времени от скорости w/t показывают изменение скорости w во времени в данной точке пространства (локальные ускорения), а остальные слагаемые (wÑ)w отражают изменение скорости w при перемещении частицы из одной точки пространства в другую (конвективное ускорение).

Таким образом, уравнения Эйлера можно записать в развернутом виде в проекциях на оси координат

= R_x – ;

= R_y – ; (4.10)

= R_z – ;

в векторном виде:

w/t + (wÑ)w = R – gradp (4.10 1 )

в тензорных обозначениях

= R_i = – , (i = 1,2,3; (4.10 11 )

Дифференциальные уравнения Эйлера совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости (r = const) жидкости (3.11) образуют систему четырех уравнений, содержащих четыре неизвестных w_x; w_y; w_z; p.

В случае сжимаемой (r ¹ const (p)) жидкости (газа) к уравнениям Эйлера и неразрывности (3.12) необходимо добавить еще одно, определяющее связь между давлением и плотностью

где f(p) – заданная функция.

Это уравнение называется условием баротропности и, являясь предположением* ) , во многих случаях хорошо оправдывается опытом.

Интегрируя эти замкнутые системы уравнений (для несжимаемой или сжимаемой жидкостей) при заданных граничных и начальных (для неустановившихся течений) условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление (а для сжимаемой жидкости и плотность) в любой точке потока и в любой момент времени.

Обычно выделяют два рода задач: внешние и внутренние задачи. К внешним относятся задачи обтекания тел, находящихся в потоке (например, обтекание крылового профиля): к внутренним — исследование течений внутри проточных систем (течение в трубе).

Граничные условия при обтекании тел задают распределение скоростей и давлений вдали от тела. Поскольку внешние задачи обычно рассматриваются в системе координат, связанных с обтекаемым телом, задаются:

во-первых, условие «на бесконечность» – в удалении перед обтекаемым телом давление p_¥, направление и величина скорости w_¥ невозмущенного набегающего потока;

во-вторых, условие «непроницаемости» обтекаемых стенок: нормальная (перпендикулярная) к стенке компонента скорости равна нулю w_n.ст = 0. Скорость у стенки может иметь только касательную составляющую.

Граничные условия при исследовании течения в канале задаются, во-первых, на входе в канал(поле скоростей, давлений) и на выходе (обычно давление); во-вторых, на смачиваемых стенках каналов — то же условие непроницаемости (w_n.ст = 0).

Начальные условия характеризуют состояние потока в некоторый момент времени t при неустановившемся течении. Для установившегося течения начальные условия не задаются.

* ) На самом деле уравнение термодинамического состояния (Клапейрона -Менделеева, Ван — дер- Ваальса и т.п.) связывают три параметра состояния, один из которых

температура. Условие баротропности, заменяющее уравнение состояния, позволяет исключить из рассмотрения температуру. Обычно условие (4.11) соответствует какому — либо политропическому процессу.