Уравнения эйлера примеры с логарифмами

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k_i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020

Повторяем логарифмы

Повторяем логарифмы

Формулы и свойства логарифмов

Логарифмом числа по основанию ( ) называется такое число , что , то есть записи и равносильны. Логарифм имеет смысл, если .

Если немного перефразировать — Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число (Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого языка буквально означает «число, изменяющее отношение».

Специальные обозначения:1. Натуральный логарифм — логарифм по основанию , где — число Эйлера.

1. 2. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

1° — основное логарифмическое тождество.

2°

3°

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1, только возведя его в нулевую степень.

4° — логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° — логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° — логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° — переход к новому основанию.

Примеры решения задач

Задание. Вычислить , если

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмическим называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции.

Самое простое логарифмическое уравнение имеет вид logax = b, где a и b — некоторые числа, x — неизвестное.
Решением данного уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если x будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log2х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log22. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Простейшие логарифмические уравнения

К таковым относятся уравнения типа log2х = log216. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим x = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения logax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Выше использованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

· одинаковые числовые основания у логарифмов

· логарифмы в обеих частях уравнения находятся свободно, т. е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log2х = 2log2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log2х+log2 (1 — х) = log2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообще, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

В скобках могут находиться совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т. п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать. Возьмем другой пример:

log3 (2х-5) = log3х

Применяем потенцирование, получаем:

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4х-1), получаем:

Дальше уже дело техники:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше уравнение log3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log39, ведь 3 2=9.

Тогда log3 (2х-1) = log39 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь большое значение. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log3 (x 2-3) = log3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от простейшего уравнения, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы, конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим, необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log3 (x 2-3) = log3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня, поэтому находим их сумму:

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Проверка прошла успешно, теперь очередь х2= -1:

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень x = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в наше ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т. п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log3 (x 2-3) = log3 (2х)

log3 (x 2-3) = log3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т. е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифмическое выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ x > v3. Теперь точно известно – какие из значений x нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х1= 3 и х2= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т. е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Эйлер. Обобщающий урок по теме «Логарифмы».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Лист самооценки» Обучающегося класса __________________________ Количество примеров (вписываем год, фамилию, букву)Сумма верных ответов 1Определения имени 2Год рождения 3Отец 4Фамилия учителя 5Прибыл в Петербург 6Учился в 7Число научных работ итого

Решение логарифмических уравнений и неравенств. (урок обобщения и систематизации изученного)

Цели урока: Отработать навыки решения логарифмических уравнений и неравенств. Совершенствовать навык работать самостоятельно; Воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели; Развивать интерес к математике

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед Нивей

1. Знаете ли вы имя мужчины– математика, принимающего экзамены в Кадетском корпусе, занимавшегося вопросом устройства пожарных насосов, работавшего в Комиссии мер и весов, в Географическом департаменте? 1. Непер – 11001 2. Спайделл – 10101 3. Коши– 01110 4. Эйлер– 10111 Определите, какие предложения истинны, а какие ложные. Истинному выражению поставьте в соответствие 1, а ложному – 0. Получив упорядоченный набор из единиц и нулей, вы узнаете верный ответ. 1. Верно ли выражение = 1,5 ? 2. Верно ли выражение Логарифмом числа в>0 по основанию а>0 и а 1 называется показатель степени, в которую нужно возвести число в, чтобы получить число а. 3. Верно ли выражение 4.Верно ли выражение 5.Верно ли, что log a 1 = 0

Огюстен Луи Коши

2. Знаете ли вы в каком году он родился? Год рождения записан в таблице Проверьте правильность, вычислив значение выражения: 170718081780 012

3. Кто был его отец? Число, записанное под названием священного сана, равно количеству верных ответов: 1.Ln(x-3)>ln(2x-8) Отв: (4;5) 2. Отв: (4;+∞) 3. Отв: (0,5;5] 4. Отв:( ;6] 5. log 4x + log 4(x – 3)

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 602 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 20.02.2018
• 492
• 4

• 16.02.2018
• 1046
• 1

• 11.02.2018
• 2522
• 50

• 01.02.2018
• 671
• 4

• 25.01.2018
• 2337
• 24

• 20.01.2018
• 671
• 0

• 20.01.2018
• 1476
• 13

• 17.01.2018
• 320
• 3

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 20.02.2018 592
• PPTX 6.8 мбайт
• 0 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Виноградова Светлана Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1915
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.