Уравнения фигур на плоскости 9 класс

Уравнения фигур

Уравнение фигуры — это уравнение с двумя переменными x и y, для которого выполняются два условия: 1) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют этому уравнению.

Содержание:

Понятие уравнения фигур

Название этого раздела означает: геометрические фигуры можно задавать уравнениями (некоторые фигуры можно задавать неравенствами).

Известно, что точки плоскости и пространства задаются их координатами, геометрические фигуры могут задаваться уравнениями или неравенствами: — уравнение прямой; — уравнение окружности; — уравнение сферы и т. д.

Говорят, что фигура F задается уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются два условия:

1. Если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению.

2. Если числа х, у, г удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Второе условие можно выразить иначе: координаты любой точки, не принадлежащей фигуре F, не удовлетворяют данному уравнению.

Например, прямая, перпендикулярная оси Ох и проходящая через точку М(2, 0), на оси Ох задается уравнением х = 2 (рис. 2.461). Действительно, каждая точка, лежащая на этой прямой, имеет одну и ту же координату 2. А любая точка, не лежащая на этой прямой, имеет другое значение координаты х, нежели 2. Ось Оу задается уравнением х = 0.

Аналогично прямая, перпендикулярная оси Оу и проходящая через точку Щ0, 3), имеет уравнение у = 3 (рис. 2.462). Ось Ох имеет уравнение у = 0.

Уравнение прямой

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Любая прямая в декартовой системе координат хОу имеет уравнение вида — некоторые числа.

Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение имеет тот или иной частный вид.

1. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:

Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ординату ; следовательно, прямая параллельна оси х (рис. 2.463). В частности, если с = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

2. Этот случай рассматривается аналогично. Прямая параллельна оси Оу (рис. 2.464) и совпадает с ней, если и с = 0.

3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0; 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 2.465).

Если в общем уравнении прямой коэффициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим: Или, обозначая получим: у = kх + d.

Коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью Ох. В уравнении прямой, изображенной на рисунке 2.466, k > 0.

Коэффициент k в уравнении прямой называют угловым коэффициентом прямой.

Уравнения окружности и сферы

Составим уравнение окружности с центром в точке и радиусом R (рис. 2.467).

1. Возьмем произвольную точку А(х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра О равно R.

2. Квадрат расстояния от точки А до точки О равен (формула расстояния между точками).

3. Координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению

(2, определение окружности).

Получили искомое уравнение. Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению окружности, принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки О равно R. Отсюда следует, что данное уравнение действительно является уравнением окружности с центром в точке О и радиусом R.

Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Выведем теперь уравнение сферы. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат и задана сфера S с центром и радиусом R. Эта сфера есть множество точек М, для которых расстояние от А равно R, т. е. AM = R (рис. 2.468).

Пусть х, у, z — координаты точки М. Согласно формуле расстояния между точками в пространстве, предыдущее равенство можно записывать в координатах так:

Это и есть уравнение сферы S с центром и радиусом R, т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой сферу S (рис. 2.468).

Если центр А находится в начале координат, т. е. то уравнение получает простой вид:

Рассмотрим шар с центром и радиусом R (рис. 2.469).

По определению, это множество точек М, для которых , т. е. . Выражая расстояние AM через координаты точки М(х, у, z), получим:

Это неравенство задает шар S с центром и радиусом R, так как оно равносильно неравенству , задающему такой шар по самому его определению.

Если центр шара находится в начале координат, то уравнение шара упрощается и имеет вид:

Два предприятия A и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Решение:

1. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу — через точку А (построение) (рис. 2.470).

2. Пусть N — произвольная точка, — расстояния от точки N до предприятий А и Б (рис. 2.471).

3. При доставке груза из пункта А расходы равны (1,2).

4. При доставке груза из пункта Б расходы равны (1,2).

5. Если для пункта N выгоднее доставлять груз с предприятия А, то откуда , в обратном случае получим (3,4).

6. Таким образом, границей этих двух областей для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и Б равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению (5)

7. Выразим через координаты:

(1,2, формула расстояния между точками).

8. Имея в виду равенство из п. 6, получим:

(6,7).

9. Это есть уравнение окружности (рис. 2.472).

Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, — из пункта А.

Пример 2.

Два наблюдаемых пункта находятся в точках Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от точки А на расстояние км, а от В на расстояние с км (с > ). Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А все время оставалось в два раза больше, чем расстояние от него до пункта В. По какой линии должен идти наблюдатель?

Решение:

Из условий задачи имеем:

1. Два наблюдаемых пункта находятся в точках

2. Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удален от А на расстоянии км, а от В — с км (с > ).

3. Наблюдатель идет так, чтобы расстояние до пункта А было в два раза больше, чем до В.

4. По какой линии должен идти наблюдатель?

5. Примем за начало координат наблюдательный пункт О и направление оси Ох будет проходить через пункты А и В (по условию задачи эти три точки находятся на одной прямой) (рис. 2.473).

6. Пусть наблюдатель находится в точке М(х, у). Вычислим расстояние от наблюдателя до пунктов А и В (рис. 2.473):

(1, 2, 3, 5, формула расстояния между точками).

7. По условию задачи имеем: МА = 2MB, т. е.

(3, 6).

8. Решая это уравнение, получим:

9. Раскроем скобки и перегруппируем:

10. Наблюдатель должен идти по окружности с центром и радиусом (4, уравнение окружности).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Презентация «Уравнение фигуры. Уравнение окружности»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение окружности. Уравнение линии на плоскости. Уравнение фигуры

Повторяем! O x y A(2;4) 1 1 2 2 4 B(1;2) Вывод: если точка принадлежит графику уравнения, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению.

Алгебра: По заданному уравнению линии исследовать ее свойства. Геометрия: По геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.

Задачи урока: Узнать, что называется уравнением линии, окружности; Понять, как по заданным свойствам окружности найти ее уравнение; Научиться находить уравнение окружности.

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Х И У НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕМ ЛИНИИ L, ЕСЛИ ЭТОМУ УРАВНЕНИЮ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЛИНИИ L И НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮТ КООРДИНАТЫ НИКАКОЙ ТОЧКИ, НЕ ЛЕЖАЩЕЙ НА ЭТОЙ ЛИНИИ. Определение:

Уравнением фигуры Ф, заданной на плоскости xy, называют уравнение с двумя переменными x и y, имеющее такие свойства: если точка принадлежит фигуре Ф, то ее координаты являются решением данного уравнения; любое решение (x;y) данного уравнения является координатами точки, принадлежащей фигуре Ф. Определение:

У Х 0 М (х;у) r C (х0;у0) УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ СМ= (х – х0)2 + (у – у0)2 СМ = r, или СМ2 = r2 r2 = (х – х0)2 + (у – у0)2 Уравнение окружности общего вида

У Х 0 М (х; у) r УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ (с центром в начале координат) МО= (х – 0)2 + (у – 0)2 r2 = х2 + у 2

Как составить уравнение окружности: — узнать координаты центра; — узнать длину радиуса; подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности общего вида.

Например: 1. Центр С (2;4), радиус r = 3; уравнение окружности: (х – 2)2 + (у – 4)2 = 9 2. Центр С (0;0), радиус r = 4; уравнение окружности: х2 + у2 = 16

Решить задачи: Окружность задана уравнением: . Укажите координаты центра окружности и ее радиус. №№ 327, 328, 330, 332 Решить самостоятельно.

Дома: Выучить определения и формулы уравнений; Выполнить упражнения: №№ 329, 331, 333.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 011 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Шарыгин И.Ф.

12.2. Уравнение линии

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 30.01.2020
• 138
• 0

• 30.01.2020
• 182
• 0

• 30.01.2020
• 114
• 0

• 30.01.2020
• 189
• 1

• 29.01.2020
• 1110
• 15

• 29.01.2020
• 275
• 0

• 25.10.2019
• 1118
• 28

• 24.10.2019
• 395
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.01.2020 1007
• PPTX 739 кбайт
• 103 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Булдакова Светлана Валерьяновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 6828
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.