ТЕМА 6. Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода. Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами. Теоремы Фредгольма.
- Алевтина Вышеславцева 5 лет назад Просмотров:
1 ТЕМА 6 Неоднородное уравнение Фредгольма -го рода Уравнения Фредгольма с вырожденными ядрами Теоремы Фредгольма Основные определения и теоремы Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма yx ( ) = λ Kxs ( ) ysds ( ) + f( x) Сопряженным (союзным) интегральным уравнением называется уравнение с ядром K ( x = K( s x) Если ядро симметрическое то союзное уравнение совпадает с исходным Наряду с уравнением y( x) = λ K( x y( ds + f ( x) y = λ Ay + f будем рассматривать союзное с ним интегральное уравнение ψ ( x) = λ K ( x ψ( ds+ g( x) (в операторной форме ψ = λ A ψ + g ) g(x) — непрерывная функция Сформулируем 4 теоремы Фредгольма Теорема Однородное уравнение () ϕ( x) λ K( x ϕ( ds = и союзное с ним однородное уравнение () ψ ( x) λ K ( x ψ( ds= 4 или в операторной форме (K * (x =K(s x)) при любом фиксированном λ имеют либо только тривиальные решения либо одинаковое конечное число линейно независимых решений: ϕ ϕ ψ ψ В курсе лекций теорема была доказана для интегральных уравнений с вырожденными и симметрическими ядрами Теорема Для разрешимости неоднородного уравнения () ϕ( x) λ K( x ϕ( ds = f ( x) необходимо и достаточно чтобы f (x) была ортогональна всем линейно независимым решениям однородного союзного уравнения () ( f ( x) ψ ψ ψ если λ — характеристическое число) В курсе лекций теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер Теорема (альтернатива Фредгольма) Либо неоднородное уравнение () разрешимо при любой неоднородности — непрерывной функции f (x) либо однородное уравнение () имеет нетривиальное решение В курсе лекций теорема была доказана для случаев симметрических и вырожденных ядер Теорема 4 Множество характеристических чисел однородного уравнения () не более чем счетно с единственной возможной предельной точкой
2 Этот результат справедлив для любого вполне непрерывного оператора В курсе лекций он был получен для вполне непрерывных самосопряженных операторов и тем самым доказан для случая симметрических ядер Для интегральных операторов с вырожденными ядрами результат тривиален Замечание В курсе лекций теоремы Фредгольма были доказаны для уравнений с симметрическими непрерывными ядрами и уравнений с непрерывными вырожденными ядрами Они справедливы и для общего случая произвольного непрерывного ядра так как имеет место следующая Теорема Интегральное уравнение Фредгольма рода y = λ Ay + f с невырожденным ядром при фиксированном λ можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром Опишем процедуру решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма y( x) = λ K( x y( ds + f ( x) λay + f в случаях вырожденного ядра и симметричного ядра Напомним что ядро K ( x интегрального оператора Фредгольма называется вырожденным если оно представимо в виде K( x = ( x) ( где функции ( x) ( = непрерывны по своим аргументам на [ ] Не ограничивая общности можно считать что ( x) ( x) линейно независимы и ( ( также линейно независимы Рассмотрим уравнения Фредгольма рода yx ( ) = λ Kxs ( ) ysds ( ) + f( x) с вырожденным ядром функция K( x = ( x) ( где f (x) заданная непрерывная = Обозначив c = () s y() s ds будем иметь y( x) = λ c ( x) + f ( x) Для нахождения c получим эквивалентную систему алгебраических уравнений c = y( x) ( x) dx= λ c ( x) ( x) dx+ f( x) ( x) dx или i i i i = ki fi Обозначим определитель этой системы D( λ) = = c λ k c = f i= i i i = λk λk λk λk λk λk λk λk λk Теорема Если λ не является характеристическим числом (те D ( λ) ) то интегральное уравнение Фредгольма рода имеет решение при любой непрерывной неоднородности f (x) причем это решение единственно для каждой функции f (x) Решение алгебраической системы для c в этом случае может быть найдено например по формулам Крамера: c = D ( λ) f где D ( λ) — алгебраические i ki k D( λ ) k = ki 44
3 дополнения i-го столбца определителя D( λ ) ( D (λ) и D ( λ ) называются определителями Фредгольма) Подставляя или c в формулу y( x) = λ c ( x) + f ( x) получим yx ( ) f( x) λ D( λ) ( x) f( s ) ( sds ) = = + y ( x) = f ( x) + λ R( x s λ) f ( ds где резольвента интегрального оператора ki i k i= D( λ) k= ki R( xs λ) = Dki ( λ) i ( x) k ( D( ) λ i= k= Теперь рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма -го рода в случае симметрического ядра Пусть ядро K ( x непрерывно по совокупности переменных симметрическое и K( x / λ — вещественное число f (x) — заданная непрерывная функция Пусть λ λ λ — последовательность характеристических чисел интегрального оператора которым соответствует ортонормированная система собственных функций ϕ ϕ ϕ (каждое характеристическое число повторяется в этой последовательности столько раз какова его кратность. ) Возможны два случая: а) λ k = Тогда решение можно записать в следующем виде λ k + λ y( x) = f ( x) f k ϕ k ( x) где fk = f() s ϕk() s ds k = λk λ — коэффициенты Фурье функции f ( x ) по ортонормированной системе собственных функций ϕ ϕ ϕ или ϕk( x) ϕk( y( x) = f( x) + λ f( ds= f( x) + λ R( x s λ) f( ds k = λk λ где k = R( x s λ ) ϕk( x) ϕk( Rxs ( λ) = — резольвента интегрального оператора Фредгольма λ λ k б) λ = λko где λ ko — характеристическое число интегрального оператора имеющее кратность r те ему отвечают r ортонормированных собственных функций ϕko( x) ϕ ko + r ( x) В этом случае решение не единственно и определяется формулой λ fk yx ( ) = f( x) + ϕk( x) + ckoϕko( x) + + cko+ r ϕko+ r ( x) λ λ k = k ko k k + r k где c ko c ko+ r — произвольные константы причем решение существует при условии ортогональности f (x) всем собственным функциям ϕko( x) ϕ ko + r ( x) соответствующим характеристическому числу λ ko Бесконечный ряд записанный в данном выражении сходится абсолютно и равномерно Заметим что решения отличаются одно от другого на функции являющиеся элементами Ker ( I λ A) (нуль-пространства) оператора I λ A Теорема А) Если однородное уравнение Фредгольма -го рода с непрерывным симметрическим ядром имеет только тривиальное решение (те λ k = ) то λ k 45
4 неоднородное уравнение имеет единственное решение для любой непрерывной функции f (x) Б) Если же однородное уравнение имеет нетривиальные решения (те λ = λk совпадает с одним из характеристических чисел) то неоднородное уравнение разрешимо в том и только том случае когда неоднородность непрерывная функция f (x) ортогональна всем собственным функциям соответствующим данному λ (ортогональна всем решениям однородного уравнения) В) В последнем случае если решение есть то оно не единственно Теорема (Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений Фредгольма -го рода с симметрическими ядрами): Либо неоднородное уравнение имеет решение при любой непрерывной функции f (x) либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение Примеры решения задач Пример 6 Показать что характеристические числа однородного уравнения Фредгольма yx ( ) = λ ( s + sxysds ) ( ) и соответствующего однородного союзного уравнения ( ) = λ ( + ) ( ) zx x sxzsds совпадают и при этих λ указанные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений Решение Обозначим sysds () = sy () s ds = zsds () = sz() s ds= Тогда решения указанных уравнений примут вид yx ( ) = λ+ λx zx ( ) = λx + λx и для определения коэффициентов получим λ λ = λ s ( + ds= = λ ( ) s + s ds= λ λ = λ ( s + ds= = λ s( s ds + = Итак при λ имеем = = y( x) z( x) = = при λ = остаются произвольными Поэтому λ = является характеристическим числом для обоих рассматриваемые уравнений и при этом λ они имеют по два линейно независимых решения: y( x) = y( x) = x и z( x) = x z( x) = x 46
5 Пример 6 Для каждого λ исследовать разрешимость и построить решение неоднородного уравнения Фредгольма -го рода с вырожденным несимметрическим ядром yx ( ) = λ ( s sxysds ) ( ) + x ( ) = λ ( ) ( ) sysds () = sy () s ds = тогда решение его имеет вид ( ) λ λ λ λ = λ s ( ds= = λ ( ) s s ds= Итак при Решение Рассмотрим соответствующее однородное уравнение Обозначим где yx s sxysds yx = x λ ± = = однородное уравнение имеет только тривиальное решение а значит исходное неоднородное уравнение имеет единственное решение При λ =± (характеристические числа) однородное уравнение имеет нетривиальные решения: если λ =+ то y ( x) = C если λ = то y ( x) Cx = Поэтому для указанных значений λ вопрос о разрешимости неоднородного уравнения сводится к проверке ортогональности функции f ( x) = x собственным функциям однородного союзного ( ) = λ ( ) ( ) уравнения zx x sxzsds Найдем собственные функции однородного союзного уравнения zsds () = sz() s ds= λ = λ ( s ds= При тогда решение его имеет вид λ = λ ( ) = s s s ds λ =+ получаем = — произвольно откуда f( x) z( x) dx= C x x dx= Обозначим zx ( ) = λx λx где z( x) Cx и те исследуемое уравнение разрешимо и решение его не единственно при λ = имеем = — произвольно откуда z ( x) Cx и f( x) z( x) dx= C x xdx те у исследуемого неоднородного уравнения решений нет Чтобы решить уравнения sysds () = sy() s ds= λ где = s ( λ λs+ s ) ds= снова обозначим yx ( ) = λ ( s sxysds ) ( ) + x тогда решение представимо в виде λ ( λ λ ) = s s+ s ds= + 5 yx ( ) x x = λ λ + 47
6 При λ = имеем = = следовательно решений нет как и было 5 установлено ранее при λ =+ получим = = C — произвольная постоянная поэтому 5 yx ( ) C x+ x те решение не единственно и определяется с точностью до собственной функции ядра y ( x) = C отвечающей λ = + 6 Если λ ± то = = и единственное решение дается формулой 5( + λ) 6λ x yx ( ) = + x 5( + λ) Пример 6 Построить резольвенту уравнения Фредгольма yx ( ) = λ si( x+ ysds ( ) + f( x) а) вычислив определители Фредгольма б) в виде разложения по собственным функциям однородного уравнения Решение а) Ядро исследуемого оператора K( x = si( x+ = si xcos s+ cos xsi s является вырожденным Обозначим ( six () cos () si элементы определителей Фредгольма k = ( x) ( x) dx: i i k = ( x) ( x) dx= sixcosxdx= k = ( x) ( x) dx= cosxcosxdx= k = ( x) ( x) dx= sixsixdx= k = ( ) ( ) cos si x x dx= x xdx= Вычислим определители Фредгольма: D( λ) = D( λ) = D( λ) = λ D( λ) = λk λk λk λ λk λk λk D( λ) = = = λ λ λk λk λk Искомая резольвента Rxs ( λ) = Dki ( λ) i ( x) k ( в случае D ( λ) D( λ ) i= k= те λ ± примет вид Rxs ( λ) = Dki ( λ) i ( x) k ( = D( λ ) i= k= si xcos s+ λ si xsi s+ λ cos xcos s+ cos xsi s si( x+ + λ cos( x = = λ λ 48
7 б) Характеристические числа и собственные функции однородного уравнения yx ( ) = λ si( x+ ysds ( ) были получены в примере 8: λ = и нормированная собственная функция y( x) = (six+ cos x) λ = и нормированная собственная функция y( x) = (six cos x) Подставляя их в формулу для резольвенты в случае ϕk( x) ϕk( симметрического непрерывного ядра Rxs ( λ) = имеем λ λ si( x + + λ cos( x (si x+ cos x)(si s+ cos (si x cos x)(si s cos Rxs ( λ) = + = λ λ λ Заметим что этот же результат был получен ранее методом последовательных приближений для «малого» λ (см пример 47) k = k yx ( ) = si xsi s+ s ysds ( ) + si x Пример 64 Решить уравнение ( ) Решение Обозначим si sy ( s ) ds = C sy() s ds = C тогда решение примет вид yx ( ) = ( Csi x+ C) + si x Постоянные C C могут быть найдены из системы C C C = si s ( si s+ + si ds= C C C C = s ( sis+ + si ds= C Итак C = C — остается произвольным C = C и искомое решение C определяется неоднозначно: yx ( ) = si x + (si x+ ) Замечание В рассматриваемом случае λ = совпадает с характеристическим числом однородного уравнения = λ ( + ) yx ( ) sixsi s s ysds ( ) Поэтому решение неоднородного уравнения оказалось не единственно и определилось с точностью до собственной функции соответствующего однородного уравнения отвечающей характеристическому числу λ = Действительно используя введенные выше обозначения решение однородного уравнения представим в виде yx ( ) = λ( Csi x+ C) Постоянные C C найдем из системы 49
8 C = si s λ( C si s+ C ) ds= λc C = s λ( Csi s+ C) ds= λc C( λ ) = Cλ C = нетривиальное решение которой C = C C = C существует при λ = Таким образом λ = — характеристическое число а ( ) (si ) y x = C x+ — отвечающие ему собственные функции Рекомендуем самостоятельно найти собственные функции однородного союзного уравнения zx ( ) = ( sixsi s x) zsds ( ) + и убедиться в выполнении условия разрешимости те ортогональности неоднородности f ( x) = six всем собственным функциям однородного союзного уравнения отвечающим характеристическому числу λ = Пример 65 Решение Решить уравнение Обозначим yx ( ) = xsysds ( ) + x C = sy() s ds тогда решение если оно существует можно записать в виде yx ( ) = C x+ x Подставляя это выражение в предыдущую формулу для определения постоянной C получим уравнение C = s ( C s + ds = C+ которое 5 решений не имеет Поэтому исследуемое интегральное уравнение Фредгольма yx ( ) = xsysds ( ) + xрешений также не имеет Замечание Элементарно устанавливается что λ = является характеристическим числом однородного уравнения Фредгольма yx ( ) = λ xsysds ( ) с собственной функцией y ( x) = C x Так как ядро симметрическое то λ = является также характеристическим числом однородного союзного уравнения с той же собственной функцией z ( x) = C x В рассматриваемом случае имеем λ = = λ те λ совпадает с характеристическим числом однородного уравнения При этом условие разрешимости (ортогональность неоднородности f ( x) = x всем собственным функциям однородного союзного уравнения) не выполнено 5
9 Пример 66 Рассмотрим неоднородное уравнение Фредгольма yx ( ) = λ Kxs ( ) ysds ( ) + f( x) с симметрическим непрерывным (невырожденным) ядром x ( x s K( x = s( x) s x xs [ ] ) При λ λ где λ = ( ) — собственные значения исследуемого интегрального оператора Фредгольма (см пример 77) построить резольвенту интегрального оператора и записать решение неоднородного уравнения ) Исследовать разрешимость уравнения при различных значениях λ и найти решение если оно существует в следующих случаях: а) f ( x) = si x б) f ( x) = x Решение ) Если λ λ = ( ) то используя построенную в примере 77 ортонормированную систему ϕ ( x ) = si x запишем соответствующую формулу для резольвенты интегрального оператора Фредгольма с симметрическим ядром ϕ( x) ϕ( six sis Rxs ( λ) = = = λ λ = λ Тогда решение неоднородного уравнения примет вид six sis y( x) = f( x) + λr( x s λ) f( ds= f( x) + λ f( ds = λ Меняя порядок суммирования и интегрирования в последней формуле получим решение в виде разложения в ряд по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма с симметрическим ядром six f six y( x) = f ( x) + λ si s f ( ds = f ( x) + λ λ λ где f = = = si s f ( ds — коэффициенты Фурье по соответствующей ортонормированной системе ϕ ( x ) = si x ) Если λ λ = ( ) то неоднородное уравнение разрешимо при любой непрерывной функции f ( x ) Используя полученные выше формулы и вычисляя соответствующие интегралы имеем: si x sis si x 4 si x а) yx ( ) = si x+ λ si sds= si x+ λ = λ 4 λ 4 λ б) = + si x si s ( ) si x yx ( ) x = + λ sds= x+ λ = λ = ( λ) Если же такое что λ = λ = те λ совпадает с одним из характеристических чисел то ответ на вопрос о разрешимости уравнения зависит от конкретного вида функции f ( x ) В случае б) решение не существует ни при каких λ = λ = ( ) так как f ( x) = x при любом не ортогональна соответствующей собственной функции 5
10 ϕ ( x ) = si x однородного союзного уравнения (ядро симметрично поэтому однородное союзное уравнение совпадает с исследуемым при f( x) ) В случае а) необходимо рассмотреть два варианта При λ = 4 решение не существует так как неоднородность f ( x) = si x не ортогональна собственной функции ϕ( x) = si x однородного союзного уравнения отвечающей заданному значению λ = λ = 4 При λ = λ = 4 функция f ( x) = si x ортогональна собственной функции ϕ ( x ) = si x ( ) однородного союзного уравнения отвечающей рассматриваемому λ = λ = те решение существует но не единственно и sikx siks представимо в виде yx ( ) = si x+ sisds+ Csix где λ k= k k C — произвольная постоянная Меняя порядок суммирования и интегрирования заметим что все слагаемые в сумме при k равны нулю тк λ siks si s dx = ( k ) Поэтому учитывая что sis si sds = ( k = ) окончательно получим 4si x yx ( ) = si x + si x Csix Csix 4 + = 4 + где C — произвольно Задачи для самостоятельного решения 6 Построить резольвенту уравнений Фредгольма -го рода с симметрическим вырожденным ядром при значениях λ не совпадающих ни с одним их характеристических чисел: — через определители Фредгольма — в виде разложения по собственным функциям ядра: а) б) в) yx ( ) = λ xsysds ( ) + f( x) yx ( ) = λ ( x+ ysds ( ) + f( x) yx ( ) = λ ysds ( ) + f( x) г) yx ( ) = λ (+ cos( x ) ysds ( ) + f( x) д) yx ( ) = λ (si xsi s+ si xsi sysds ) ( ) + f( x) 6 Исследовать разрешимость при различных значениях λ и решить интегральные уравнения Фредгольма -го рода: а) yx ( ) = λ x( + ysds ( ) + x 5
11 б) в) г) д) е) ж) з) и) к ) л) yx ( ) = λ xysds ( ) + si x yx ( ) = λ (+ xsysds ) ( ) + x yx ( ) = λ xsi sysds ( ) + x s ysds x yx ( ) = λ rccos ( ) + 4 yx ( ) = λ tgs ysds ( ) + ctgx 4 yx ( ) = λ sixcos sysds ( ) + cosx yx ( ) = λ cos( x+ ysds ( ) + yx ( ) = λ ( + x ysds ( ) + si x ( ) = cos ( ) ( ) + si ( ) = λ ( + 5 ) ( ) yx λ x s ysds x yx xs xs ysds x м) yx ( ) = λ Kxs ( ) ysds ( ) + cos x где ( x + ) s x s K( x = ( s + ) x s x Ответы к задачам 6 а) б) в) г) д) xs xs Rxsλ ( ) = = λ λ λ(+ x + ( x+ Rxs ( λ) = 4λ Rxsλ ( ) = λ cos( x Rxsλ ( ) = + λ λ si xsi s+ si xsi s Rxsλ ( ) = λ 6 а) При 6 λ — единственное решение 5 x 7λ 6 yx ( ) = x + при λ = — решений нет 6 5λ 5 5
12 б) При λ — единственное решение yx ( ) = si x при λ = — yx ( ) = Cx+ si x- решение не единственно 6 в) При λ — единственное решение yx ( ) = x 7 6 при λ = — yx ( ) = x+ C(+ x) — решение не единственно 7 г) При λ — единственное решение x yx ( ) λ при λ = — решений нет д) При λ — единственное решение yx ( ) = λ + при λ = — решений нет x 8( λ) е) При всех λ — единственное решение λ yx ( ) = ctgx+ ж) При всех λ — единственное решение λ yx ( ) = cosx+ six 4λ six з) При λ ± — единственное решение yx ( ) = при λ = — решений нет + λ при λ = — yx ( ) = Ccosx six+ — решение не единственно λ и) При λ λ — единственное решение yx ( ) = si x+ x λ при λ = — решений нет x при λ = — yx ( ) = C+ si x+ — решение не единственно к) При λ λ six yx ( ) = λ при λ = — решений нет при λ = — yx ( ) = six+ C — решение не единственно 5 4 л) При λ λ — единственное решение ( ) 7 4 = + λ λ + x при λ = — решений нет при λ = — yx ( ) = + Cx x + 7x — решение не единственно 4 м) При λ λ ( ) — единственное решение x + e e (six+ cos x) yx ( ) = cosx+ λ + λ ( λ+ ) при λ = λ = — решений нет при λ = ( = 4) — решение не единственно x + e e (six+ cos x) yx ( ) = cos x+ λ C(six cos x) λ ( λ+ ) 54