Уравнения гармонического колебания х 0 15

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Гармоническое колебание (пример формулы)

Гармоническое колебание это простейшее периодическое колебание, при котором смещение х меняется со временем по закону синуса (или косинуса).

Что такое гармоническое колебание

Это периодически повторяющееся движение, при котором тело отклоняется от некоторого среднего положения то в одну, то в другую сторону, называется колебательным движением; этот вид движения весьма распространен в природе.

Оно свойственно частицам вещества: атомам и молекулам, с колебательным движением частиц среды связаны звуковые явления, оно лежит в основе многих электриче ских явлении, например переменного тока, электрических колебаний, электромагнитных волн и т. п.

Изучение колебательного движения начнем с наиболее простого случая — механических колебаний. При этом обратим главное внимание на колебательное движение таких тел, которые имеют только одно положение устойчивого равновесия.

Если такое тело выведено из положения равновесия внешней силой, то оно под действием внутренних сил возвращается в него постепенно путем многократных колебаний около этого положения.

Такое колебательное движение могут совершать, например ножки камертона, натянутая струна, любое свободно подвешенное тело (качели, маятник) и т. п.

При колебательном движении положение тела в каждый данный момент времени определяется расстоянием его от среднего положения, которое называется смещением, а также направлением движения.

Весьма распространенным видом колебательного движения является простое, или гармоническое, колебание.

Оно происходит под действием силы, прямо пропорциональной смещению и направленной к положению равновесия.

Характерным признаком гармонического колебания является изменение смещения во времени по закону синуса или косинуса.

Пример гармонического колебания

В качестве примера рассмотрим свободное колебание горизонтального пружинного маятника (рис. 2, а).

Маятник состоит из тела С, подвешенного к стойке АВ, с помощью тяги АС и упорного стержня ВС, которые могут свободно поворачиваться вокруг оси стойки.

Такая подвеска полностью уравновешивает силу тяжести тела С при любом его положении.

С обеих сторон к телу С прикреплены пружины F, закрепленные в неподвижной раме Е. При отклонении тела С от среднего положения одна из пружин растягивается. Сила F, с которой пружина действует на тело, прямо пропорциональна его смещению s и направлена в сторону, обратную смещению:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств пружины, а знак минус указывает, что действие силы обратно направлению смещения.

Если отклонить тело С из среднего положения и затем представить действию упругих сил пружин, то оно будет совершать колебательное движение: возвратившись под действием силы пружин к среднему положе нию, тело по инерции пройдет его и отклонится в противоположную сторо ну; достигнув максимального отклонени я , тело под действием силы пружин снова возвратится в исходное сложение, по инерции пройдет его в обратном направлении и т. д.

Как характеризуются колебательные движения

Колебательное движение, в том числе и гармоническое колебание, характеризуются:

1. Наибольшим смещением или амплитудой колебания
2. Периодом колебания или временем, в течение которого совершается одно полное колебание.

Период колебания Т измеряется в секундах. Вместо периода колебание можно характеризовать частотой v. Частота колебаний— это величина, обратная периоду v = 1/Т.

Иначе, частота — это число колебаний, которое тело совершает в течение 1 сек. Размерность частоты 1/сек или сек -1 . Практически частота измеряется в единицах, называемых герц (гц).

Герц — это частота, при которой за 1 сек происходит одно полное колебание. В герцах измеряют частоту колебаний любой природы.

Изучение колебаний

Гармоническое колебание удобно изучать, например, с помощью модели. На горизонтальном диске А, который вращается с постоянной скоростью, укреплен на стержне маленький шарик N.

Шарик совершает равномерное движение по окружности. Рассмотрим движение, которое совершает точка п, являющаяся проекцией шарика N на любой из диаметров окружности.

В качестве проекции шарика на диаметр окружности можно рассматривать его тень, отбрасываемую на экран Э, установленный рядом с диском перпендикулярно направлению световых лучей. При вращении диска тень шарика на экране будет совершать колебательное движение.

Составим уравнение для этого движения, которое связывает между собой смещение s, амплитуду а и период Т (или частоту v) колебания и таким образом позволяет определить величину и знак смещения в любой заданный момент времени.

Рассмотрим положение точек N и п в какой-либо момент времени t (рис. 3). Соединим точку N с центром окружности. Радиус ON совершает вращательное движение с угловой скоростью:

ω = 2 π /Т ,

где Т — есть период обращения. За начало отсчета времени t = 0 примем момент, когда точка N находится на горизонтальном диаметре, а точка п соответственно — в центре окружности. Тогда угол φ, пройденный радиусом ON за время t , будет:

Из треугольника ONn (угол при вершине которого равен углу φ как угол имеющий параллельные стороны) следует, что On = ON sin φ, где On — смещение s точки п в момент времени t, ON —радиус окружности или амплитуда а колебания. Подставляя эти значения, получим:

s = a sin φ = a sin ωt.

Смещение изменяется от времени по закону синуса, следовательно, точка п совершает гармоническое колебание. Уравнению можно придать также и несколько иной вид:

s = a sin( 2 π t/Т) = a sin 2 π vt

Величина, находящаяся под знаком синуса, т. е.

φ = ωt = 2 π vt = 2 π t/Т

называется фазой колебания и измеряется в градусах или радианах. Величину ω = 2 π v = 2 π t/Т входящую в выражение для фазы колебания, называют к руговой частотой гармонического колебания.

Что такое ф аза колебания

Фаза колебания есть величина, характеризующая состояние колебательного процесса в каждый заданный момент времени.

Зная фазу колебания и его амплитуду, можно для любого момента времени определить величину и знак смещения, т. е. определить положение колеблющегося тела.

Имея в виду, что определенным частям периода соответствуют определенные величины фазы колебания, можно, зная эти величины и найдя соответствующие им синусы углов, определить величину смещения в долях амплитуды а.

Можно построить график, соответствующий уравнению гармонического колебания. График показывает изменение смещения s тела (откладывается по оси ординат) от времени t, которое отложено по оси абсцисс.

По форме график является синусоидой (рис. 4) и может быть построен, пользуясь данными таблицы.

График колебания

График колебания можно получить также и путем непосредственной записи движения тела на равномерно движущейся бумажной ленте.

Например, к телу С нашего горизонтального маятника можно прикрепить воронку с мелким песком, а под ним расположить лист смазанной клеем белой бумаги, который равномерно передвигается в направлении, перпендикулярном направлению колебаний (см. рис. 2, а).

Тогда песочная струйка запишет на бумаге кривую (см. рис. 2, б), ординаты которой соответствуют смещениям маятника в различные последующие моменты времени.

Полученная таким образом кривая совпадает по характеру с графиком (рис. 4). В обоих случаях кривые изображают колебание, развернутое по времени: каждая точка кривой является концом ординаты, изображающей смещение тела в последующие, равномерно расположенные по горизонтальной оси моменты времени.

В первом случае это получается в результате движения ленты, во втором — это обеспечивается в самом процессе построения графика.

Амплитуда гармонических колебаний

Энергия Е тела, совершающего гармоническое колебание, состоит из кинетической и потенциальной, которые в процессе колебания периодически переходят одна в другую.

В момент наибольшего смещения скорость тела на мгновение делается равной нулю и вся энергия тела является потенциальной:

По мере движения тела к положению равновесия скорость его увеличивается и потенциальная энергия постепенно переходит в кинетическую.

При прохождении телом положения равновесия скорость его максимальна и вся энергия переходит в кинетическую:

Определим эту энергию. рассмотренной модели гармонического колебания (см. рис. 2) наибольшая скорость υ_m точки п при прохождении среднего положения равняется скорости υ движения точки N по окружности, так как в этот момент скорости этих точек параллельны и одинаковы по величине.

Эта скорость υ_m = 2 π а/Т, где а — амплитуда колебания или радиус окружности, а Т — период колебания. Поэтому для энергии Е тела с массой т, совершающего гармоническое колебание, можно написать следующее выражение:

Подставляя значение скорости υ_m, получаем:

Е = (mυ 2 m)/2 = m/2((2 π a/T) 2 ) = 2 π 2 ma 2 v 2

Энергия тела, совершающего гармоническое колебание, прямо пропорциональна массе тела, квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Пример амплитуды гармонических колебаний

Рассмотрим колебание тела, которое началось на промежуток времени t₀ раньше момента начала отсчета времени (обычно время t₀ выражают в долях периода Т колебания).

В этом случае к началу отсчета времени тело уже имеет смещение s₀, как это показано на графике рис. 5 , а. Смещению s₀ соответствует фаза колебания φ₀, которая называется начальной фазой, и по общему правилу может быть представлена так:

Составим уравнение для данного колебания . Угол φ ‘, определяющий положение радиуса точки N в момент времени t, будет φ ‘= φ + φ₀ . где φ₀ —угол, соответствующий начальной фазе колебания (величина постоянная), а φ — угол, образуемый при движении точки N и прямо пропорциональный промежутку времени t: φ =ωt.

Тогда, рассуждая аналогично предыдущему случаю (см. рис 3), можно написать:

График колебания, описываемый этим уравнением, изображен на рис. 5 , а.

Рассуждая аналогично, можно убедиться, что если колебание началось на промежуток времени t₀ позже начала отсчета времени, то его уравнение будет иметь вид:

Его график изображен на рис. 5 , б.

Если два колебания одинаковой частоты начинаются одновременно, то говорят, что они имеют одинаковую фазу или что они находятся в фазе.

Если сопоставляются два колебания одинаковой частоты, начавшиеся не одновременно, то говорят, что они имеют разность фаз или сдвиг фазы φ_{1- 2}, соответствующий разнице во времени t_1-2 между началами колебания (рис. 5, в).

При этом одно из них называют опережающим (или наоборот, запаздывающим) по фазе относительно другого.

Про два колебания, разность фаз у которых составляет π или 180°, говорят, что они находятся в противофазе.

Связь между гармоническим колебанием и равномерным движением по окружности

Представим себе произвольную точку D, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω рад/с (рис. ). Уравнение движения точки D примет вид

где φ — угол поворота подвижного радиуса 0D относительно неподвижного OK, а φ₀ — начальное значение угла φ в момент времени t = 0.

В то время как точка D вращается по окружности от К к L и снова к K, проекция точки D на диаметр MN — точка D’ — движется вдоль отрезка МN от одного из его концов к другому и обратно, совершая колебательное движение.

Обозначим расстояние 0D’ через х. Тогда уравнение движения точки D’можно записать в виде

Если в момент времени t = 0 начальное значение угла φ₀ = 0, то уравнение движения точки D’ примет вид

х = A sin φ = A sin ωt.

Функция sin ωt является простейшей периодической функцией от времени, значит точка D’ совершает периодические колебания.

Если на оси ординат откладывать значения смещения х, а на оси абсцисс время t, то можно получить график гармонического колебания, который представляет собой синусоиду.

Поскольку sin φ меняется в пределах от +1 до —1, то смещение х точки D’ от центра колебаний 0 находится в пределах:

—A≤x≤A.

Максимальная величина этого смещения |х |макс = A называется амплитудой колебания.

Затухающие и незатухающие колебания

Колебания, происходящие с неизменной амплитудой, называются незатухающими. Колебания, происходящие с уменьшающейся амплитудой, называются затухающими.

Чтобы поддерживать незатухающие колебания, необходимо создать такой механизм, который за одно полное колебание точки сообщит ей дополнительно столько энергии, сколько потеряно точкой за это же время на преодоление трения, сопротивления и т. п.

Аргумент ωt стоящий под знаком синуса, называется фазой колебания. Величина со, характеризующая угловую скорость вращения точки D, называется циклической частотой гармонического колебания точки D’.

Время, в течение которого тело совершает одно полное колебание (время между двумя последовательными прохождениями точки через положение равновесия в одном и том же направлении), называется периодом полного колебания Т.

Время движения колеблющегося тела от положения равновесия до максимального отклонения и обратно до положения равновесия называется периодом простого колебания. Период простого колебания равен половине периода полного колебания.

Циклическая частота со связана с периодом Т и обычной частотой v (v — число колебаний за единицу времени) такими соотношениями

ω = 2 π/Т

ω = 2 π v .

Частота v измеряется в герцах. 1 Гц равен 1 колебанию в секунду. Фазу колебания φ можно записать в виде

Фаза показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебания.

Статья на тему Гармоническое колебание

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – , а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

С течением времени смещение груза уменьшается относительно , но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение () равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде ():

здесь: – циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, – начальная фаза, () фаза колебания с течением времени .
Из математики известно, что поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений.

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания – время одного полного колебания:

)

б) частота колебания – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Единица
c) циклическая частота – количество колебаний за секунд:

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются.
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Формула и решение:

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где — масса шарика, закрепленного на пружине, — проекция ускорения шарика вдоль оси — жесткость пружины, -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение соответствует квадрату циклической частоты

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь фаза колебания, — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

или

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Сила тяжести действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити и перпендикулярная нити Сила натяжения и составляющая силы тяжести уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей «пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой в проекциях на ось ОХ:

Приняв во внимание, что:

Для уравнения движения математического маятника получим:

Где — длина математического маятника (нити), — ускорение свободного падения, — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение также соответствует квадрату циклической частоты

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на (а).

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на а колебания смещения на

(см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения имеет максимальное значение:

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна а в точке равновесия максимальна:

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

b) для математического маятника:

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

• Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

(2)

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малые, то Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Подставив выражение для в формулу I (2), получим

Подставляя выражения для и в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение , модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости груза в точке с

Так как

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту можно выразить через длину маятника и амплитуду колебаний. Если колебания малые, то Из (см. рис. 10) находим:

или

Подставив выражение (3) для в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для и (4) для в соотношение (1), находим:

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда модуль скорости маятника и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты и проекции скорости груза а также для находим его потенциальную энергию и кинетическую энергию в произвольный момент времени

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение определяет начальную потенциальную, а начальная скорость определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Определите период колебании маятника.
Дано:

Решение

По закону сохранения механической энергии

Ответ:

Пример №2

Груз массой г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Его смешают на расстояние см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Определите потенциальную и кинетическую энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Решение Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени координата груза Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Ответ:

• Вынужденные колебания в физике
• Электромагнитные колебания
• Свободные и вынужденные колебания в физике
• Вынужденные электромагнитные колебания
• Закон Архимеда
• Движение жидкостей
• Уравнение Бернулли
• Механические колебания и волны в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.