Уравнения геометрических мест точек удовлетворяющих заданным условиям

Геометрические места точек

Геометрическим местом точек называют множество точек, заданное условием, являющимся и свойством, и признаком.

Другими словами, все точки из рассматриваемого геометрического места точек, и только они, удовлетворяют заданному условию.

Примеры геометрических мест точек (сокращённо ГМТ ) на плоскости представлены в следующей таблице, причём геометрические места точек изображаются в таблице красным цветом .

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.

При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:

1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.

3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Некоторые геометрические места точек, часто используемые

Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих

2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии

oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.

3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт

данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая

параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.

А выбираем произвольно.

4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).

5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,

является биссектриса этого угла. (См. построение 4).

6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под

данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.

I случай:

— данный угол,

АВ – данный отрезок.

Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется

половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то

При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по

одну сторону от данного отрезка

II случай:

1. О – середина АВ.

Полуокружность

(Любой угол, опирающийся на диаметр –

прямой).

III случай:

Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга

АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.

Геометрические места точек.Элективный курс
материал по алгебре (9 класс) на тему

Элективный курс в рамках предпрофильной подготовки

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

ГБОУ лицей-интернат Центр одаренных детей

Программа элективного курса по алгебре « Геометрические места точек» для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Каткова Галина Геннадьевна- учитель математики Образование – высшее, педагогический стаж-29лет, Квалификационная категория -высшая

Пояснительная записка Ведущее место математического образования определяется: -практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, -развитием творческих способностей. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике -позволяющий обеспечить базовую подготовку, – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету, ориентировать на выбор профессии, связанной с математикой. Данный курс направлен: на расширение знаний, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Модуль и его свойства таят в себе большую содержательность, глубину, умелое обыгрывание которых позволяет рационально и остроумно решать спектр задач, побуждает учащихся к самостоятельности и творчеству . Курс предназначен для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку.

Цели курса Продолжить формирование умений логически мыслить и отыскивать математические закономерности Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы Развивать математические способности учащихся Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как : построение графиков функций, удовлетворяющих заданному условию преобразование выражений, содержащих модуль решение уравнений, неравенств и систем графическим методом

Задачи курса Вовлечь учащихся в проектировочную деятельность Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы Научить строить геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют условию F(x)=0 , F(x)≤0 , F(x)≥0 Научить учащихся навыкам построения графиков с модулем и проведению преобразований с помощью изученных методов

Тематическое планирование № Наименование тем курса Всего часов Лекция Практика Семинар 1 ГМТ. Определение, общие понятия 1 0,5 0,5 2 Геометрические преобразования графиков функций, содержащих модуль. 2 1 1 3 Построение ГМТ, заданных уравнениями 2 1 1 4 Построение ГМТ, заданных системами неравенств. 2 1 1 5 Задачи на нахождение площадей фигур. 1 1 6 Модуль в заданиях единого государственного экзамена 1 1 7 Заключительное занятие: представление своих работ учащимися. 2 2

Должны знать : -правило раскрытия модуля, -план построения графиков основных видов функций. Должны уметь : -применять метод геометрических преобразований, -строить графики основных видов функций с модулем и различные их комбинации, -изображать геометрические места точек, заданные уравнениями вида │ x│ +│ y │= n , │ x +а │ = с ,│ y-b │= с и неравенствами. Оценивать свои результаты : проверка самостоятельно решенных задач, защита проектов. В результате изучения курса учащиеся Основные формы организации учебных занятий : лекция , практическая работа, семинар, творческие задания в виде выполнения и защиты проектов. Методы обучения: проблемный, метод проектов.

Цели : Постановка задач курса, проверка владения базовыми умениями. Научить изображать ГМТ, заданные неравенствами. Методы обучения : лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством . Все графики функций y = f (x) , которые изучались до сих пор можно рассматривать как ГМТ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Таким образом построение геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют какому – либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков функций. Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. Упражнение 1. Построить ГМТ, координаты которых удовлетворяют неравенствам : а) x 0 ; б) у – x > 1 ; в) у ≥ х 2; г) у 1 │ x+3 │ 3 │ x │+ │y │> 3 y≤│x │ x > │y │ x 2 +y 2 -2x-2y │x│ 11) x 2 +y 2 ≤9/4 12) x+y 0 x 2 +y 2 ≤9 │ x │+2 │y │ ≤4 x 2 +y 2 ≥ 1 16) x ≥ │x 3 +xy 2 │ 17) x 2 +y 2 ≤ 2x+2y ≤4y 18) x-y-1/x 2 +y 2 -1 2 3. | х | + | у | + | х-у | ≤ 2 9. х 2 +у 2 ≥ 144 4. х 2 + у 2 ≤ 2х+2у ≤ 4у 3 | х | +4 | у |≥ 60 5. (х-у-1) / (х 2 -у 2 -1) 8 х 2 +у 2 -2х+2у+1 ≥0 (х+у-1) / (х 2 +у 2 -1) > 1 11. (у-1) 2 7 Число корней 0 2 4 5 6 4 2

Задание 2. При каких значениях х функция у = | 2х +3 | +3 | х-1 | — | х +2| имеет наименьшее значение ? Задание 3. При каких значениях х функция у = | х+1 | + | х-1 | -2 | х-2 | достигает максимума ? Задание 4. При каком значении а уравнение |x 2 -|x|-6|=a имеет более двух корней? Задание 5 . При каком значении х функция достигает минимума?

Представление своих работ учащимися .

Задачи, составленные учащимися .

Задачи, составленные учащимися.

Используемая литература Дороднов А. М., Острецов И. Н. и др. «Графики функций. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы», 1972 г. Журнал «Математика в школе» №5, 1999 г. Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. «Математика 8-9 класс», Учитель ,2007 . Выпуск 1. Горохова Л. И. и др. «Уроки математики с применением интегрированных технологий», 2009 г., «Глобус» Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», №5, 1999 г. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский «Алгебраический тренажер», 1998 г., «Гимназия». М. И. Козина « Математика 8-9 класс», «Учитель» , 2007 г. Выпуск 2. Интернет-ресурсы Конец

Тема 2 Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля ( урок повторения и обобщения) Оборудование: интерактивная доска.

Цель занятия: напомнить методы построения графиков функций, содержащих знак модуля; способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; закрепить полученные знания.

Определение Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Итак, напомню определение функции Построение графиков функций с модулем – частный случай построения графиков сложных функций.

0 X Y 1 1 -1 y=x y= │ x │ Иллюстрация графика функции .

Чтобы из графика функции у = f (x) получить график функции у =│ f (x) │, нужно: построить график функции у = f(x) ; части графика функции у = f(x) , лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить от неё.

Х У 0 y=f(x) y= │ f(x) │

Для того, чтобы построить график функции у= f( │ x │ ) , нужно: построить график функции у = f (x) ; часть графика функции у= f (x) , соответствующую положительной полуоси абсцисс, отразить от оси ординат.

х у 0 y=f(x) y=f( │ x │ )

Функция │у│ = f(x) является двузначной , т.к. по определению абсолютной величины у =± f(x) , где f(x) ≥ 0, поэтому график симметричен относительно оси ОХ. Чтобы построить график этой функции, нужно: найти D (y) из условия f(x) ≥ 0; на D (y) построить график функции у = f(x) ; отобразить его зеркально от оси абсцисс.

Х У 0 y = f(x) │ y │ =f(x)

Графики функций y= │ x+a │ + │ x+b │ +…+ │ x+n │ Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак.

Пример функции y= │ x+1 │ + │ x-1 │.

Х У 0 1 -1 1 2 у=2х у=2 у= -2х

Итак, графики с модулями кажутся очень сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных видов функций, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины, можно узнать много нового и полезного. Работа с ними увлекательна и интересна.

Примеры на построение 1. │у│=2 Строим у=2 и отражаем его относительно оси абсцисс- геометрическим местом точек являются две параллельные прямые 2. │у│=х 2 — 3 х+2 На интервале ( 1; 2 ) функция отрицательна, следовательно уравнение не имеет смысла . Искомое ГМТ состоит из кусков параболы на полуинтервалах х≤1 и х ≥2 и их зеркальное отображение относительно оси ОХ. 3. у = │х 2 -3х+2│ Строим параболу и нижнюю ее часть отображаем относительно оси абсцисс. Графики

5 . у = │ х │ + х Раскрыв знак модуля, функцию можно записать в виде: 2х, при х ≥0, у = 0, при х Мне нравится