Уравнения гидродинамики в дифференциальной форме

Уравнения гидродинамики

Вы будете перенаправлены на Автор24

Гидродинамика – обширный и важный раздел гидравлики, исследующий основные законы движения идеальной жидкости и ее взаимосвязь с подвижными и неподвижными поверхностями.

Рисунок 1. Уравнение Бернулли. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Движение физического вещества состоит из достаточно сложного перемещения отдельных атомов молекул. В целях упрощения длительного расчета вводится определение струйчатой модели стабильности. Согласно этой модели, весь поток включает в себя отдельные элементарные струйки, рассмотрение которых в отдельности дает шанс понять закономерности потока жидкости в целом.

С точки зрения математической формулировки движения текучих и постоянных сред, нет разницы между газом и жидкостью. Иногда жидкостью называют несжимаемое пространство, а газом называют среду, у которой начальная плотность существенно меняется со временем.

Жидкость – такое состояние физического пространства, при котором она быстро и легко деформируется под влиянием внутренних и внешних сил.

В отличие от твердого материального тела жидкость не оказывает особое сопротивления сдвиговым нагрузкам, и поэтому такому объему без труда можно придать любую форму. В то же время жидкость может самостоятельно сопротивляться нормальным напряжениям сжатия или растяжения, иногда даже намного сильнее, чем физические вещества. Данная особенность жидкости широко применяется в разнообразных гидравлических машинах и устройствах, например, в гидравлических домкратах и прессах.

Жидкость в основном характеризуется несколькими основными параметрами:

  • плотность $ρ$;
  • динамическая вязкость $μ$;
  • теплоемкость $c$;
  • теплопроводность $\lambda$.

Готовые работы на аналогичную тему

В гидродинамике исследуются математические модели течений газа и жидкости в разных условиях. Эти модели в первую очередь представляют собой концепции дифференциальных уравнений при частных и производных обстоятельствах.

Основные уравнения гидродинамики

Главными гидродинамическими уравнениями являются уравнение неразрывности или сплочённости сред, а также уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности представляет собой формулу стабильности расхода и записывается следующим образом:

$dQ_1 + dQ_2 = dQ = const$, где:

$Q_1, Q_2, Q$ – скорости начального движения частиц жидкости в различных живых сечениях струйки.

Для потока уравнение сплоченности сред будет выглядеть так:

Уравнение Бернулли считается фундаментальным законом гидродинамики. Оно устанавливает взаимосвязь между скоростью, давлением, и положение исследуемого элемента в пространстве. Посредством этого уравнения решается огромный круг сложных инженерных задач.

Для упрощения изучения общих и важных закономерностей, присущих постоянно движущейся жидкости, ее часто представляют в виде неизменной среды, не обладающей внутренней энергией и трением. Такую жидкость в физике называют идеальной.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости чаще всего используется при расчетах и имеет следующий вид

  • $Z$ – геометрический стабильный напор, или потенциальная удельная энергия начального положения;
  • $\frac

    $ — изометрический напор, или удельная сила давления;

  • $\frac<2>^<2><2g>$ — cкоростной напор, или кинетическая энергия.

Это уравнение также считается формулой закона сохранения и удержания энергии для движущейся жидкости. В этом заключается ее основной физический смысл.

При длительном движении реальной жидкости, обладающей определенной вязкостью, часть ее внутренней энергии автоматически затрачивается на преодоление сил трения. Этот показатель в виде тепла рассеивается в окружающую среду. Такое явление необратимо и в науке называется диссипацией. Диссипируемую величину в гидродинамике называют гидравлическими потерями.

Уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Рисунок 2. Уравнение Навье-Стокса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Плотность несжимаемой жидкости в любых ситуациях постоянна, в математической модели она выступает как изначальный заданный параметр. Уравнение неразрывности при этом имеет такой вид

Система уравнений всегда замкнута, так как содержит 4 формулы для трёх компонент скорости и давления.

В развернутой форме для компонент скоростного вектора $v = G$ в декартовой системе координат $ x, y, z$ уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью записывается так:

Взгляд на температуру как основную меру внутренней энергии, непосредственно связанную со скоростью движения атомов и молекул, используется в физике, а в гидродинамике был принят феноменологический метод, при котором исследуют макроскопические характеристики переноса тепла. В частности, вводится определение теплового потока между нагретыми частями сплошного пространства.

Тепловой поток $Q$ – это точное количество тепла, которое трансформируется в единицу времени $Q = \frac<Дж><сВт>$.

Плотность теплового постоянного потока $q = \frac$ – это протекающий через единицу площади поток.

Тепло в гидродинамике переносится разными механизмами:

  1. Молекулярная термодиффузия или теплопроводность. В горячей части определенной среды молекулы более подвижны, они возбуждают своим действием соседние, в результате чего повышается температура.
  2. Конвекция. Данный процесс вызван движением жидкости. Поток жидкости непосредственно переносит начальную температуру из одной части пространства в другую. Если среда нагрета равномерно, конвективного теплового поток не будет даже при наличии движения.
  3. Излучение. Это передача внутреннего тепла в виде электромагнитных волн. Например, тепло от раскаленной печки или солнечная энергия.

Закон Паскаля

В случае, когда все массовые силы отсутствуют, т.е. $g = 0$, из этих формул получается, что $p = 0$. откуда следует, что $p = const$. Это решение носит в науке название закона Паскаля, который предполагает, что в покоящейся жидкости (газе) при отсутствии массовых и постоянных сил давление постоянно.

Уравнение состояния идеального газа $p = ρRT$ , отсюда можно найти плотность газа в зависимости от начальной температуры

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для внутреннего давления $p = z $. Оно решается согласно принципу разделения переменных:

Закон Паскаля в гидродинамике даёт формулу изменения давления с высотой, если известно точное распределение температуры по заданной величине. В частном случае, это действует в случае, если считать атмосферу изотермической, когда $Т = const$.

Эта формула доказывает, что давление в изотермической атмосфере постепенно убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

  • конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
  • давления окружающих элементов жидкости
  • просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Гидродинамика. В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности

В гидродинамике уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

,

где — плотность жидкости (или газа), — вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами в момент времени .

Вектор называют плотностью потока жидкости. Его направление совпадает с направлением течения жидкости, а абсолютная величина определяет количество вещества, протекающего в единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно вектору скорости.

Для несжимаемых жидкостей . Поэтому уравнение принимает вид

,

из чего следует соленоидальность поля скорости.

Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:

— плотность жидкости,

— скорость потока,

— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,

— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,

— ускорение свободного падения.

В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли [1] (не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли [2] [3] или интегралом Бернулли [4] [5] .

Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.

Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления» [6] ).

Соотношение, близкое [7] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.

Для горизонтальной трубы и уравнение Бернулли принимает вид: .

Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности : .

Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.

Полное давление состоит из весового , статического и динамического давлений.

Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Это является основной причиной эффекта Магнуса. Закон Бернулли справедлив и для ламинарных потоков газа. Явление понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы различного рода расходомеров (например труба Вентури), водо- и пароструйных насосов. А последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики.

Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, учитывающих потери на местных и распределенных сопротивлениях.

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 10 ; Нарушение авторских прав


источники:

http://habr.com/ru/post/171327/

http://lektsii.com/2-56944.html

Читайте также:
  1. ГИДРОДИНАМИКА
  2. Гидродинамика
  3. ГИДРОДИНАМИКА
  4. Зертханалық жұмыс.Ағыс режимдерінің ауысуын зерттеу. Рейнольдс тәжірибесі. «Гидродинамика» тақтасы.
  5. Зертханалық жұмыс.Бернулли интегралының қолданылуын тексеру. «Гидродинамика» тақтасы.
  6. СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ. ГИДРОДИНАМИКА. ГЕМОДИНАМИКА