Прямые на координатной плоскости
Линейная функция |
График линейной функции |
Прямые, параллельные оси ординат |
Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые |
Линейная функция
Линейной функцией называют функцию, заданную формулой
y = kx + b, | (1) |
где k и b – произвольные (вещественные) числа.
При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .
Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .
График линейной функции
При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
Рис.1 |
Рис.2 |
Рис.3 |
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
Рис.4 |
Рис.5 |
Рис.6 |
При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
k y = kx + b1 и y = kx + b2 , имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны . имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов. y = kx + b1 и перпендикулярны при любых значениях свободных членов. Угловой коэффициент прямой линии
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b . При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле Прямые, параллельные оси ординатПрямые, параллельные оси Oy , задаются формулой
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .; Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
где p, q, r – произвольные числа. В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию . что и требовалось. В случае, когда получаем: откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3). В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид
и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости: В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет. Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением
параллельна прямой, заданной уравнением (4) . Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением
перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) . Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и
В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство График линейной функции, его свойства и формулыО чем эта статья: Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Понятие функцииФункция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции. Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек. Понятие линейной функцииЛинейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат. Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки. Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у. Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции. Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби. Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b». Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart! Свойства линейной функции
Построение линейной функцииВ геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y. Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая. В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3). Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /2x + 3, y = -x + 3.
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая. Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3). Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые. При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты. Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b. Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так: 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»> Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так: 0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»> Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функциюЧтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся! Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
4.13. Уравнения прямых на координатной плоскостиДавайте рассмотрим такие функций, графики которых имеют вид прямых. Простоты ради, мы будем иметь дело с безразмерными величинами, а значит, в качестве осей у нас будут выступать простые числовые прямые, и все наши чертежи мы будем делать на обычной координатной плоскости. Прямая, проходящая через начало координат Построение графика по заданной функции Пусть переменная \(y\) пропорциональна переменной \(x\) с коэффициентом пропорциональности \(k\) : Давайте договоримся, что \(x\) здесь — это независимая переменная, а \(y\) — зависимая. Коэффициент \(k\) играет роль константы (параметра). В таких случаях говорят, что \(y\) является (однородной) линейной функцией от \(x\) . Графиком этой функции, как мы хорошо знаем, является прямая, проходящая через начало координат \((0, 0)\) . Для построения этой прямой нам достаточно определить еще какую-либо одну ее точку \((x_1, y_1)\) . Для этого положим, например, \(x_1 = 1\) . Тогда \(y_1 = k \cdot 1 = k\) . Проводим через эту точку и начало координат прямую линию. Это и есть график функции \(y\) от \(x\) . Так, по крайней мере, обстоит дело в теории, а на практике точку \((x_1, y_1)\) лучше брать настолько далеко от начала координат, насколько позволяет чертеж. В этом стучае прямую удается провести наиболее точно. Ниже приведен пример такого построения для функции \(y=\frac<1> <2>x\) . Восстановление функции по графику Решим теперь обратную задачу. Пусть на координатной плоскости с осями \(x\) и \(y\) нам дана прямая, проходящая через начало координат. Спрашивается: графиком какой функции она является? При этом подразумевается, что функция должна быть задана в виде формулы, связывающей переменные \(x\) и \(y\) . Такая формула носит название уравнения графика функции. В данном случае речь идет об уравнении прямой, проходящей через точку \((0,0)\) . Заранее ясно, что это уравнение имеет вид От нас фактически только требуется найти значение константы \(k\) . Для этого отметим на прямой произвольную точку, отличную от \((0,0)\) , и определим ее координаты \((x_1, y_1).\) Эти координаты, очевидно, связаны соотношением При этом следует особо подчеркнуть, что константа \(k\) не зависит от выбора точки \((x_1, y_1).\) Какую бы точку на прямой мы не выбрали в качестве \((x_1, y_1),\) мы придем к одному и тому же значению \(k\) . Таким образом, Пример нахождения уравнения прямой приведен на следующем рисунке. Отметим два особых случая. Во-первых, прямая может совпасть с осью \(x\) . Тогда значение \(y\) остается постоянным и равным нулю на всем ее протяжении. Тем не менее наше общее решение остается в силе. При этом оказывается, что \(k = 0\) и переменную \(y\) можно всё еще формально считать функцией от \(x\) : Во-вторых, прямая может совпасть с осью \(y\) . В этом случае в каждой ее точке \(x = 0\) . Формула для константы \(k\) оказывается неприменимой, потому что число \(x_0\) , стоящее в знаменателе, обращается в нуль. Приходится признать, что мы не можем подобрать такую функцию \(y\) от \(x\) , которая имела бы подобный график. Разве что, мы можем теперь принять \(y\) за независимую переменную и формально рассматривать \(x\) как функцию от \(y<:>\) Несложно убедиться, что всякая точка, лежащая на оси \(y\) , удовлетворяет этому равенству. Заметим, что если бы мы захотели написать уравнение прямой, проходящей через начало координат, в самом общем виде, то мы могли бы это сделать так: Это соотношение между \(x\) и \(y\) остается справедливым в обоих рассмотренных частных случаях, однако выбор параметров не является однозначным, так как в качестве пары чисел \((x_1, y_1)\) можно взять координаты любой точки, принадлежащей прямой. Произвольная прямая Восстановление функции по графику Начнем с обратной задачи. Пусть теперь на координатной плоскости дана произвольная прямая, не проходящая через начало координат. Вопрос нас будет интересовать всё тот же: графиком какой функции она является или, короче говоря, каково уравнение этой прямой? Отметим на прямой две любые несовпадающие точки и обозначим их координаты через \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Поместим в точку \((x_0, y_0)\) начало новой системы координат с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями \(x\) и \(y\) старой системы. Тогда координаты другой отмеченной точки в новой системе окажутся равны \(\begin Вообще, как мы знаем, новые («штрихованные») координаты любой точки связаны со старыми («нештрихованными») координатами соотношением Наша прямая проходит через начало координат новой системы, поэтому мы можем сразу же выписать ее уравнение в «штрихованных» переменных: Переходя к «нештрихованным» переменным, получаем Что и решает поставленную задачу. При желании, можно еще выразить функцию \(y\) от \(x\) в явном виде: \(y = k\,x — k\,x_0 + y_0\) \(y = k\,x + b,\) где \(b = — k\,x_0 + y_0.\) Значения констант \(k\) и \(b\) не зависят от выбора точек \((x_0, y_0)\) и \((x_1,y_1)\) . Какие бы точки на заданной прямой мы не взяли, мы всегда придем к одним и тем же значениям \(k\) и \(b\) . Заметим, что из-за дополнительного слагаемого \(b\) переменные \(x\) и \(y\) не пропорциональны друг другу. Поэтому константа \(k\) называется теперь не коэффициентом пропорциональности, как это было раньше, а угловым коэффициентом. Название это происходит от того, что значение \(k\) тесно связано с углом наклона прямой по отношению к оси \(x\) . Чем круче идет прямая, тем больше ее угловой коэффициент. Константу \(b\) иногда называют свободным членом. Как легко видеть, переменная \(y\) равна \(b\) при \(x = 0\) . Иными словами, \(b\) — это точка на оси \(y\) , в которой эта ось пересекается с нашей прямой. Если \(b = 0\) , то прямая проходит через начало координат, и мы возвращаемся к частному случаю, рассмотренному ранее. Из наших рассуждений следует, что любая прямая на координатной плоскости может быть описана уравнением вида при подходящем выборе констант \(k\) и \(b\) . Единственным исключением является особый случай, когда в выражении для углового коэффициента \(k = \frac \(x = 0 \cdot (y — y_0) + x_0.\) В совершенно общем виде уравнение прямой можно написать следующим образом: \((x_1-x_0) (y-y_0) = (y_1-y_0) (x-x_0).\) При этом, однако, выбор двух пар параметров \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) (которые, по смыслу, являются координатами двух произвольных точек, лежащих на прямой) неоднозначен. Построение графика по заданной функции Теперь давайте выясним, как построить график неоднородной линейной функции \(y\) от \(x\) , которая определяется как где \(k\) и \(b\) — любые действительные числа. Как мы только что выяснили, к такому виду сводится уравнение произвольной прямой (при условии, что она не параллельна оси \(y\) ). Строго говоря, это не исключает, что при некоторых значения параметров \(k\) и \(b\) график этой функции может отличаться от прямой линии. Давайте убедимся, что этого никогда не происходит. Перепишем данное нам уравнение следующим образом: Если перейти в новую, штрихованную, систему координат с началом в точке \((0, b)\) и с осями \(x’\) и \(y’\) , сонаправленными с соответствующими осями старой системы, то в новых координатах уравнение примет вид: Мы получим тогда не что иное, как уравнение пропорциональной зависимости, которое гарантировано задает прямую линию. Значит, и график неоднородной линейной функции представляет собой прямую линию при любых значениях параметров \(k\) и \(b\) . Но для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее произвольные точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) . В качестве \(x_0\) и \(x_1\) можно взять, например, соответственно ноль и единицу. Тогда \(y_0 = b\) (при \(x_0 = 0\) ), Проводим прямую через точки \((x_0, y_0)\) и \((x_1, y_1)\) — и задача решена. На практике, впрочем, лучше брать такие точки, которые расположены друг от друга по возможности дальше, насколько позволяет чертеж. Пример графика неоднородной линейной функции со значением параметров \(k = \frac<1><3>\) и \(b = 1\) представлен на следующем рисунке. Конспект \(1\) . Линейная функция \(y = k\,x + b\) называется однородной при \(b = 0\) и неоднородной при \(b \ne 0.\) Ее график на координатной плоскости представляет собой прямую линию, которая строится по двум произвольным точкам. \(2\) . Уравнение прямой, проходящей через начало координат: \(y = \frac \(3\) . Уравнение произвольной прямой: \(y-y_0 = \frac источники: http://skysmart.ru/articles/mathematic/grafik-linejnoj-funkcii http://www.nekin.info/math/m0413.htm |