Уравнения графиков функций 11 класс

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №20. Построение графиков функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Исследование функций;
2. Построение графиков функций;
3. Применение производной для решения графических задач.

Глоссарий по теме

Асимптота графика функции y = f(x) – прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции.

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х₀называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂ , из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит вышепроведенного отрезка.

Полная схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции D(f).
2. Исследовать функцию на четность (найти f(-x)).
3. Найти асимптоты.
4. Найти стационарные и критические точки.
5. Найти промежутки монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз.
7. Найти точки перегиба
8. Составить таблицу значений функции для некоторых точек.
9. По полученным данным построить график функции.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Постройте график функции у = х 3 – 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

4) f’(x) = 3x 2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

Пример 2. Постройте график функции, используя подробную схему построения. схему построения.

1)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к.

3) х = 1 – вертикальная асимптота

4) , f’(x) = 0 при х = 2, х = 0.

х = 2, х = 0 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 0, х = 2 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Урок по алгебре и началам анализа для 11 класса «Построение графиков уравнений».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ УРАВНЕНИЙ ВИДА | Y — A |= F ( X )

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: «Построение графиков уравнений вида | y -а|= f (х) »

Единица содержания: алгоритм построения графиков уравнений вида | y -а|= f (х) .

Цель урока: формировать у учащихся умение самостоятельно в комплексе применять знания, умения, навыки, переносить их в новые условия.

различать алгоритмы построения графиков функций вида y = f (|х-а|) и графиков уравнений вида | y -а|= f (х) (познавательные УУД);

сформулировать алгоритм построения графика уравнения вида | y -а|= f (х) (познавательные УУД);

применять алгоритм построения графика уравнения вида | y -а|= f (х) (познавательные УУД);

развивать умение сравнивать, выделять общее и отличное, логически обосновывать решение (познавательные УУД);

развивать и совершенствовать математическую речь при объяснении хода построения графика (коммуникативные УУД);

развивать критическое мышление (личностные и познавательные УУД);

воспитывать ответственность за качество и правильность выполняемой работы (личностные и регулятивные УУД);

воспитывать инициативность и находчивость, способность преодолевать мыслительные стереотипы (личностные УУД);

воспитывать умение слышать учителя (коммуникативные УУД);

воспитывать правильное отношение к своим неудачам, самостоятельно находить свои ошибки (личностные УУД).

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности, проверка домашнего задания.

Применение знаний и способов действий.

Подведение итогов урока на рефлексивной основе.

Информация о домашнем задании.

Граница знания – незнания

не знают / не умеют

Умеют строить графики с модулем вида

Не умеют строить графики с модулем вида

Ресурсы урока: докумен т-камера, интерактивная доска.

Этап подготовки к активной учебно-познавательной деятельности 10 минут.

Установление связи между изученным учебным материалом и данной темой

Задача: обеспечение мотивации, актуализация знаний

Форма работы: фронтальная

Актуализация знаний при проверке домашнего задания.

На доске представлены два графика из домашнего задания.

«У кого графики функций, заданных на дом, имеют такой вид?»

К доске вызываются два ученика, которые записывают последовательность построения, используя преобразования графиков и алгоритм построения графика функции y = f (| x — a |).

Ответ на вопрос с применением .

Возможен выбор среди готовых графических форм, формул, правил, ответов, словосочетаний и т.д.

Учащиеся поднятием руки отвечают на вопрос.

Алгоритм построения графика

Алгоритм построения графика

На интерактивной доске появляется Приложение 1 графиков функций с модулем

Вопрос: «Что это за графики?»

Вопрос: «Какой особенностью обладают все эти графики?»

Комментарий: «Сегодня на уроке мы с вами расширим представление о графиках с модулем».

Вопрос: «Как вы думаете, какие графики с модулем мы будем сегодня рассматривать?»

Вопрос: «В связи с этим, сформулируйте тему урока».

Ответ: «Это графики функций с модулем, которые мы строили в разное время».

Ответ: «В этих графиках под модулем стоит независимый аргумент».

Ответ: «Сегодня мы рассмотрим графики функций, в которых под модулем стоит функция».

Вопрос: «Как вы думаете, какие графики с модулем мы будем сегодня рассматривать?»

Вопрос: «В связи с этим, сформулируйте тему урока».

Ответ: «Сегодня мы рассмотрим графики функций, в которых под модулем стоит функция».

К доске вызываются два ученика, которые строят графики | y |= f ( x ) и | y — a |= f ( x ). Учащиеся по вариантам выполняют те же задания.

Оценивание: Правильность построения графиков и формулировка алгоритма.

Вопрос учителя: «Являются ли построенные графики функциями?»

Ответ учащихся: «Нет, не являются, так как в случае функции каждому значению аргумента соответствуют единственное значение функции, а у нас это условие не выполняется».

Комментарий учителя: «Переформулируем тему урока».

Ответ учащихся: «Построение графиков уравнений графиков вида | y — a |= f ( x )».

Учащиеся формулируют алгоритм построения графика уравнения | y — a |= f ( x ).

Этап применения знаний и способов действий 30 мин.

Задача: обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации

Форма работы: индивидуальная.

Вопрос: «Отработаем сформулированный алгоритм на построении графиков уравнений:

1)

2)

3) »

Учитель проверяет правильность построения графиков, отвечает на возникающие вопросы.

Учащиеся строят графики.

Построенные графики уравнений см. Приложение 2

Этап подведения итогов урока на рефлексивной основе 3 мин

Задача: обеспечить анализ, оценку собственной деятельности и постановку новых задач каждым учеником с учетом поставленных в начале урока целей

Форма работы: фронтальная

Рефлексия по содержанию учебного материала. Учитель возвращается к вопросам по теме, которые ставили в начале урока.

Рефлексия собственной деятельности.

Воспроизводят формулировки целей (проблем, вопросов), поставленных ими в начале урока, и делают вывод: получен ли на него ответ.

Высказываются о том, что они освоили на уроке, какие приемы и способы они для этого использовали.

Этап информации о домашнем задании 2 мин

На интерактивной доске появляется домашнее задание (Приложение 3). Учитель вместе с учащимися разбирает ход построения каждого графика.

Фиксируют домашнее задание и вместе с учителем кратко разбирают каждый график.

Графики функций с модулем

Постройте график уравнения:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 483 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 25.10.2015
• 1954
• 21

• 25.10.2015
• 1440
• 0

• 25.10.2015
• 477
• 0

• 25.10.2015
• 1282
• 5

• 25.10.2015
• 11699
• 991

• 25.10.2015
• 4184
• 5

• 25.10.2015
• 476
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.10.2015 700
• DOCX 141.2 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Попова Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4462
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.