Уравнения и его корни макарычев

6. Уравнение и его корни

Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»

Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней нолке равно 4х. Если с нижней нолки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х — 15 книг, а на верхней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4x — 15 = x + 15 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

Определение: Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

4х — х = 15 + 15,
Зх = 30,
х = 10.

Уравнение 4х — 15 = х + 15 имеет один корень — число 10.

Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.

Так, уравнение (х — 4)(х — 5)(х — 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х — 4)(х — 5)(х — 6), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение х 2 — 4 имеет два корня — числа 2 и -2. Уравнение (х — 2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и -2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений используются следующие свойства:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то лее отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, равносильны уравнения 5х = 2х + 7 и 5х — 2х = 7, равносильны также уравнения 6х = 2х + 8 и Зх = х + 4.

Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится верное равенство.

Упражнения

1. Является ли число 3 корном уравнения:

Какие из чисел -2, — 1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

Является ли корнем уравнения х(х — 5) = 6 число:

Урок по теме «Уравнение и его корни» 7 класс Макарычев

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

20.09. Классная работа *Что называется уравнением? *Что называется корнем уравнения? *Что значит решить уравнение?

Каков корень уравнения? а) x + 2 = 3 х = 1 б) x + 2 = x + 3 нет корней в) x + 2 = 2x – x + 2 множество корней г) (x + 2)(x – 2) = 0 х = 2 и х = — 2 д) x = 4 х = 2 и х = — 2 е) = — 8 нет корней ж) = 4 х = 4 и х = — 4

— ознакомимся с понятием «равносильные уравнения» — ознакомимся с понятием свойств равносильности уравнений.

«аль-джебр», от которого произошло наше «алгебра» по-арабски означает «восстановление», алгебра держится на четырёх китах: уравнение число тождество функция Чем же занимается алгебра?

Работа с учебником № 114 устно № 116 а № 120 Решим уравнение 5x – 9 = 12 – 2x Какие свойства равносильности мы применили?

Почему здесь подчеркнуты уравнения? Как называются такие уравнения? а) x + 2 = 3 х = 1 б) x + 2 = x + 3 нет корней в) x + 2 = 2x – x + 2 множество корней г) (x + 2)(x – 2) = 0 х = 2 и х = — 2 д) x = 4 х = 2 и х = — 2 е) = — 8 нет корней ж) = 4 х = 4 и х = — 4

Домашнее задание. п. 6 №117, 119а Дополнительно: решить уравнение x(x – 6) = 0. Отметить на числовой оси его корни.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 570 048 материалов в базе

Другие материалы

• 09.10.2016
• 1131
• 2

• 09.10.2016
• 1294
• 0

• 09.10.2016
• 362
• 0

• 09.10.2016
• 994
• 1

• 09.10.2016
• 613
• 1

• 09.10.2016
• 328
• 0

• 09.10.2016
• 431
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.10.2016 1606
• PPTX 68.3 кбайт
• 18 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Воробьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 51443
• Всего материалов: 35

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Уравнение и его корни — УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ — ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

Цель: сформировать представление об уравнении и его корнях.

Планируемые результаты: освоить основные понятия, связанные с уравнением.

Тип уроков: уроки проблемного изложения.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Работа по теме уроков

1. Корни уравнения.

2. Равносильные уравнения.

1. Корни уравнения

Сначала рассмотрим несколько примеров.

Квадрат некоторого числа больше самого числа на 6. Найдем данное число.

Пусть неизвестное число равно х, тогда его квадрат равен х 2 . Число х, увеличенное на 6, равно х + 6. По условию задачи числа х 2 и х + 6 равны. Получаем равенство x 2 = х + 6, содержащее переменную х. Это равенство будет верным не при всех значениях х, а только при тех значениях х, которые являются ответом задачи. Такое равенство называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным) х. Для решения задачи надо найти такие числа, которые обращают равенство х 2 = х + 6 в верное. Эти числа х называют решениями уравнения или корнями уравнения. Уравнение х 2 = х + 6 имеет два корня: х₁ = 3 и х₂ = -2. Действительно, при подстановке значения х = 3 в уравнение получаем верное числовое равенство 3 2 = 3 + 6. При подстановке числа х = -2 в уравнение также получаем верное равенство (-2) 2 = -2 + 6.

Со склада вывозят груз на одинаковых машинах. Если загрузить 16 машин, то на складе останется 8 т груза. Если загрузить 14 машин, то на складе останется 32 т груза. Найдем грузоподъемность одной машины и массу груза, хранящегося на складе.

Пусть х т — грузоподъемность одной машины. Тогда 16 машин загружают 16х т груза. Если к этой величине 16х добавим 8 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 16х + 8. Второе условие задачи: 14 машин загружают 14х т груза. Если к этой величине 14х добавить 32 т, оставшихся на складе, то получим массу груза, хранящегося на складе, т. е. 14х + 32. Приравняем выражения для массы груза, хранящегося на складе, которые получаются из первого и второго условий задачи. Получаем равенство 1бх + 8 = 14х + 32. Это равенство называется уравнением с одним неизвестным х. Уравнение 16х + 8 = 14х + 32 имеет один корень х = 12, так как при подстановке этого значения в уравнение получаем верное числовое равенство 16 ∙ 12 + 8= 14 ∙ 12 + 32 = 200.

Учитывая примеры, сформулируем основные понятия. Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной переменной (или с одним неизвестным).

Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

В рассмотренных примерах уравнения имели конечное число корней (два или один). Уравнения также могут иметь бесконечное множество корней или вовсе не иметь корней.

Уравнение 7(х + 3) = 7х + 21, используя распределительное свойство, можно записать в виде 7х + 7 ∙ 3 = 7х + 21 или 7х + 21 = 7х + 21. Видно, что при любом значении х левая часть уравнения равна правой (т. е., по сути, уравнение является тождеством). Поэтому любое число х будет корнем данного уравнения (таких корней бесконечно много).

Уравнение х 2 + 1 = -х 2 корней не имеет, так как при любых значениях х его левая часть х 2 + 1 положительна (т. е. х 2 + 1 > 0), а правая часть неположительна (-х 2 ≤ 0).

Заметим, что одна из частей уравнения может и не содержать переменной.

Равенства: а) 2х + 7 = 3; б) 5х — 3 = 0; в) 3х 2 — 10х = 5; г) 2х 2 — 3х + 6 = 0; д) 4 = -х 2 + 3х — также являются уравнениями (а, б — линейные, в—д — квадратные).

2. Равносильные уравнения

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называют равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными.

а) Уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 и (х — 2)(х — 3) = 0 являются равносильными, так как каждое из этих уравнений имеет одни и те же корни х₁ = 2 и х₂ = 3. (Проверьте сами.)

б) Уравнения х 2 + 5 = -3 и х 2 + 1 = -2 также являются равносильными, так как каждое из этих уравнений корней не имеет (в них левая часть при любых значениях х — величина положительная, а правая часть — отрицательная).

в) Уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 и х + 4 = 6 не являются равносильными, так как первое уравнение имеет два корня x₁ = 2 и х₂ = 3, а второе уравнение — только один корень х = 2. Несмотря на то что уравнения имеют один общий корень х = 2, они не считаются равносильными.

Решение уравнения состоит в его постепенной замене более простыми равносильными уравнениями. При решении уравнений используются следующие свойства.

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнения 6х = 3х + 7 и 6х — 3х = 7 равносильны (перенесли слагаемое 3х в левую часть уравнения).

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнения 6х = 3х + 7 и 2х = х + 7/3 равносильны (обе части уравнения разделили на 3).

Эти свойства уравнений основаны на свойствах числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство.

III. Задания на уроках

№ 111 (а), 112 (б), 113, 115, 117 (а), 118, 120 (а, б), 121 (а).

1. Составьте уравнение, которое имеет корни:

2. Равносильны ли уравнения? Объясните почему.

а) 2(х — 3) = 4 и 2х = 10;

б) х — 3 = 0 и (х- 3)(х + 2) = 0;

в) х — 3 = 0 и х 2 + 1 = 0;

г) 2х 2 + 3 = 0 и х 2 + 7 = 0.

IV. Контрольные вопросы

— Что называется уравнением? Приведите примеры уравнений.

— Что называется корнем уравнения? Сколько корней может иметь уравнение? Приведите примеры.

— Какие уравнения называются равносильными?

— Сформулируйте основные свойства уравнений.

V. Подведение итогов уроков

№ 111 (б), 112 (а), 114, 116, 117 (б), 119, 120 (в, г), 121 (б).

1. Приведите примеры:

а) равносильных уравнений;

б) неравносильных уравнений.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.