Уравнения и методы их решения 10 класс

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

• Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
• Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
• Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Элективный курс Математика 10 класс «Уравнения и методы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Қаралды: : Келісемін Бекітемін:

Қаулы№ « _ » 2015 ж. Оқу ісінің меңгерушісі: Директор:

________________ _________________ ________________

Планирование учебного материала

« Уравнения и методы их решения »

Элективный курс. Математика, 10 класс.

« Уравнения и методы их решения»

Многие математические задачи сводятся к решению уравнений и неравенств. За время обучения математике школьникам приходится решать достаточно много уравнений: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных. Обучение методам решения уравнений традиционно является важнейшей частью школьного курса математики. При решении уравнений помимо технических приходится преодолевать и логические трудности и в частности отвечать на вопрос, почему выполненные преобразования не приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Данный курс помимо теоретических сведений, необходимых для решения уравнений и неравенств, содержит интересные и красивые задачи, освещает намеченные, но совершенно нерассматриваемые методы, способы в школьном курсе математики. Вполне оправдано то повышенное внимание, которое уделяется уравнениям и неравенствам, содержащимся в тестах ЕНТ. Данный курс рассчитан на 34 часа. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до заданий повышенной сложности. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

-восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;

-показать некоторые нестандартные методы решения уравнений ;

-формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

-научить учащихся решить уравнения повышенной сложности:

-приобрести приёмы, способы решения уравнений;

-помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы .

Форма обучения: Индивидуальная, парная, фронтальная, групповая.

Методы обучения: Репродуктивные, поисковый, исследовательский.

Формы контроля: Проверочные работы, тестирование.

Предполагаемые результаты. Изучение данного курса дает учащимся возможность:

уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения с помощью уравнений ;

знать методы решения различных видов уравнений и неравенств;

знать способы решения систем уравнений .

— точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

— решать разные виды уравнений и неравенств;

— использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Возможные критерии оценок.

Критерии выставления оценок могут быть следующими

Оценка «отлично». Обучающийся освоил теоретический материал курса, получил навыки его применения при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями обучающийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.

Оценка «хорошо». Обучающийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений обучающегося.

Оценка «удовлетворительно». Обучающийся освоил наиболее простые идеи и методы решений, что позволяет ему достаточно успешно решать простые задачи.

В каждой теме проводится диагностическая работа по материалам ЕНТ, а по окончании курса проводится пробное тестирование по материалам ЕНТ прошлых лет.

I . Алгебраические уравнения — 7 ч.

Разложение многочлена на множители. Простейшие способы решения алгебраических уравнений. Симметрические и возвратные уравнения. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.

II . Способ замены неизвестных при решении уравнений — 10 ч.

Алгебраические уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

III . Квадратные уравнения — 8 ч.

Понятие квадратного уравнения с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений . Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения

IV . Уравнения содержащие радикалы, степени и модули — 8 ч.

Уравнения содержащие неизвестную под знаком радикала. Уравнения содержащие неизвестную в основании и показателе степени. Уравнения содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины.

Уравнения и методы их решения
проект по алгебре (10, 11 класс) на тему

Данный проект направлен на углубление «линии уравнений» в школьном курсе , появляется возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы в математическом образовании, через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Уравнения и методы их решения Над проектом работали: Маслов Андрей Мулярчук Екатерина Фадеенко Виктор МКОУ СО ш с Красное 2014

Показательные уравнения Опред.: Уравнение вида a х = b , называется показательным

Методы решения: Приведение к одному основанию Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем) Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка) Деление левой и правой частей уравнения на степень

Приведение к одному основанию: 2 3х · 3 х =576 (2 ³ ) х · 3 х =576 8 х · 3 х =576 24 х =24 ² = > х=2

Разложение левой части уравнения на множители: 3 х+1 — 2 · 3 х-2 =25 3 х-2 (3 ³ -2)=25 3 х-2 · 25=25 |: 25 3 х-2 = 1 3 х-2 = 3 0 = > х-2=0 х=2

Замена переменной, приведение к квадратному: 9 х – 4 · 3 х – 45=0 3 2х – 4 · 3 х -45=0 3 х = t=>t²-4t-45=0 t 1 +t 2 =4 t 1 =9 t 1 +t 2 =45 t 2 =-5 п.к. 3 х =9 3 х =3 ² = > х=2

Деление левой и правой частей уравнения на степень: 3 х = 5 2х 3 х = 25 х |÷3 х 1= 25 х 3 25 º 25 х = >x=0 3 3

Примеры для самопроверки: 1 0,5х-1 9; 7 · 5 х – 5 х +1 = 2 · 5 -3 ; 27 2 х ² + 14 · 2 х +1 – 29=0; 7 х +6 · 3 х +6 =7 3х · 3 3х

Типовые задания ЕГЭ: 1.Решить уравнение: 5 х =125; 2.Решить уравнение: 1 0,1х-1 _ 16; 32 ¯ 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 3 х ² +х-12 = 1;

4.Решить уравнение: 3 х+1 — 2 ·3 х-2 =25; 5.Решить уравнение: 3 2х – 4 ·3 х – 45=0; 6.Решить уравнение: 3 2х-1 – 2 2х-1 = 0; 7.Решить уравнение: 3 2х+5 – 2 2х+7 + 3 2х+4 — 2 2х+4 = 0;

8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения: 3 · 16 х + 2 · 81 х =5 · 36 х ; 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 5 2х – 4 · 5 х – 5 = 0; 10.Решить уравнение: 3 Sin²x + 3 Cos²x = 4

В4.Найти модуль разности корней: 4 х- √х ² -5 — 12 · 2 х-1-√х ² -5 + 8 = 0; В5.Решить уравнение: 2 3х-1 · 5 3х-1 = 100; В6.Решить уравнение: √ 3 · 2 х − 4 х − 2 = 1−2 х ; В7.Решить уравнение: 32 х+3 · 3 3х+1 · 625 х+2 = 600 х+7 ;

I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1] а ) Cosx=a, а (0; 1) X= а rccosa +2 n , n б )Cosx=a, a (-1;0) X= ( — arccosa) +2 Cosx=0 Cosx=-1 , X= +2 n X= +2 Cosx =1 X =2

Например. Cosx= , X= + 2 X= +2 Cosx=- — , (-1; 0) X= ( -arccos ) +2 k, k X= — ) + 2 k, k X= +2 k, k Z

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1] Sinx=a, a (0; 1) X= (-1) n arcsina + n, n Z Sinx=a, a (-1;0) X= (-1) n+1 arcsina+ n, n Z Sinx= 0 X= n, n Z Sinx= 1 X= +2 K, k Z Sinx= -1 X = — + 2 n , n

Например. Sinx= , (0; 1) X= (-1) n arcsin + n Z X= (-1) n + Z Sinx= — , — (-1; 0) X=(-1) n+1 arcsin + Z X=(-1) n+1 + n, n Z

III) Уравнения tgx=a, a tgx=a, a 0 x=arctga + Z tgx= -a , a x= -arctga + n, n Z

Например. tgx = , [0; ) x = arctg x= + Z tgx= — , — (- ; 0) x= -arctg + n, n Z x = — + Z

Методы решения тригонометрических уравнений. 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным а ) Sin 2 x + sinx – 2=0 Sinx=t, t [-1;1] t 2 + t -2=0 t 1 =1, t 2 =-2-п.к так -1; 1 ] как -2 ∉ sinx=1, x= + 2

2.разложение левой части на множители Cosx = cos 3 x Cosx-cos3x=0 -2sin2xsin(-x) =0 Sin2x=0 или sinx=0 x= 2x= X = n ,

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx + bcosx =0 Решается делением на cosx 0 0 + = 0 sinx + cosx =0 |: cosx atgx+b=0 x=-arctg + tgx+1=0 tgx=-1 + x=-arctg1 n, n Z x=- +

4. однородное уравнение 2- ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 |:cos 2 x 0 atg 2 x+btgx+c=0 tgx=t, at 2 +bt+c=0 Д = b 2 -4ac t 1,2 = tgx= x 1 =arctg( ) + n x 2 = arctg( ) + n 3sin 2 x-7sinxcosx+2cos 2 x=0|:cos 2 x 0 3tg 2 x-7tgx+2=0 tgx=t, 3t 2 -7t+2=0 Д = b 2 -4ac=25, Д t 1,2 = tgx=2 tgx= x=arctg2+ x=arctg + k, k Z

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c asinx+bcosx=c Sinx + cosx= =cos =sin Cos + sin cosx= Sin ( + x) = X= (-1) n arcsin — + z n, n Sinx-cosx=1 = sinx – cosx= Sin( — x )= X — = (-1) n + , n Z X= (-1) n + +

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень Sinx= Cosx=- tgx= 1+sin( )=0 Sin 2 x= Sinx+cosx=0 2cos(2x- )= Sin(x- )=0 +1=0 tgx-1=0

Повышенный уровень 2sin 2 x+3sinxcosx-2cos 2 x=0 =0 3sinx+4cosx=10 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Cosx+cos = Sin3x-sin9x=0 tg(3x+60 0 )= ctg( -1)sin( -1)ctgx=0 4sin cos = — Sinx-cosx=4sinxcos2x

Трудные задания Cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=2 (cos6x-1)ctg3x=sin3x Cos(x+ )+sin2x=-2 Cos 2 x+ |cosx|sinx=0 Cos 2 x+sin 2 2x+cos 2 3x= (cos2x + 3 sinx-4)=0 =0 cosx+2sinx)=1 — 1=4sinx + ctgxtg =0

Трудные задания cosx — cos 3 x +2 =0 удовлетворяющие условие: | x + | +2cosx=0 =0, удовлетворяющие условию | x | – = -4 + =8

Уравнение с модулем Определение: a a

Методы решений. По определению модуля: |x+1|=3 = и = = => x =-4

метод интервалов: | x +1| + | x -1| + | x +10|=12 1.найдём корни подмодульных выражений: X =-1 x =1 x =-10 2.нанесём корни на числовую ось -10 -1 1

метод интервалов: 3. = = x = посторонний корень = = =

метод интервалов: = = = x = – посторонний корень Ответ: x 1 =-2 x 2 =0

Базовый уровень 1.| x +3|=12 2. x +5=| x | 3. | x -15|=25 x 4.|2 x |=100 5.| x -40|=80 6.| x |=5 7. | x |=3 x +10 8. |3 x -9|=1

Повышенный уровень 1.| — – 5 = 2.| x 2 -5 x +6|= x +1 3.| x -3|+2| x +1|=4 4.|5-2 x |+| x +3|=2-3 x 5. =| x |+2 6. x | x |+7 x +12=0 7. x 2 -5 x — 8. x 2 -|3 x -5|=5| x | 9. | x +5|=|2 x -3- x 2 | 10. 3|2 x 2 +4 x +1|=| x 2 +5 x +1| 11.|2 x — y -3|+| x +5 y -7|=0

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

логарифмических Методы решения уравнений.

1)Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма . (2 x +1)=2 2 x +1 = 2 x +1=9 X =4 ( 2×4+1)= Проверка 9=2 Ответ:х=4

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному. ( +1)=2 ОДЗ: = = X По определению логарифма ( x +1 =2 +1 +2x+1= +1 -2x=0 =0 =2 Ответ: х=2

3) Метод потенцирования ) ОДЗ = = = 0 Применяя метод потенцирования, получили Х=6- +х-6=0 =2, =-3 –п.к Ответ:х=2

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу =2 n f ( x ) Где а ,а 1, n z . =2 n | |, где a , a . ОДЗ: -5 0 +5x-6=0 + =-5 =-6

5)Метод логарифмирования ОДЗ: = = x = = 1+ , 2 1+ 2 X =3 ОДЗ

Решить уравнение показательные по образцу. -6 =4 ОДЗ: = = Ответ: Х =1 )= ОДЗ: р.м.п У= У=0= Д=4+24=28 = х 1- ; ;

=6+2х- = Ответ:х=-1,х=2 1) =0 2) 3)

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть. 1) 2) 3) 4)

Решить уравнение по образцу 2 Х=0 ∉ ОДЗ , х= Ответ: х=

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями. lg (x+2) + 3 +26)=0 3 ) +log 3 (-x-1)=0 2 +x-5)+ =log 3 -log 4 =-9

Решить уравнения X log 3 x-3= 0,1×1+lgx=1 Xlog4x=23(log4x+3)=0 log3x-log3(x+8)=-log3(x+3) log2(x+1)+log2(x+2)=1 2log4(4-x)=4-log2(-2-x) log2(x+1)=1+2log2x lg(x+ )-lg(x- )= lg(x+6)- lgx log 2 -1=log 2 5x 2 -8x+5 =0 Log2 (24-x-2x+7)=3-x 2log 2 (1- )=3log 2 (2+ )+12 4log 7 ( ( ) 0,75 ) = X 2log 2 x +3 -6=0 -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0 Log 2 2 Log2(log5x)=1 2 +7=0 Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1) 3log2x2-log22(-x)=5 log x log 2 5 x=-1 log 3 |x+8|+ log 3 x 4 =2

Решить уравнение Log3x+7(9+12x+4×2)+log2x+3(6×2+23x+21)=4 log(100x 3 )lg =8 log 6 (x+5)+ log6x 2 =1 = Log 3 (x+2)(5x)-log 3 Log4log2x+log2log4x=2 -log 7 7= 4 -log 2 4=log 7 7x lg +lg log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Метод монотонности функций. Теорема 1 . Если одна из функций возрастает, а другая убывает на промежутке, то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет не более одного корня. Теорема 2 . Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение имеет не более одного корня.

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности. 1.Иследовать на монотонность функции f ( x ) и g ( x ) в О.О.У 2.Если выполняются условия теоремы f ( x ) и g ( x ) и удается подобрать удовлетворяющие уравнению f ( x )= g ( x ), то -единственный корень этого уравнения , ( )-функция возрастает т.к возрастает и возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то уравнения имеет один корень. 9+16=25 25=25

, возрастает функция и -возрастающая и ( )-возрастающая функция ,в правой части постоянная функция. Х=1, 6- 4 Х=2, 36-16 Х=3 , 216-64=152

Х=1 , + Х=4, — -функция убывает, а -возрастает, теорему не применять Ф.М.У а= У=х-4,а=1 прямая направлена Применяем теорему: уравнений имеет один корень Х=3 , -1=-1, Х =3

Уравнение с завуалированным обратным числом. ( ) x +( ) x =8 (4+ )=16-16=1= 4+ =t t ( ) =1= 4- = t+ =8| t t2-8t+1=0 д =b2-4ac=64-4=60 t 1,2 = = =4 ( ) x =(4+ ) ( ) x =(4- ) =1 = -1 X =2 x = -2

Например! ( ) x + ( ) x =6 ( ) x + ( ) x =10

Используемая литература С.М.Никольский- алгебра 10-11класс Ш.А .Алимов и др- алгебра 10-11класс Справочник по математике 5-11 класс Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Диофантовы уравнения и методы их решения.

Данная работа посвящена одному из наиболее интересных разделов теории чисел — решение диофантовых уравнений(ДУ). Целью настоящей работы является углубление и систематизация знаний, полученных по теме.

программа курса по математике «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» 8 класс

Программа курса «Уравнения. Виды уравнений и методы их решения» направлена на углубление и систематизацию знаний учащихся по указанной теме. Уравнение – одно из ва.

План – конспект урока в 11 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся по изучению уравнений, неравенств, методов их решения».

Предлагаю учителям, работающим в 11-х классах конспект урока, который я разработала сама. Работа на уроке проводится в группах, на которые делится класс перед уроком. В каждой .

Логарифмические уравнения и методы их решения

Урок закрепления изученного материала.

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»

презентация урока алгебра 8 класс » Квадратные уравнения и методы их решения»автор преподаватель школы № 1 г. Кувасая Борисевич Павел Георгиевич.

Презентация «Простейшие уравнения и методы их решения»

Материал для подготовки к ЕГЭ по математике ( базовый и 1 часть профильного экзамена).

Презентация «Иррациональные уравнения и методы их решения»

Презентация показывает основные методы решения иррациональных уравнений на примерах.